PREPA COURCELLES 2° année
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Détermination d’un intervalle de confiance : application de l’inégalité de Bienaymé Tchébychev
1. Notations et hypothèses
Soit X une variable aléatoire dont la loi est connue mais dont un paramètre est inconnu.
Soit un n-uplet (𝑋!,𝑋!,…,𝑋!) qui forme un n-échantillon de la loi de X. Ainsi, 𝑋!,𝑋!,…,𝑋! sont des variables aléatoires définies sur le même espace probabilisé (Ω, A, P), mutuellement indépendantes et de même loi que X. Ce n-échantillon est constitué en vue d’estimer le paramètre inconnu de la loi de X.
Soit 𝐸 𝑋! = 𝐸 𝑋! =⋯= 𝐸 𝑋! =𝑚 Et 𝑉 𝑋! = 𝑉 𝑋! =⋯= 𝑉 𝑋! = 𝜎! Soit par ailleurs : 𝑋! = !!. !!!!𝑋! Dès lors :
𝐸 𝑋! = 𝐸 !!. !!!!𝑋! =!! !!!!𝐸(𝑋!)= !! !!!!𝑚= !!.𝑛𝑚=𝑚 par linéarité de l’espérance.
𝑉 𝑋! = 𝑉 1 𝑛. 𝑋!
!
!!!
= 1
𝑛! 𝑉(𝑋!)= 1
𝑛! 𝜎!=
!
!!!
1
𝑛!.𝑛𝜎!=𝜎! 𝑛
!
!!!
L’hypothèse d’indépendance des n variables de l’échantillon a ainsi permis de transformer la variance de leur somme en somme des variances
2. Rappel de l’inégalité de Bienaymé-Tchébychev
∀𝜀 >0,𝑃 𝑋!−𝐸 𝑋! >𝜀 ≤𝑉(𝑋!) 𝜀!
En utilisant les valeurs obtenues au paragraphe précédent pour l’espérance et la variance de 𝑋!, l’inégalité devient :
∀𝜀 >0,𝑃 𝑋!−𝑚 >𝜀 ≤ 𝜎! 𝑛.𝜀!
3. Définition d’un intervalle de confiance
On dit que 𝑈!,𝑉! est un intervalle de confiance de 𝑔(𝜃) au niveau de confiance 1−𝛼 (avec 𝛼∈ 0,1 ) si : 𝑃! 𝑈!≤𝑔 𝜃 ≤ 𝑉! ≥1−𝛼
Sa réalisation est l’estimation de l’intervalle de confiance
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4. Passage de l’inégalité de Bienaymé Tchébychev à un intervalle de confiance de m 𝑃 𝑋!−𝑚 >𝜀 ≤!.!!!! <=> 1−𝑃 𝑋!−𝑚 ≤𝜀 ≤!.!!!!
𝑃 𝑋!−𝑚 ≤𝜀 ≥1− 𝜎! 𝑛.𝜀! Soit 1− !!
!.!!=1−𝛼
Dès lors : 𝛼= !.!!!! soit encore : 𝜀 = !!"
Dans ce cas, en remplaçant 𝜀 dans la dernière égalité ci-dessus : 𝑃 𝑋!−𝑚 ≤ 𝜎
𝑛𝛼 ≥1− 𝛼
Par propriété de la valeur absolue : 𝑃 − 𝜎
𝑛𝛼≤𝑋!−𝑚≤ 𝜎
𝑛𝛼 ≥1− 𝛼
𝑃 𝑋!− !!"≤𝑚≤𝑋!+ !!" ≥1− 𝛼 [1]
Cette dernière inégalité peut aussi s’écrire (ce fut le cas dans certains sujets de concours) :
𝑃 𝑋!− 𝜀 ≤𝑚≤𝑋!+𝜀 ≥1− 𝛼 avec : 𝜀 = !!"
5. Cas où les variables suivent une loi de Bernoulli de paramètre p On suppose désormais que ∀𝑛∈ 1,𝑛 , 𝑋! !∈!,! →𝐵(𝑝) Dans ce cas : 𝐸 𝑋! = 𝐸 𝑋! =⋯= 𝐸 𝑋! =𝑝
Et 𝑉 𝑋! = 𝑉 𝑋! =⋯= 𝑉 𝑋! = 𝑝.(1−𝑝)
En remplaçant, dans l’inégalité [1] du paragraphe précédent, 𝜎 par 𝑝. 1−𝑝 et m par p : 𝑃 𝑋!− 𝑝. 1−𝑝
𝑛𝛼 ≤𝑝≤𝑋!+ 𝑝. 1−𝑝
𝑛𝛼 ≥1− 𝛼
Or, par étude de fonction, on démontre que la fonction définie sur 0,1 par 𝑓 𝑝 =𝑝.(1−𝑝) atteint son maximum quand 𝑝=!!
En d’autres termes : 𝑝.(1−𝑝)≤!
! donc : 𝑝.(1−𝑝)≤!
!
Ainsi :
𝑋!+ 𝑝. 1−𝑝
𝑛𝛼 ≤𝑋!+ 1 2 𝑛𝛼
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3 Et, comme − 𝑝. 1−𝑝 ≥−!
! :
𝑋!− !.!"!!! ≥ 𝑋!− !!!" soit : 𝑋!− !!!"≤ 𝑋!− !.!"!!!
Finalement : 𝑋!− !.!"!!! ,𝑋!+ !.!"!!! inclus dans 𝑋!− !!!",𝑋!+!!!"
Donc : 𝑃 𝑋!− !.!"!!! ≤𝑝≤ 𝑋!+ !.!"!!! ≤𝑃 𝑋!− !!!"≤𝑝≤ 𝑋!+!!!"
Ainsi : 𝑃 𝑋!− 1
2 𝑛𝛼≤𝑝≤ 𝑋!+ 1
2 𝑛𝛼 ≥ 𝑋!− 𝑝. 1−𝑝
𝑛𝛼 ≤𝑝≤ 𝑋!+ 𝑝. 1−𝑝
𝑛𝛼 ≥1−𝛼
Conclusion :
𝑃 𝑋!− 1
2 𝑛𝛼≤𝑝≤ 𝑋!+ 1
2 𝑛𝛼 ≥1−𝛼
