Corrigé du DS1

TS1 - DS1 - Correction 1/3 Terminale S. – Lycée Desfontaines – Melle

Corrigé du DS1

Exercice 1 :

Soit f la fonction définie sur Ë par f(x)= x²+1−x.

Déterminons les limites de f en +õ et en –õ : Limite en +õ : 2 points

┐xÃ0, f(x)=

(

)

x²+1+x

= x²+1−x²

x²+1+x = 1 x²+1+x . Or lim

x↔+õx²+1= lim

x↔+õx²=+õ donc lim

x↔-õ x²+1= lim

X↔+õX=+õ=+õ donc lim

x↔+õ x²+1+x=+õ. Ainsi lim

x↔ +õf(x)= lim

x↔ +õ

1

x²+1+x=0

Limite en –õ : 2 points

A l’infini, la limite d’un polynôme est celle de son terme de plus haut degré donc lim

x↔-õx²+1= lim

x↔-õx²=+õ Donc lim

x↔+õ x²+1= lim

X↔+õX=+õ.

lim

x↔-õ-x=+õ

Donc lim

x↔-õf(x)= lim

x↔-õ x²+1−x=+õ

Exercice 2 3 points

Soit g la fonction définie sur Ë par g(x)= x 2−sin(x). Etudions les limites de h en +õ et en –õ :

┐x☻Ë, -1Âsin(x)Â1 donc -1Â-sin(x)Â1 donc 1Â2−sin(x)Â3 donc 1

3 Â 1

2−sin(x)Â1 . Ainsi,

• ┐xÃ0, , 1

3x x

2−sin(x) Âx soit 1

3xÂg(x)Âx

• ┐xÂ0 , x x

2−sin(x) Â1

3x soit xÂg(x)Â1 3x Limite en –õ :

lim

x↔-õ 1

3 x=-õ et ┐xÂ0, g(x)Â1

3x donc, d’après une extension du théorème des gendarmes, lim

x↔-õg(x)=-õ. Limite en +õ :

lim

x↔+õ 1

3 x=+õ et ┐xÃ0, 1

3xÂg(x) donc, d’après une extension du théorème des gendarmes, lim

x↔+õg(x)=+õ

TS1 - DS1 - Correction 2/3 Exercice 3

Soit h la fonction définie pour xý3

2 par h(x)= x+1 2x−3. 1- Déterminons les deux réels a et b tels que : ┐xý3

2, h(x)=a+ b

2x−3 : 2 points

┐xý3

2, h(x)=a+ b

2x−3 ñ x+1

2x−3=(2x−3)a+b

2x−3 ñ x+1

2x−3= 2ax−3a+b 2x−3 ñx+1=2ax−3a+b ñ



2a=1

-3a+b=1 ñ



^a=1₂ b=1+³

2 ñ



^a=1₂ b=⁵ 2

Ainsi, ┐xý3

2, h(x) =1 2 +

5 2 2x−3

2- Déterminons les asymptotes à la courbe représentative C_h de h : 2 points + 2 points

• Limites à l’infini :

A l’infini, la limite d’une fonction rationnelle est celle du quotient de ces termes de plus haut degré donc lim

x↔-õh(x)= lim

x↔-õ

x+1

2x−3= lim

x↔-õ

x 2x=1

2 et lim

x↔+õh(x) = lim

x↔+õ

x+1

2x−3= lim

x↔+õ

x 2x=1

2 Interprétation graphique : la droite d’équation y=1

2 est asymptote horizontale à C_f (au voisinage de +õ et de –õ).

• Limite à gauche et à droite de 3 2 :

lim

x↔³ 2 x<³ 2

2x−3=0^- donc lim

x↔³ 2 x<³ 2

5 2

2x−3 =-õ donc lim

x↔³ 2 x<³ 2

h(x)=-õ

lim

x↔³ 2 x>³ 2

2x−3=0⁺ donc lim

x↔³ 2 x>³ 2

5 2

2x−3 =+õ donc lim

x↔³ 2 x>³ 2

h(x)=+õ

Interprétation graphique : La droite d’équation x=3

2 est asymptote verticale à C_f. 3- Précisons la position de C_h par rapport à ces asymptotes : 2 points

Position relative de C_f et de son asymptote horizontale D d’équation y=1 2.

┐xý3

2, h(x) =1 2 +

5 2

2x−3 donc ┐xý3

2, h(x)−1 2=

5 2 2x−3.

TS1 - DS1 - Correction 3/3 Or



 

5 2

2x−3<0 donc h(x)−¹ 2<0

┐x>³

2,2x−3>0 donc

5 2

2x−3>0 donc h(x)−¹ 2>0

Donc C_h est strictement en dessous de D sur





 -õ;3

2 et strictement au dessus sur







 3

2;+õ .

Exercice 4 5 points

Soit f une fonction définie sur Ë et soit C sa courbe représentative dans un repère du plan.

Soit D la droite d’équation y=x−3.

Parmi les phrases suivantes, quelles sont les phrases vraies.

1- Si lim

+õ f=-3 alors D est asymptote à C au voisinage de +õ. Faux Contre-exemple : Prendre la fonction f constante définie sur Ë par f(x)=-3 2- Si D est asymptote à C au voisinage de +õ, alors lim

+õ f=+õ. Vrai En effet, si D est asymptote à C au voisinage de +õ alors lim

x↔+õf(x)−(x−3)=0 donc lim

x↔+õf(x) = lim

x↔+õx−3=+õ 3- Si D est asymptote à C au voisinage de –õ alors lim

x↔-õf(x)−(x−3)=+õ. Faux Si D est asymptote à C au voisinage de –õ alors lim

x↔-õf(x)−(x−3)=0 (c’est du cours) 4- Si D est asymptote à C au voisinage de –õ, alors lim

x↔-õf(x)−(x−3)=0. Vrai Voir le cours

5- Si D est asymptote à C, f(x) peut être égal à x³−3x²+x−2

x²+1 . Vrai Soit f la fonction définie sur Ë par f(x) = x³−3x²+x−2

x²+1 alors f(x)−(x−3)=

(

)

(

)

x²+1 =x³−3x²+x−2−x³−x+3x²+3

x²+1 = 1

x²+1. Ainsi lim

x↔ ±õf(x)= lim

x↔ ±õ

1

x²+1 =0 (car lim

x↔±õx²+1=+õ). Et dans ce cas D est bien asymptote à C…