Correction des exercices du livre La Gestion des Risques Financiers
Thierry Roncalli 4 Décembre 2011
Ce document présente les corrections des questions de cours et des exercices des pages 535 à 552 du livre : Thierry Roncalli,La Gestion des Risques Financiers, Economica, deuxième édition, 2009. Notons que ce livre est cité sous la référence [TR-GDR] par la suite. Ce document présente aussi de nouveaux exercices (à partir de la page 46) et la correction de ceux-ci (de la page 49 à la page 61). Pour chaque exercice, nous indiquons à quelle page du livre le lecteur peut trouver l’énoncé correspondant. Par exemple, l’énoncé du premier exercice “valeur en risque d’un portefeuille long/short” se trouve à la page 538 du livre “La Gestion des Risques Financiers”.
Table des matières
1 Correction des exercices 2
1.1 Valeur en risque d’un portefeuille long/short (TR-GDR, page 538) . . . 2
1.2 Valeur en risque d’un portefeuille de gestion (TR-GDR, page 538) . . . 3
1.3 Construction d’un scénario de stress à partir de la théorie des valeurs extrêmes (TR-GDR, page 542) . . . 5
1.4 Stress-testing et statistiques d’ordre (TR-GDR, page 545) . . . 7
1.5 Les mesures de risque (TR-GDR, page 549) . . . 9
1.6 Valeur en risque crédit d’un portefeuille non granulaire (TR-GDR, page 542) . . . 13
1.7 Contribution en risque dans le modèle Bâle II (TR-GDR, page 541) . . . 15
1.8 Le risque de contrepartie sur opérations de marché (TR-GDR, page 551) . . . 17
1.9 Le risque opérationnel (TR-GDR, page 550) . . . 22
1.10 Valorisation d’un CDS (TR-GDR, page 539) . . . 27
1.11 Calibration du paramètre LGD(TR-GDR, page 543) . . . 28
1.12 Modélisation du temps de défaut (TR-GDR, page 544) . . . 30
1.13 Les spreads de crédit (TR-GDR, page 546) . . . 32
1.14 Valeur en risque d’une position optionnelle (TR-GDR, page 551) . . . 34
1.15 Corrélation et copules (TR-GDR, page 547) . . . 37
1.16 La distribution exponentielle (TR-GDR, page 548) . . . 39
1.17 Les fonctions copules (TR-GDR, page 540) . . . 42
2 De nouveaux exercices 46 2.1 Calculs statistiques . . . 46
2.2 Contribution en risque . . . 46
2.3 Dérivés de crédit et corrélation de défaut . . . 47
2.4 Modélisation de la perte en cas de défaut . . . 47
2.5 Produits exotiques et gestion des risques . . . 48
2.6 Calcul des bornes de corrélation . . . 48
2.7 Le modèle exponentiel généralisé . . . 49
3 Correction des exercices supplémentaires 49
3.1 Calculs statistiques . . . 49
3.2 Contribution en risque . . . 50
3.3 Dérivés de crédit et corrélation de défaut . . . 53
3.4 Modélisation de la perte en cas de défaut . . . 55
3.5 Produits exotiques et gestion des risques . . . 56
3.6 Calcul des bornes de corrélation . . . 57
3.7 Le modèle exponentiel généralisé . . . 59
4 Éléments de correction des questions de cours 61 4.1 La réglementation Bâle II (TR-GDR, page 535) . . . 61
4.2 Le risque de marché (TR-GDR, page 535) . . . 62
4.3 Le risque de crédit (TR-GDR, page 536) . . . 62
4.4 Le risque opérationnel (TR-GDR, page 536) . . . 63
4.5 Les fonctions copules (TR-GDR, page 537) . . . 63
4.6 Les dérivés de crédit (TR-GDR, page 538) . . . 64
4.7 La gestion du risque de crédit (TR-GDR, page 538) . . . 64
1 Correction des exercices
1.1 Valeur en risque d’un portefeuille long/short (TR-GDR, page 538)
La référence principale de cet exercice est (TR-GDR, pages 61-63). On note PA(t)(resp. PB(t)) la valeur de l’action A (resp. B) à la datet. La valeur du portefeuille est :
P(t) =xA·PA(t) +xB·PB(t)
avecxA etxB le nombre d’actions A et B. On en déduit que le PnL entre les datest ett+ 1est1 : PnL (t;t+ 1) = P(t+ 1)−P(t)
= xA(PA(t+ 1)−PA(t)) +xB(PB(t+ 1)−PB(t))
= xAPA(t)RA(t;t+ 1) +xBPB(t)RB(t;t+ 1)
avecRA(t;t+ 1)etRB(t;t+ 1)les rendements des actions A et B entre les dates tett+ 1.
1. On a xA= +1,xB =−1 etPA(t) =PB(t) = 100. On en déduit que : PnL (t;t+ 1) = 100×(RA−RB) On a RA−RB ∼ N(0, σA−B)avec :
σA−B =
√
0,202+ (−0,20)2+ 2×0,5×0,20×(−0,20)
= 20%
La volatilité annuelle de cette position long/short est donc de 20%. Pour calculer la VaR pour un horizon 1 jour, on utilise la méthode du scaling (TR-GDR, page 74). On obtient2 :
VaR1D = Φ−1(0,99)×100×σA−B× 1
√260
= 2,33×100×0,20× 1
√260
= 2,89
La probabilité de perdre 2,89euros par jour est de 1%.
1. On suppose ici que les positions ne changent pas d’une période à l’autre.
2. carΦ−1(0,99) =−Φ−1(0,01).
2. On aPnL (t;t+ 1) = 100×(RA−RB). On utilise les données historiques pour calculer les scénarios de rendements joints(RA, RB). On en déduit ensuite la distribution empirique du PnL. Enfin, on calcule le quantile empirique correspondant. Avec 250 scénarios, le quantile empirique 1% est à mi-chemin entre la deuxième et troisième pires pertes :
VaR1D = − [
−3,09 +1
2(−2,72−(−3,09)) ]
= 2,905
La probabilité de perdre2,905 euros par jour est de 1%.On obtient un résultat très proche de la VaR Gaussienne.
3. L’expression du PnL devient (TR-GDR, pages 91-95) :
PnL (t;t+ 1) = (PA(t+ 1)−PA(t))− (PB(t+ 1)−PB(t))− (CA(t+ 1)−CA(t)) avecCA(t)la valeur de l’option d’achat. On a :
CA(t+ 1)−CA(t)≃∆×(PA(t+ 1)−PA(t)) avec∆le delta de l’option. On en déduit que :
PnL (t;t+ 1) = 50×RA−100×RB
À titre d’illustration, on obtient pour la VaR analytique :
VaR1D = Φ−1(0,99)×σA/B× 1
√260
= 2,33×17,32× 1
√260
= 2,50 car :
σA/B =
√
(50×0,20)2+ (−100×0,20)2+ 2×0,5×(50×0.20)×(−100×0,20)
= 17,32
La VaR 1 jour 99% est donc passée de 2,89euros à 2,50euros.
1.2 Valeur en risque d’un portefeuille de gestion (TR-GDR, page 538)
1. On a (TR-GDR, page 63) :
PnL (t;t+ 1) = P(t+ 1)−P(t)
= P(t) (1 +R(t;t+ 1))−P(t)
= P(t)R(t;t+ 1)
avec P(t) la valeur du portefeuille à la date t et R(t;t+ 1) le rendement du portefeuille pour la période [t;t+ 1]. À la date t, P(t) est une variable certaine – P(t) est égal à 20 000 euros – tandis que R(t;t+ 1) est aléatoire. Par construction, R(t;t+ 1) suit une distribution N(µp, σp) avecµp=x⊤µle rendement espéré du portefeuille etσp=√
x⊤Σxla volatilité du portefeuille. Soit VaRαla valeur en risque du portefeuille. Celle-ci vérifie :
Pr{PnL (t;t+ 1)≤ −VaR}= 1−α
ou de façon équivalente :
Pr{L(t;t+ 1)≥VaR}= 1−α
avecL(t;t+ 1) =−PnL (t;t+ 1) la fonction de perte. On en déduit que : Pr
{PnL (t;t+ 1)−P(t)µp
P(t)σp ≤ −VaR−P(t)µp
P(t)σp
}
= 1−α Φ
(−VaR−P(t)µp
P(t)σp )
= 1−α On obtient finalement que :
VaR = −P(t)µp−Φ−1(1−α)P(t)σp
= P(t)×(
Φ−1(α)σp−µp)
= P(t)×(
Φ−1(α)√
x⊤Σx−x⊤µ )
Pour déterminer la VaR gaussienne du portefeuille, il suffit de calculer l’expression précédente avec les valeurs données deP(t), x,µet Σ. Dans cet exercice, on aµp =−34% et σp = 40%. La VaR 99% pour une période de détention d’un an est donc :
VaR1Y = 20 000×(2,33×0,40 + 0,34) = 25 440
On applique la méthode du scaling pour calculer la VaR mensuelle (TR-GDR, page 74) : VaR1M = 1
√12VaR1Y = 7 344
Si on néglige l’effet moyenne – µp= 0– on obtient VaR1M = 5 380. En fait, il n’est pas pertinent d’introduire l’effet moyenne car on n’a aucune information sur le rendement espéré du portefeuille dans le futur. Introduire l’effet moyenne revient à considérer qu’il y a une persistance de la perfor- mance. Ainsi, des actifs qui ont bien performé dans le passé récent auraient une valeur en risque plus faible que des actifs qui ont moins bien performé pour le même niveau de volatilité. À titre d’illustration, considérons un actif qui a une performance de 15% et une volatilité de 5% sur les 250 derniers jours de trading. On obtient une VaR négative égale à 2,33×0,05−0,15, ce qui signifie que la probabilité de subir une perte est plus petite que 1% !
2. Le quantile empirique1%correspond à la statistique d’ordre2,6 : 260. On procède par interpolation et on a (TR-GDR, page 66) :
VaR1D=−(−1 124 + 0,6×(−1 012−(−1 124))) = 1 056.8 Par la méthode du scaling, on obtient (TR-GDR, page 74) :
VaR1M =√
20 VaR1D= 4726
La VaR historique 99% pour une période de détention d’un mois est égale à4 726euros.
3. On écrit la relation de façon vectorielle (TR-GDR, pages 119-121) : rt=BFt+εt
On en déduit que :
var (rt) =BΩB⊤+D
avecBla matricen×mde sensibilité aux facteurs etDune matrice diagonale d’élémentsσ21, . . . , σ2n. (a) On a :
σp=√
x⊤BΩB⊤x+x⊤Dx Il vient donc que :
VaR =P(t)×Φ−1(α)×√
x⊤BΩB⊤x+x⊤Dx
(b) On en déduit que :
VaR =P(t)×Φ−1(α)×
√
(βσF)2x⊤11⊤x+x⊤Dx
Si σi2=σ2j =σ2, alors le portefeuille de VaR minimale satisfait le programme d’optimisation suivant :
x⋆ = arg min1 2x⊤
(
(βσF)211⊤+σ2In
) x s.c. 1⊤x= 1
Le Lagrangien est :
f(x;λ) =1
2x⊤Qx−λ(
1⊤x−1) avecQ= (βσF)211⊤+σ2In. Les conditions de premier ordre sont :
{ ∂xf(x;λ) =Qx−λ1= 0
∂λf(x;λ) =1⊤x−1 = 0 On obtientx=λQ−11. On en déduit aussi que :
1⊤x−1 = 0
⇔ 1⊤λQ−11−1 = 0 d’où :
λ= 1
1⊤Q−11 La solution optimale est donc :
x⋆= 1
1⊤Q−11Q−11 La matriceQ−1est particulière. C’est une matrice telle que(
Q−1)
i,i=( Q−1)
j,j et( Q−1)
i,j = (Q−1)
j,i car les termes de variance sont les mêmes ainsi que les termes de covariance. Le portefeuille de valeur en risque minimale est donc le portefeuille équipondéré (ou portefeuille 1/n) :
x⋆i = 1 n
1.3 Construction d’un scénario de stress à partir de la théorie des valeurs extrêmes (TR-GDR, page 542)
1. Le théorème de Fisher-Tippet permet de caractériser la loi asymptotique deXn:n= max (X1, . . . , Xn) avecXi des variables aléatoiresiid de distributionF. S’il existe des constantesan etbn telles que :
nlim→∞Pr
{Xn:n−bn
an ≤x }
=G(x)
alorsGest une distribution de Gumbel, de Fréchet ou de Weibull (TR-GDR, page 139).
2. On a (TR-GDR, page 140) : Pr
{Xn:n−bn an ≤x
}
= Pr{Xn:n≤anx+bn}
= Fn(anx+bn)
(a) On a (TR-GDR, page 141) :
Fn(anx+bn) = (
1−e−λ(λ−1x+λ−1lnn))n
= (
1− 1 ne−x
)n
On en déduit que :
G(x) = lim
n→∞
( 1−1
ne−x )n
=e−e−x =Λ(x) (b) On a :
Fn(anx+bn) = (
n−1x+ 1−n−1)n
= (
1 + 1
n(x−1) )n
On en déduit que :
G(x) = lim
n→∞
( 1 + 1
n(x−1) )n
=ex−1=Ψ1(x−1) (c) On a :
Fn(anx+bn) = (
1−
( θ
θ+θα−1n1/αx+θn1/α−θ )α)n
= (
1−
( 1
α−1n1/αx+n1/α )α)n
= (
1−1 n
( 1 + x
α )−α)n
On en déduit que :
G(x) = lim
n→∞
( 1− 1
n (
1 + x α
)−α)n
=e−(1+xα)−α =Φα (
1 + x α )
3. La distribution GEV permet de caractériser les trois types de distribution par une distribution unique. On a (TR-GDR, page 146) :
g(x) = ∂xG(x)
= 1 σ
[ 1 +ξ
(x−µ σ
)]−(1+ξξ ) exp
{
− [
1 +ξ
(x−µ σ
)]−1ξ}
On en déduit que : ℓ=−nlnσ−
(1 +ξ ξ
)∑n i=1
ln (
1 +ξ
(xi−µ σ
))
−
∑n i=1
[ 1 +ξ
(xi−µ σ
)]−1ξ
4. On a :
lim
ξ→0(1 +ξx)−1/ξ=e−x On en déduit que :
lim
ξ→0G(x) = lim
ξ→0exp {
− [
1 +ξ
(x−µ σ
)]−1/ξ}
= exp {
−lim
ξ→0
[ 1 +ξ
(x−µ σ
)]−1/ξ}
= exp (
−exp (
−
(x−µ σ
)))
5. Le temps de retour est la durée moyenne entre deux dépassements successifs de la VaR (TR-GDR, pages 79-81). On a :
˘t(VaRα) = 1 1−α×p
avecαle seuil de confiance et pla période de détention. Siαest égal à99% (resp.95%) et sipest 1 jour (resp. 1 an), ˘t(VaRα)est égal à 100jours (resp. 20 ans).
6. Le stress-testing permet de calculer la perte maximale d’un portefeuille pour un scénario extrême donné (TR-GDR, pages 121-129). Il permet donc de compléter la valeur en risque. En effet, celle- ci est généralement basée sur les 260 derniers scénarios historiques journaliers. Ces scénarios ne correspondent pas forcément à des scénarios extrêmes ou adverses. Dans la réglementation, le stress- testing est utilisé pour identifier les scénarios les plus risqués pour la banque. Ils ne donnent pas lieu à une exigence de fonds propres. Néanmoins, ils doivent être réalisés de façon périodique (par exemple tous les trimestres) et les résultats doivent être communiqués aux autorités réglementaires.
Pour le risque de marché, un exemple de scénario de crise est une baisse des actions de 50% en un mois. On utilise aussi le stress-testing pour mesurer les risques de marché liés à des paramètres inobservables (pour le pricing d’options exotiques par exemple). Pour le risque de crédit, un exemple de scénario de crise est un défaut de plusieurs pays de la zone Euro.
7. On a (TR-GDR, page 146) :
G−1(α) =µ−σξ−1 [
1−(−lnα)−ξ ]
Pour ξ= 1, on obtient :
G−1(α) =µ−σ (
1−(−lnα)−1 )
Par définition, on a ˇt = (1−α)−1n. Le temps de retour ˇt est donc associé au seuil de confiance α= 1−n/ˇt. On en déduit que3 :
r(ˇt)
≃ −G−1(
1−n/ˇt)
≃ −( µ−σ
( 1−(
−ln(
1−n/ˇt))−1))
= − (
µ+ (ˇt
n −1 )
σ )
On remplace ensuiteµetσpar les estimateurs du maximum de vraisemblanceµˆ et ˆσ.
8. On a :
r(P1) = −(0,01 + (12−1) 0,03) =−34%
r(P2) = −(0,10 + (12−1) 0,02) =−32%
Le scénario de stress est plus sévère pour le portefeuilleP1. Si on considère cette mesure de risque, le portefeuilleP1est donc plus risqué que le portefeuilleP2.
1.4 Stress-testing et statistiques d’ordre (TR-GDR, page 545)
1. Le stress-testing permet de calculer la perte maximale d’un portefeuille pour un scénario extrême donné (TR-GDR, pages 121-129). Il permet donc de compléter la valeur en risque. En effet, celle- ci est généralement basée sur les 260 derniers scénarios historiques journaliers. Ces scénarios ne correspondent pas forcément à des scénarios extrêmes ou adverses. Dans la réglementation, le stress- testing est utilisé pour identifier les scénarios les plus risqués pour la banque. Ils ne donnent pas lieu à une exigence de fonds propres. Néanmoins, ils doivent être réalisés de façon périodique (par exemple tous les trimestres) et les résultats doivent être communiqués aux autorités réglementaires.
3. On prend l’opposé deG−1(α)car on considère ici les minima et non les maxima.
Pour le risque de marché, un exemple de scénario de crise est une baisse des actions de 50% en un mois. On utilise aussi le stress-testing pour mesurer les risques de marché liés à des paramètres inobservables (pour le pricing d’options exotiques par exemple). Pour le risque de crédit, un exemple de scénario de crise est un défaut de plusieurs pays de la zone Euro.
2. On a (TR-GDR, pages 131-133) :
Gn(x) = Pr{max (X1, . . . , Xn)≤x}
= Pr{X1≤x, . . . , Xn≤x}
=
∏n i=1
Pr{Xi≤x}
= Φ
(x−µ σ
)n
3. On considère la statistique d’ordreXn:n. La fonction de densité associée est : fn(x) = ∂xGn:n(x)
= n σϕ
(x−µ σ
) Φ
(x−µ σ
)n−1
La log-vraisemblance associée à un échantillon(x1, . . . , xm)de la statistique d’ordreXn:n est donc (TR-GDR, page 135) :
ℓ(n) =mlnn−m
2 ln (2π)−m 2 lnσ2−
∑m i=1
1 2
(xi−µ σ
)2
−(n−1) ln Φ
(xi−µ σ
)
Pour chaque statistique d’ordre Xn:n, nous pouvons donc calculer la log-vraisemblance ℓ(n) et déterminer les estimationsµˆ(n)et σˆ(n). Il suffit ensuite de tester les hypothèses µˆ(1) = ˆµ(2) = . . .= ˆµ(n)etσˆ(1) = ˆσ(2) =. . .= ˆσ(n)(TR-GDR, pages 136-137).
4. Le temps de retour est la durée moyenne entre deux dépassements successifs de la VaR. On a (TR-GDR, page 81) :
˘t(VaRα) = 1 1−α×p
avecαle seuil de confiance etpla période de détention. Siα= 99%, ˘t(VaRα)est égal à100jours (resp. 4 ans et 100 ans) si la période de détention est 1 jour (resp. 10 jours et 1 an). On a :
˘t(
G−n1(α))
= 1
1−α×n
Le temps de retour associé aux quantilesG−11(99%),G−51(99%)etG−221(99%)est donc égal à100 jours,500 jours et2 200 jours.
5. On cherche le seuil de confianceαtel que (TR-GDR, page 150) :
˘t(
G−201(α))
= ˘t(
VaR99,9%) On a donc :
1
1−α×20 = 1
1−0,999 ×1 ou encore :
α= 1−20×0,001 = 98%
1.5 Les mesures de risque (TR-GDR, page 549)
1. (a) On a (TR-GDR, page 29) :
VaR (α) = inf{x: Pr{L≥x} ≥α} ES (α) = E[L|L≥VaR (α)]
(b) On suppose queFest continue. On a doncVaR (α) =F−1(α). On en déduit que : ES (α) = E[
L|L≥F−1(α)]
=
∫ ∞
F−1(α)
x f(x)
1−F(F−1(α))dx
= 1
1−α
∫ ∞
F−1(α)
xf(x) dx
On considère le changement de variable t = F(x). Comme dt =f(x) dx et F(∞) = 1, on obtient :
ES (α) = 1 1−α
∫ 1 α
F−1(t) dt (c) On a :
f(x) =θx−(θ+1) x−−θ On a donc :
E[Ln] =
∫ ∞
x−
xnθx−(θ+1) x−−θ dx
= θ
x−−θ
∫ ∞
x−
xn−θ−1dx
= θ
x−−θ [xn−θ
n−θ ]∞
x−
= θ
θ−nxn− On en déduit que :
E[L] = θ θ−1x− et :
E[ L2]
= θ θ−2x2− On remarque aussi que :
var (L) =E[ L2]
−E2[L] = θ
(θ−1)2(θ−2)x2−
x− permet de localiser la distribution tandis queθ contrôle la queue de distribution. On a : 1−
(F−1(α) x−
)−θ
=α On en déduit que :
F−1(α) =x−(1−α)−θ−1
On obtient donc :
ES (α) = 1 1−α
∫ 1 α
x−(1−t)−θ−1 dt
= x− 1−α
[
− 1
1−θ−1(1−t)1−θ−1 ]1
α
= θ
θ−1x−(1−α)−θ−1
= θ
θ−1F−1(α) Commeθ >1, on a alors θ−θ1 >1et :
ES (α) = θ
θ−1VaR (α)
> VaR (α) (d) On a :
ES (α) = 1 1−α
∫ ∞
µ+σΦ−1(α)
x 1 σ√
2πexp (
−1 2
(x−µ σ
)2) dx
On considère le changement de variablet=σ−1(x−µ). On obtient (TR-GDR, page 498) : ES (α) = 1
1−α
∫ ∞
Φ−1(α)
(µ+σt) 1
√2πexp (
−1 2t2
) dt
= µ
1−α[Φ (t)]∞Φ−1(α)+ σ (1−α)√
2π
∫ ∞
Φ−1(α)
texp (
−1 2t2
) dt
= µ+ σ
(1−α)√ 2π
[
−exp (
−1 2t2
)]∞
Φ−1(α)
= µ+ σ
(1−α)√ 2πexp
(
−1 2
[Φ−1(α)]2)
= µ+ σ (1−α)ϕ(
Φ−1(α)) Commeϕ′(x) =−xϕ(x), on a :
1−Φ (x) =
∫ ∞
x
ϕ(t) dt
=
∫ ∞
x
(
−1 t
)
(−tϕ(t)) dt
=
∫ ∞
x
(
−1 t
)
ϕ′(t) dt
On considère l’intégration par partie avecu(t) =−t−1 etv′(t) =ϕ(t)et on obtient : 1−Φ (x) =
[
−ϕ(t) t
]∞
x
−
∫ ∞
x
1
t2ϕ(t) dt
= ϕ(x) x +
∫ ∞
x
1
t3(−tϕ(t)) dt
= ϕ(x) x +
∫ ∞
x
1
t3ϕ′(t) dt
On considère de nouveau l’intégration par partie avecu(t) =t−3etv′(t) =ϕ(t)et on obtient : 1−Φ (x) = ϕ(x)
x +
[ϕ(t) t3
]∞
x
−
∫ ∞
x
−3
t4ϕ(t) dt
= ϕ(x)
x −ϕ(x) x3 −
∫ ∞
x
3
t5ϕ′(t) dt
On peut continuer à intégrer par partie de façon récursive en posantv′(t) =ϕ(t). On obtient finalement l’expansion suivante :
1−Φ (x) = ϕ(x)
x −ϕ(x)
x3 + 3ϕ(x)
x5 −3·5ϕ(x)
x7 + 3·5·7ϕ(x) x9 −. . .
= ϕ(x) x + 1
x2
∑∞ n=1
(−1)n ( n
∏
i=1
(2i−1) )
ϕ(x) x2n−1
= ϕ(x)
x +Ψ (x) x2 d’où on en déduit que :
ϕ(x) =x(1−Φ (x))−Ψ (x) x On reprend l’expression deES (α)et on posex= Φ−1(α):
ES (α) = µ+ σ (1−α)ϕ(
Φ−1(α))
= µ+ σ
(1−α)ϕ(x)
= µ+ σ (1−α)
(
Φ−1(α) (1−α)−Ψ(
Φ−1(α)) Φ−1(α)
)
= µ+σΦ−1(α)−σ Ψ(
Φ−1(α)) (1−α) Φ−1(α)
= VaR (α)−σ Ψ(
Φ−1(α)) (1−α) Φ−1(α) On en déduit queES (α)→VaR (α)lorsqueα→1car :
αlim→1
Ψ(
Φ−1(α)) (1−α) Φ−1(α)= 0
(e) Pour la distribution gaussienne, l’expected shortfall et la valeur en risque coincident pour des niveaux élevés de probabilité, ce qui n’est pas le cas de la distribution de Pareto, qui présente une queue épaisse. L’utilisation de la distribution de Pareto peut donc produire des mesures de risque beaucoup plus élevées que celles basées sur la distribution gaussienne.
2. On a (TR-GDR, page 29) :
R(L1+L2) =E[L1+L2] =E[L1] +E[L2] =R(L1) +R(L2) R(λL) =E[λL] =λE[L] =λR(L)
R(L+m) =E[L−m] =E[L]−m=R(L)−m On remarque que :
E[L] =
∫ ∞
−∞
xdF(x) =
∫ 1 0
F−1(t) dt
On en déduit que si F1(x) ≥F2(x), alors F−11(t) ≤F−21(t) et E[L1] ≤E[L2]. R est donc une mesure de risque cohérente.
3. On procède de la même façon pour montrer que R(L) = E[L] +σ(L) est une mesure de risque cohérente.
4. On a :
ℓi 0 1 2 3 4 5 6 7 8
Pr{L=ℓi} 0,2 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 Pr{L≤ℓi} 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 (a) On aVaR (50%) = 3,VaR (75%) = 6et VaR (90%) = 7. On en déduit que :
ES (50%) = 3×10% +. . .+ 8×10%
60% = 5,5
ES (75%) = 6×10% +. . .+ 8×10%
30% = 7,0
ES (90%) = 7×10% + 8×10%
20% = 7,5
(b) On doit construire une distribution bivariée telle que (TR-GDR, page 30) : F−11(α) +F−21(α)<F−1+21 (α)
Pour cela, on peut s’aider des différents résultats sur les inégalités de Makarov (TR-GDR, pages 344-350). Par exemple, il suffit de considérer la somme ordinale de la copule C+ pour u1 ≤ αet u2 ≤α et d’une autre copule Cα pour u1 > α et u2 > α pour produire dans la plupart des cas une distribution bivariée qui ne vérifie pas la propriété de sous-additivité pour la valeur en risque. Prenons par exemple α = 70% et Cα = C−, on obtient la distribution bivariée suivante :
ℓi 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Pr{L2=ℓi}
0 0,2 0,2
1 0,1 0,1
2 0,1 0,1
3 0,1 0,1
4 0,1 0,1
5 0,1 0,1
6 0,1 0,1
7 0,1 0,1
8 0,1 0,1
Pr{L1=ℓi} 0,2 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 On a donc :
ℓi 0 2 4 6 8 10 14
Pr{L1+L2=ℓi} 0,2 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,3 Pr{L1+L2≤ℓi} 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 1,0 CommeF−11(80%) =F−21(80%) = 6 etF−1+21 (80%) = 14, on en déduit que :
F−11(80%) +F−21(80%)<F−1+21 (80%) 5. (a) On a (TR-GDR, page 498) :
∂ VaR (α)
∂ xi
=E[Li|L= VaR (α)]
(b) On a :
L∼ N( x⊤µ,√
x⊤Σx )
On en déduit que :
VaR (α) =x⊤µ+ Φ−1(α)√ x⊤Σx et :
∂ VaR (α)
∂ x =µ+ Φ−1(α) Σx
√x⊤Σx
On peut aussi utiliser le résultat précédent pour retrouver cette expression (TR-GDR, page 499).
1.6 Valeur en risque crédit d’un portefeuille non granulaire (TR-GDR, page 542)
On rappelle le résultat suivant. Soient AetBdeux événements indépendants. On a : Pr{Aet B} = Pr{A} ×Pr{B}
Pr{AouB} = Pr{A}+ Pr{B} −Pr{A} ×Pr{B}
La référence principale de cet exercice est (TR-GDR, pages 30 et 197-200). La perte aléatoire L a pour expression :
L= 1000×LGD×D
avecLGDla perte en cas de défaut etD la variable aléatoire représentant le défaut.D est une variable de Bernoulli de paramètrePD.
1. On a L= 1000×D.Lpeut donc prendre deux valeurs0 et1 000. On a : Pr{L= 0} = Pr{1 000×D= 0}
= Pr{D= 0}
= 1−PD On obtient finalement :
x 0 1 000
Pr{L=x} 99,5% 0,5%
Pr{L≤x} 99,5% 100%
On en déduit que la VaR 1 an à 99% est nulle.
2. Dans ce cas,Lpeut prendre trois valeurs0,500 et1 000. On a : Pr{L= 0} = Pr{1 000×LGD×D= 0}
= Pr{D= 0}
= 99,5%
et :
Pr{L= 500} = Pr{1 000×LGD×D= 500}
= Pr{LGD = 50%et D= 1}
= Pr{LGD = 50%} ×Pr{D= 1}
= 25%×0,5%
On obtient finalement :
x 0 500 1 000
Pr{L=x} 99,5% 0,125% 0,375%
Pr{L≤x} 99,5% 99,625% 100%
On en déduit que la VaR 1 an à 99% est nulle.
3. Dans le premier cas, on obtient :
x 0 1 000
Pr{L=x} 90% 10%
Pr{L≤x} 90% 100%
Dans le deuxième cas, les résultats deviennent :
x 0 500 1 000
Pr{L=x} 90% 2,5% 7,5%
Pr{L≤x} 90% 92,5% 100%
La VaR 1 an à 99% est égale à 1 000euros dans les 2 cas.
4. L’expression de la perte aléatoireL devient :
L= 1 000×LGDA×DA+ 1 000×LGDB×DB
Lpeut donc prendre trois valeurs0(si A et B ne font pas défaut), 1 000(si A ou B fait défaut) et 2 000 (si A et B font défaut). On a :
Pr{L= 0} = Pr{DA= 0etDB= 0}
= Pr{DA= 0} ×Pr{DB= 0}
= 0.9×0.9 et :
Pr{L= 1 000} = Pr{DA= 0etDB= 1}+ Pr{DA= 1etDB= 0}
= 2×0,9×0,1 On obtient :
x 0 1 000 2 000
Pr{L=x} 81% 18% 1%
Pr{L≤x} 81% 99% 100%
La VaR 1 an à 99% est égale à 1 000euros.
5. Dans ce cas,Lprend cinq valeurs0,500, 1 000,1 500et 2 000. On a : Pr{L= 0} = Pr{DA= 0etDB= 0}= 0,9×0,9 Pr{L= 500} = Pr{DA= 1, LGDA= 50%etDB= 0}+
Pr{DA= 0,DB = 1et LGDB = 50%}
= 2×0,9×0,25×0,1
Pr{L= 1 000} = Pr{DA= 1, LGDA= 100%et DB = 0}+ Pr{DA= 0,DB = 1et LGDB = 100%}+
Pr{DA= 1, LGDA= 50%,DB = 1et LGDB= 50%}
= 2×0,9×0,75×0,1 + 0,1×0,25×0,1×0,25
Pr{L= 1 500} = Pr{DA= 1, LGDA= 100%, DB= 1 et LGDB= 50%}+ Pr{DA= 1, LGDA= 50%,DB = 1et LGDB= 100%}
= 2×0,1×0,75×0,1×0,25
Pr{L= 2 000} = Pr{DA= 1, LGDA= 50%,DB = 1et LGDB= 50%}
= 0,1×0,75×0,1×0,75 On obtient :
x 0 500 1 000 1 500 2 000
Pr{L=x} 81% 4,5% 13,5625% 0,375% 0,5625%
Pr{L≤x} 81% 85,5% 99,0625% 99,4375% 100%
La VaR 1 an à 99% est égale à 1 000euros.
1.7 Contribution en risque dans le modèle Bâle II (TR-GDR, page 541)
1. On suppose que (TR-GDR, page 179) :
(a) les pertes en cas de défautLGDi sont indépendantes des temps de défautτi;
(b) le défaut de lai-ième créance dépend d’un ensemble de facteurs communsX1, . . . , Xm; (c) le portefeuille est infiniment granulaire ; il n’y a donc pas de concentration d’exposition sur
une contrepartie, ce qui se peut se traduire par la propriété mathématique suivante :
EADi
/ I
∑
i=1
EADi ≃0
2. SoitRune mesure de risque. La contribution en risque de la créanceiest le produit de l’exposition de la créanceiet du risque marginal (TR-GDR, page 497) :
RCi = EADi× ∂R
∂ EADi
Dans le cas d’une mesure de risque convexe, on a : R=
∑I i=1
RCi
La mesure de risque est alors égale à la somme des différentes contributions en risque.
3. On a :
EL = E[L]
UL = F−1(α)−EL
avecFla fonction de répartition deL. Si les temps de défaut sont indépendants, on obtient : E[L|X1, . . . , Xm] =
∑I i=1
EADi×E[LGDi]×PDi= EL
Ln’est donc plus aléatoire, on aPr{L= EL}= 1. Il vient queF−1(α) = EL etUL = 0.
4. On note (TR-GDR, page 180) :
g(x) =
∑I i=1
EADi×E[LGDi]×PDi(x) d’où :
E[L|X =x] =g(x) On a donc :
F(ℓ) = Pr{L≤ℓ}= Pr{g(X)≤ℓ}
CommeEADi≥0 etE[LGDi]≥0,g(x)est une fonction monotone croissante (resp. décroissante) siPDi(x)est une fonction croissante (resp. décroissante) dex. Dans le cas oùg(x)est une fonction croissante, on a :
Pr{g(X)≤ℓ}=α
⇔ Pr{
X≤g−1(ℓ)}
=α
⇔ H(
g−1(ℓ))
=α
⇔ ℓ=g(
H−1(α))
On en déduit donc que :
F−1(α) =
∑I i=1
EADi×E[LGDi]×PDi(
H−1(α)) Dans le cas oùg(x)est une fonction décroissante, on a :
Pr{g(X)≤ℓ}=α
⇔ Pr{
X≥g−1(ℓ)}
=α
⇔ H(
g−1(ℓ))
= 1−α
⇔ ℓ=g(
H−1(1−α)) On en déduit donc que :
F−1(α) =
∑I i=1
EADi×E[LGDi]×PDi
(H−1(1−α))
Si au moins une des expositionsEADiest négative, la fonctiong(x)n’est plus forcément monotone.
On ne vérifie plus g(X) ≤ ℓ ⇔ X ≤ g−1(ℓ) (cas croissant) ou g(X) ≤ ℓ ⇔ X ≥ g−1(ℓ) (cas décroissant) et les expressions deF−1(α)ne sont plus valides. On ne peut donc pas utiliser le modèle de capital réglementaire si le portefeuille de crédit contient une (ou plusieurs) exposition nette négative sur une contrepartie. Pour la gestion de portefeuille de crédit, cela implique que l’achat d’une protection de type CDS sur une contrepartie ne doit se faire que pour réduire l’exposition sur cette contrepartie et non pour prendre une positionshort sur celle-ci.
5. On a (TR-GDR, pages 181-182) :
PDi = Pr{τi≤Mi}
= Pr{Zi≤Bi}
= Φ (Bi) d’oùBi= Φ−1(PDi). On a aussi :
Pr{τi≤Mi |X =x} = Pr{Zi≤Bi|X=x}
= Pr {√
ρX+√
1−ρεi≤Bi|X =x }
= Pr {
εi≤Bi− √ρX
√1−ρ |X=x }
= Φ
(Φ−1(PDi)− √ρx
√1−ρ )
En utilisant la paramétrisation deΦ (x1, x2;ρ)donnée à la page 296 de TR-GDR, on a : EX
[ Φ
(Φ−1(PDi)− √ρX
√1−ρ
)]
=
∫ ∞
−∞
Φ
(Φ−1(PDi)− √ρx
√1−ρ )
ϕ(x) dx
= Φ(
∞,Φ−1(PDi) ;ρ)
= PDi
6. La probabilité de défaut conditionnelle étant une fonction décroissante dex, on a : F−1(α) =
∑I i=1
EADi×E[LGDi]×PDi
(Φ−1(1−α))
=
∑I i=1
EADi×E[LGDi]×Φ
(Φ−1(PDi)− √ρΦ−1(1−α)
√1−ρ
)
=
∑I i=1
EADi×E[LGDi]×Φ
(Φ−1(PDi) +√ρΦ−1(α)
√1−ρ
)
Commef(
F−1(α))
=(
∂αF−1(α))−1
, on en déduit que (TR-GDR, page 505) :
f(ℓ) = 1
∑I
i=1EADi×E[LGDi]×ϕ
(Φ−1(PDi)+√ρΦ−1(α)
√1−ρ
)×√1−ρϕ(Φ√ρ−1(α))
avecℓ=F−1(α).
7. ρest la corrélation constante des actifs : cor (Zi, Zj) = E[ZiZj]
= E[
ρX2+√
ρ(1−ρ)X(εi+εj) + (1−ρ)εiεj
]
= ρ
On peut estimer ce paramètre par maximum de vraisemblance en considérant un historique de taux de défaut (TR-GDR, pages 474-477).
8. Le Pilier II doit donc s’intéresser à l’impact du non-respect des hypothèses et au risque de modèle.
En particulier, on doit comprendre quel est l’impact de la non-granularité du portefeuille et quel est l’impact si la corrélation des actifs n’est pas constante (par exemple si elle augmente fortement dans le cas d’une crise systèmique).
1.8 Le risque de contrepartie sur opérations de marché (TR-GDR, page 551)
1. (a) NotonsMtMA(C)et MTMB(C)le mark-to-market des banquesAet Bpour le contrat C. On doit vérifier théoriquement que :
MtMA+B(C) = MTMA(C) + MTMB(C)
= 0
Dans le cas de contrats listés, la relation précédente est généralement vérifiée. Dans le cas de contrats OTC, il n’y a pas de prix de marché. Dans ce cas, la banque utilise un modèle pour valoriser le contrat OTC. On parle d’une valorisation en mark-to-model. La relation MTMA+B(C) = 0(ouMTMA+B(C)≃0) n’est plus forcément vérifiée pour plusieurs raisons : les deux contreparties n’utilisent pas forcément le même modèle de valorisation, les paramètres utilisés ne sont pas exactement les mêmes, les systèmes de provisionnement pour le risque de modèle (appelés aussiréfactions) ne sont pas comparables, etc. Dans cet exemple, on obtient :
MTMA+B(C1) = 10−11 =−1 MTMA+B(C2) = −5 + 6 = 1 MTMA+B(C3) = 6−3 = 3 MTMA+B(C4) = 17−12 = 5 MTMA+B(C5) = −5 + 9 = 4 MTMA+B(C6) = −5 + 5 = 0 MTMA+B(C7) = 1 + 1 = 2
Il y a donc un contrat qui vérifie exactement la relation (c’est le contrat C6). La relation est presque vérifiée pour deux autres contrats (ce sont les contrats C1 etC2). Pour le contratC7, chaque contrepartie pense être gagnante et affiche un mark-to-market positif ! Enfin, il y a trois contrats qui présentent de grosses différences (ce sont les contratsC3,C4et C5).
(b) On a (TR-GDR, pages 216-217) :
EAD =
∑I i=1
max (MTM (Ci),0)
On obtient donc :
EADA = 10 + 6 + 17 + 1 = 34 EADB = 6 + 9 + 5 + 1 = 21 (c) On a (TR-GDR, page 217) :
EAD = max ( I
∑
i=1
MTM (Ci),0 )
On obtient donc :
EADA = max(10−5 + 6 + 17−5−5 + 1,0) = max (19,0) = 19 EADB = max(−11 + 6−3−12 + 9 + 5 + 1,0) = max (−5,0) = 0 (d) On a (TR-GDR, page 217) :
EADA = max(10−5 + 6,0) + 17 + 1 = 29 EADB = max(−11 + 6−3,0) + 9 + 5 + 1 = 15 (a) On a (TR-GDR, pages 220-221) :
– L’exposition au défaut d’un contrat OTC est égale à : e(t) = max (MTM (t),0)
avec MTM (t) le mark-to-market du contrat à la date future t. e(t)est donc une variable aléatoire.
– La distribution de l’exposition au défaut e(t) pour la date future t est notée F[0,t]. L’ex- position future potentielle (potential future exposure) est le quantile de la distributionF[0,t]
pour un seuil de confianceαdonné :
PFEα(0;t) =F−[0,t]1 (α)
– L’exposition maximale (peak exposure) est le maximum des expositions futures potentielles : PEα(0) = sup
t
PFEα(0;t)
Cette quantité est aussi connue sous le nom d’exposition future potentielle maximale (maxi- mum potential future exposure ou MPFE).
– L’exposition attendue (expected exposure) est la moyenne de l’exposition au défaut pour une datet donnée :
EE (0;t) =E[e(t)] =
∫
xdF[0,t](x)
– L’exposition positive attendue (expected positive exposure) est la moyenne pondérée dans le temps des expositions attendues :
EPE (0;h) =E [
1 h
∫ h 0
e(t) dt ]
= 1 h
∫ h 0
EE (0, t) dt
– L’exposition attendue effective (effective expected exposure) est l’exposition maximale atten- due jusqu’à la datet:
EEE (0;t) = sup
θ≤t
EE (0;θ) = max( EEE(
0;t−)
,EE (0;t))
– L’exposition positive attendue effective (effective expected positive exposure) est la moyenne pondérée dans le temps des expositions attendues :
EEPE (0;h) = 1 h
∫ h 0
EEE (0;t) dt – Sie(t) =σ√
tε avecε∼ U[0,1], on obtient :
F[0,t](x) = x σ√
t avecx∈[
0, σ√ t]
. On a donc :
PFEα(0;t) = F−[0,t]1 (α) =ασ√ t PEα(0) = ασ√
T EE (0;t) =
∫ σ√ t 0
x 1 σ√
tdx= σ√ t 2 EPE (0;h) = 1
h
∫ h 0
σ√ t
2 dt= σ√ h 3 EEE (0;t) = σ√
t 2 EEPE (0;h) = 1
h
∫ h 0
σ√ t
3 dt= σ√ h 3 – Sie(t) = exp(
σ√ tε)
avecε∼ N(0,1), on obtient : F[0,t](x) = Φ
(lnx σ√
t )
avecx∈[0,∞]. On a donc :
PFEα(0;t) = F−[0,t]1 (α) = exp (
σ√
tΦ−1(α) ) PEα(0) = exp
( σ√
TΦ−1(α) ) EE (0;t) = exp
(1 2σ2t
)
EPE (0;h) = (
exp (1
2σ2h )
−1 )/ (1
2σ2h )
EEE (0;t) = exp (1
2σ2t )
EEPE (0;h) = (
exp (1
2σ2h )
−1 )/ (1
2σ2h )
– Sie(t) =σ(
t3−73T t2+43T2t)
εavecε∼ U[0,1], on obtient : F[0,t](x) =F[0,t](x) = x
σ(
t3−73T t2+43T2t)
