PREPA COURCELLES 2° année
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Problème de l’auto-stoppeur
Illustration du cours sur les couples de variables aléatoires discrètes
1. Hypothèses et finalité du problème
Le nombre de voitures qui passent devant un auto-stoppeur définit une variable aléatoire X qui suit une loi de Poisson de paramètre 𝜆. A chaque fois qu’une voiture passe devant lui, l’auto-stoppeur lance une pièce truquée qui a une probabilité p de tomber sur pile avec 𝑝∈ 0,1
Soit Y le nombre d’obtentions de pile. On se propose de déterminer la loi de Y. Pour cela, il convient de déterminer, au préalable la loi conditionnelle de Y sachant (𝑋=𝑖) puis la loi conjointe ou loi du couple (𝑋,𝑌).
Ensuite, on déterminera la loi de Z où Z correspond au nombre d’obtentions de face.
On se demandera alors si les variables Y et Z sont indépendantes.
Enfin, on déterminera la covariance et le coefficient de corrélation linéaire du couple (𝑋,𝑌).
2. Rappel de la loi de X
𝑋 ↪𝑃(𝜆)⟺
𝑋 Ω =𝑁 𝑃 𝑋 =𝑘 =𝜆!
𝑘!𝑒!!
Et, dans ce cas, 𝐸 𝑋 =𝑉 𝑋 = 𝜆. Ce sera utile pour répondre à la question 9 3. Loi conditionnelle de Y sachant 𝑿=𝒌
𝑌/(𝑋 =𝑘) désigne le nombre d’obtentions de pile dans l’hypothèse où k voitures sont passées devant l’auto-stoppeur. Or, à chaque passage d’une voiture, l’auto-stoppeur lance la pièce. Donc le nombre de voitures est égal au nombre de lancers de la pièce. En d’autres termes, 𝑌/(𝑋=𝑘) désigne le nombre d’obtentions de pile dans l’hypothèse où la pièce a été lancée k fois.
Les lancers de la pièce sont indépendants les uns des autres, donc 𝑌/(𝑋 =𝑘) correspond à une succession de k épreuves de Bernoulli, identiques (toutes de probabilité de succès égal à p, le succès étant l’obtention de pile) et indépendantes.
Par conséquent :
𝑌/(𝑋 =𝑘)↪𝐵(𝑘,𝑝)⟺
𝑌/(𝑋 =𝑘) Ω = 0,𝑘 𝑃 𝑌=𝑖/𝑋=𝑘 = 𝑘
𝑖 𝑝!𝑞!!!
Cette expression suppose que 𝑘≥𝑖, le nombre de lancers étant au moins égal au nombre d’obtentions de pile. Si 𝑘<𝑖, alors 𝑃 𝑌=𝑖/𝑋 =𝑘 =0. Il est, en effet, impossible que le nombre i d’obtentions de pile soit supérieur au nombre k de lancers.
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2 4. Loi conjointe ou loi du couple (X,Y)
• 𝑃 𝑌=𝑖∩𝑋=𝑘 = 𝑃 𝑌=𝑖/𝑋 =𝑘 𝑃 𝑋 =𝑘 = !! 𝑝!𝑞!!!!!!!𝑒!! si 𝑘 ≥𝑖
• 𝑃 𝑌=𝑖∩𝑋=𝑘 = 0 si 𝑘<𝑖
5. Loi marginale de Y
𝑃 𝑌=𝑖 = 𝑃 𝑌=𝑖∩𝑋 =𝑘 =
!∈!(!)
𝑃 𝑌=𝑖∩𝑋 =𝑘
!!
!!!
= 𝑃 𝑌=𝑖∩𝑋=𝑘 + 𝑃 𝑌=𝑖∩𝑋=𝑘
!!
!!!
!!!
!!!
= 0+ 𝑘
𝑖 𝑝!𝑞!!!𝜆! 𝑘!𝑒!!
!!
!!!
!!!
!!!
= 𝑘
𝑖 𝑝!𝑞!!!𝜆! 𝑘!𝑒!!
!!
!!!
=𝑝!𝑒!! 𝑘!
𝑖! 𝑘−𝑖 !𝑞!!!
!!
!!!
𝜆! 𝑘!
=𝑝!𝑒!!
𝑖!
𝑞!!!
𝑘−𝑖 !
!!
!!!
𝜆!
=𝜆!𝑝!𝑒!!
𝑖!
𝑞!!!
𝑘−𝑖 !
!!
!!!
𝜆!!!
=𝑒!!(𝜆𝑝)! 𝑖!
𝜆𝑞 !!!
𝑘−𝑖 !
!!
!!!
Soit 𝑢=𝑘−𝑖. Dans ce cas, si 𝑘=𝑖 alors 𝑢=0. Donc :
𝑃 𝑌=𝑖 = 𝑒!!(𝜆𝑝)! 𝑖!
𝜆𝑞 ! 𝑢!
!!
!!!
= 𝑒!!(𝜆𝑝)!
𝑖! .𝑒!" =𝑒!!(!!!)(𝜆𝑝)!
𝑖! =𝑒!!"(𝜆𝑝)!
𝑖!
Finalement : 𝑌↪𝑃(𝜆𝑝)
Dans ce cas, 𝐸 𝑌 =𝑉 𝑌 = 𝜆𝑝. Ce sera utile pour répondre à la question 9.
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3 6. Loi de Z
En permutant les rôles de pile et de face, donc de p et de q, il ressort que 𝑍↪𝑃(𝜆𝑞) 7. Indépendance de Y et de Z
Il s’agit de se demander si 𝑃 𝑌=𝑖∩𝑍=𝑗 = 𝑃 𝑌=𝑖 .𝑃(𝑍=𝑗)
Le nombre total d’obtentions de pile et d’obtentions de face correspond au nombre total de lancers.
Ainsi : 𝑋=𝑌+𝑍.
Dès lors :
𝑃 𝑌=𝑖∩𝑍=𝑗 =𝑃 𝑌=𝑖∩𝑋=𝑖+𝑗 = 𝑖+𝑗
𝑖 𝑝!𝑞! 𝜆!!!
(𝑖+𝑗)!𝑒!!
𝑃 𝑌=𝑖∩𝑍=𝑗 =(𝑖+𝑗)!
𝑖!𝑗! 𝑝!𝑞! 𝜆!!!
(𝑖+𝑗)!𝑒!! =𝑝!𝑞!
𝑖!𝑗! 𝜆!!!𝑒!!(!!!)= 𝜆𝑝 !𝑒!!"
𝑖!
𝜆𝑞 !𝑒!!"
𝑗!
Ainsi : 𝑃 𝑌=𝑖∩𝑍=𝑗 = 𝑃 𝑌=𝑖 .𝑃(𝑍=𝑗).
Donc les variables Y et Z sont indépendantes 8. Détermination de 𝒄𝒐𝒗(𝑿,𝒀)
𝑉 𝑋−𝑌 = 𝑉 𝑍 = 𝑉 𝑋 +𝑉 𝑌 −2𝑐𝑜𝑣(𝑋,𝑌)
Or 𝑍↪ 𝑃(𝜆𝑞) ; donc 𝑉 𝑍 = 𝜆𝑞 Ainsi :
𝜆𝑞 = 𝜆+𝜆𝑝−2𝑐𝑜𝑣(𝑋,𝑌) Donc :
2𝑐𝑜𝑣 𝑋,𝑌 = 𝜆+𝜆𝑝−𝜆𝑞 = 𝜆 𝑝+1−𝑞 = 2𝜆𝑝
Finalement : 𝑐𝑜𝑣 𝑋,𝑌 = 𝜆𝑝
9. Détermination de 𝝆 𝑿,𝒀
𝜌 𝑋,𝑌 = 𝑐𝑜𝑣 𝑋,𝑌
𝑉(𝑋) 𝑉(𝑌)= 𝜆𝑝 𝜆 𝜆𝑝 Finalement :
𝜌 𝑋,𝑌 = 𝑝
