PS 2 Statistiques a 2 variables

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Master 1 MEEF 2013 - 2014 Capes Externe

UE 2 Epreuve sur dossier

03/11/2013

DOSSIER PS 2 Thème : Statistiques à deux variables

L’exercice

Avant une greffe de cornée, la cornée prélevée est plongée dans un liquide physiologique afin de provoquer l’évacuation du surplus d’eau contenu dans le tissu. On étudie l’évolution dans le temps de l’épaisseur de la cornée.

Une étude expérimentale de l’épaisseur y de la cornée, exprimée en micromètres, en fonction du temps t, exprimé en heures, a permis d’obtenir le tableau suivant.

t 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

y 983 786 700,64 662,08 645,22 637,83 634,57 633,13 632,5 632,22 632,1

1) a) Représenter graphiquement le nuage des points de coordonnées (t ; y).

b) À l’aide du graphique et sans calcul, expliquer pourquoi un ajustement affine de y en t n’est pas approprié.

2) On pose z = ln (y −632).

a) Construire le nuage de points de coordonnées (t ; z).

b) Calculer le coefficient de corrélation linéaire, arrondi à 10^-6, de la série (t ; z).

L’interpréter.

c) Donner une équation de la droite de régression de z en t, obtenue par la méthode des moindres carrés, sous la forme z = a t +b, où a et b sont à arrondir à10^-2.

d) En déduire une expression de y en fonction de t, selon cet ajustement.

e) Avec le modèle déterminé dans la question précédente, estimer l’épaisseur de la cornée au bout d’une heure et 30 minutes.

Les réponses proposées par deux élèves aux questions 1.b et 2.d

Elève 1

1. b. Un ajustement affine n’est pas approprié parce que tous les points ne sont pas sur une même droite.

2. d. Avec ce qu’on a trouvé : ln (y – 632) = 0,8 t + 5,8 d’où : y – 632 = exp (0,8 t + 5,8) = exp (0,8 t) × exp (5,8) On trouve : y = 330 e

^{0,8 t}

+ 632.

Elève 2

1. b. Ce n’est pas approprié parce que la courbe ressemble à une hyperbole, sauf à la fin où c’est sûrement possible de faire l’ajustement.

2. d. Puisque z = 0,82 t + 5,86, en remplaçant on obtient : z = exp (0,82 t + 5,86) = exp (0,82 t) + exp (5,86)

et y = 632 + z =982 + exp (0,82 t) = 982 + exp(0,82) × exp(t) = 962 + 2,27 e

^t

.

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