Le modèle binomial Exercices

Le modèle binomial Exercices

Exercice 5.1. Nous travaillons à partir du modèle de marché

! (S ₀ ¹ ; S ₀ ² ) (S ₁ ¹ ; S ₁ ² ) (S ₂ ¹ ; S ₂ ² ) C

! _{1 1;21} ¹ ; 2 _1;1 ¹ ; 2 (1; 2) 0

! _{2 1;21} ¹ ; 2 _1;1 ¹ ; 2 (1; 3) 0

! _{3 1;21} ¹ ; 2 _1;1 ¹ ; 4 (1; 3) 0

! _{4 1;21} ¹ ; 2 _1;1 ¹ ; 4 (1; 4) 1

! _{5 1;21} ¹ ; 2 _1;1 ¹ ; 4 (1; 6) 3

où S _t ¹ (!) = prix d’une part d’un titre non-risqué au temps t;

et S _t ² (!) = prix d’une part d’un titre risqué au temps t:

En général, nous ne connaissons pas la « vraie» mesure de probabilité qui prévaut sur ( ; F ).

Par contre, chacun des intervenants sur le marché présume, selon ses connaissances, d’une certaine mesure de probabilité P . L’un d’eux croit que le prix d’une part du titre risqué sera, au temps t = 2, vraisemblablement inférieur à 3 dollars. C’est pourquoi il o¤re sur le marché l’option d’achat du titre risqué avec un prix d’exercice de K = 3, c’est-à-dire que le droit contingent C représentant la valeur de l’option d’achat au temps t = 2 est C (!) = max f S ₂ ² (!) 3; 0 g .

a) Sur quel espace probabilisable …ltré est construit le modèle ? b) Montrez que ce modèle de marché n’admet pas l’arbitrage.

c) Trouvez une stratégie auto…nancée telle que V ₂ ( ) = C. ( est alors une stratégie permettant au vendeur du droit conditionnel de se couvrir).

d) Déterminez V ₀ ( ).

e) Trouvez les mesures neutres au risque (mesures martingales) pour ce modèle.

f ) Déterminez, pour chacune des mesures neutres au risque, la valeur actualisée espérée du droit conditionnel C. Que constatez-vous ?

Exercice 5.2. Trois actifs sont modélisés sous la forme du processus stochastique f (B _t ; X _t ; Y _t ) : t 2 f 0; 1 gg

où B , X et Y représente respectivement l’évolution du prix de trois actifs.

t = 0 t = 1

! ₁ (1; 1; 1) (1 + r; x ₁ ; y ₁ )

! ₂ (1; 1; 1) (1 + r; x ₁ ; y ₂ )

! ₃ (1; 1; 1) (1 + r; x ₂ ; y ₁ )

! ₄ (1; 1; 1) (1 + r; x ₂ ; y ₂ )

Sans perte de généralité, il est possible de supposer que x ₁ < x ₂ , y ₁ < y ₂ et x ₁ < y ₁ .

a) Quelles sont les conditions que l’on doit imposer au modèle a…n qu’il n’admette pas d’opportunité d’arbitrage ?

b) Est-ce que le marché est complet ? Justi…ez vos réponses.

Exercice 5.3. Un modèle de marché discret à deux périodes est composé d’un actif risqué f S (t) : t = 0; 1; 2 g versant des dividendes f D (t) : t = 0; 1; 2 g et d’un compte bancaire f B (t) : t = 0; 1; 2 g dont la valeur au temps t est B (t) = (1 + r) ^t . Sans perte de généralité, on peut supposer que s ₁₁ + d ₁₁ < s ₁₂ + d ₁₂ , s ₂₁ + d ₂₁ < s ₂₂ + d ₂₂ et s ₂₃ + d ₂₃ < s ₂₄ + d ₂₄ .

t = 0 t = 1 t = 2 ! Q

s ₂₄ ; d ₂₄

(1 + r) ² ! ₄ q ₄

% s ₁₂ ; d ₁₂

1 + r ! s ₂₃ ; d ₂₃

(1 + r) ² ! ₃ q ₃

% s ₀ ; 0

1

&

s ₁₁ ; d ₁₁

1 + r ! s ₂₂ ; d ₂₂

(1 + r) ² ! ₂ q ₂

&

s ₂₁ ; d ₂₁

(1 + r) ² ! ₁ q ₁

a) Justi…ez pourquoi il faudrait revoir la dé…nition de stratégie auto…nancée dans ce cas.

Qu’est-ce qu’elle devrait être ?

b) Construisez la mesure neutre au risque.

c) Quelles sont les conditions assurant l’absence d’opportunités d’arbitrage dans ce modèle.

d) Quel est le prix au temps t = 0 du droit contingent qui paie à l’instant t = 1 le montant

f ₁₁ si ! ₁ ou ! ₂ se réalisent et f ₁₂ si ! ₃ ou ! ₄ se réalisent ?

Solutions

1 Exercice 5.1

a) Sur quel espace probabilisable …ltré est construit le modèle ?

= f ! ₁ ; ! ₂ ; ! ₃ ; ! ₄ ; ! ₅ g

F = l’ensemble de tous les événements de F ⁰ = f? ; g

F ¹ = ff ! ₁ ; ! g ; f ! ₃ ; ! ₄ ; ! ₅ gg F ² = F

b) Montrez que ce modèle de marché n’admet pas d’arbitrage.

Le modèle à deux périodes peut être abordé comme plusieurs modèles à une seule période mis bout à bout. On peut aussi faire la démonstration au long, comme cela est fait dans l’annexe 1.

Pour la période allant du temps t = 0 au temps t = 1, nous sommes en présence d’un modèle binomial à une seule période. Le taux d’intérêt prévalant au cours de cette période nous est donné par l’actif non risqué :

r =

1 1:1

1 1:21 1 1:21

= 0:1:

Puisque 2 < 2 (1 + 0:1) = 2:2 < 4, il n’y a pas possibilité d’arbitrage au cours de cette période.

Pour la période allant de l’instant t = 1 à l’instant t = 2, nous devons considérer deux cas : est-ce l’atome f ! ₁ ; ! ₂ g qui s’est réalisé ou bien si c’est l’atome f ! ₃ ; ! ₄ ; ! ₅ g . Si c’est l’atome f ! ₁ ; ! ₂ g qui s’est réalisé, alors nous sommes en présence d’un modèle binomial à une seule période. Le taux d’intérêt nous est donné par l’actif non risqué :

r = 1 _1:1 ¹

1 1:1

= 0:1:

Puisque 2 < 2 (1 + 0:1) = 2:2 < 3, il n’y a pas possibilité d’arbitrage dans ce cas. Si c’est l’atome f ! ₃ ; ! ₄ ; ! ₅ g qui s’est réalisé, alors nous sommes en présence d’un modèle trinomial à une seule période. Le taux d’intérêt nous est donné par l’actif non risqué :

r = 1 _1:1 ¹

1 1:1

= 0:1:

Il y aura arbitrage s’il existe un portefeuille = ( ₁ ; ₂ ) tel que (A1) 8 ! 2 f ! ₃ ; ! ₄ ; ! ₅ g ; V (0; !) = 0 (A2) 8 ! 2 f ! ₃ ; ! ₄ ; ! ₅ g ; V (1; !) 0 (A3) 9 ! 2 f ! ₃ ; ! ₄ ; ! ₅ g ; V (1; !) > 0:

La condition (A1) implique que

0 = V (0; !) = 1

1:1 ¹ + 4 ₂ , 1 = 4:4 ₂ : Pour tout portefeuille = ( 4:4 ₂ ; ₂ ),

V (1; ! ₃ ) = 4:4 ₂ + 3 ₂ = 1:4 ₂ ; V (1; ! ₄ ) = 4:4 ₂ + 4 ₂ = 0:4 ₂ ; V (1; ! ₅ ) = 4:4 ₂ + 6 ₂ = 1:6 ₂ :

Par conséquent, si ₂ < 0, alors V (1; ! ₅ ) < 0 violant ainsi la condition (A2). Si ₂ > 0, alors la condition (A2) est encore une fois non respectée puisque V (1; ! ₃ ) < 0 et V (1; ! ₄ ) < 0:

Si ₂ = 0, alors la condition (A3) est violée puisque V (1; ! ₄ ) = V (1; ! ₅ ) = V (1; ! ₆ ) = 0:

Il n’y a donc pas d’opportunité d’arbitrage.

c) Trouvez une stratégie auto…nancée telle que V ₂ ( ) = C. ( est alors une stratégie permettant au vendeur du droit conditionnel de se couvrir).

La réponse est

1

1 ; ² ₁ ¹ ₂ ; ² ₂

f ! ₁ ; ! ₂ g ¹⁴ ₁₀ ; ₁₁ ⁷ (0; 0)

f ! ₃ ; ! ₄ ; ! ₅ g ¹⁴ ₁₀ ; ₁₁ ⁷ ( 3; 1)

En e¤et, nous cherchons une stratégie auto…nancée telle que V 2 ( ) = C. Puisque ₂ est F ¹ mesurable,

2 (! ₁ ) = ₂ (! ₂ ) et ₂ (! ₃ ) = ₂ (! ₄ ) = ₂ (! ₅ ) : À cause de l’égalité V ₂ ( ) = C nous avons que

(i) 0 = C (! ₁ ) = V ₂ ( ; ! ₁ ) = ¹ ₂ (! ₁ ) + 2 ² ₂ (! ₁ )

(ii) 0 = C (! ₂ ) = V ₂ ( ; ! ₂ ) = ¹ ₂ (! ₂ ) + 3 ² ₂ (! ₂ ) = ¹ ₂ (! ₁ ) + 3 ² ₂ (! ₁ ) (iii) 0 = C (! ₃ ) = V ₂ ( ; ! ₃ ) = ¹ ₂ (! ₃ ) + 3 ² ₂ (! ₃ )

(iv) 1 = C (! ₄ ) = V ₂ ( ; ! ₄ ) = ¹ ₂ (! ₄ ) + 4 ² ₂ (! ₄ ) = ¹ ₂ (! ₃ ) + 4 ² ₂ (! ₃ ) (v) 3 = C (! ₅ ) = V ₂ ( ; ! ₅ ) = ¹ ₂ (! ₅ ) + 6 ² ₂ (! ₅ ) = ¹ ₂ (! ₃ ) + 6 ² ₂ (! ₃ ) :

Les équations (i) et (ii) impliquent que ¹ ₂ (! ₁ ) = 0 et ² ₂ (! ₁ ) = 0. Les équations (iii), (iv) et (v) impliquent que ¹ ₂ (! ₃ ) = 3 et ² ₂ (! ₃ ) = 1. Comme ₁ = ¹ ₁ ; ² ₁ est F ⁰ mesurable, le portefeuille ₁ est constant, c’est-à-dire que

8 ! 2 ; ₁ (!) = ¹ ₁ ; ² ₁ :

Parce que la stratégie est auto…nancée, elle doit satisfaire 8 ! 2 ;

1

2 (!) S ₁ ¹ (!) + ² ₂ (!) S ₁ ² (!) = ¹ ₁ (!) S ₁ ¹ (!) + ² ₁ (!) S ₁ ² (!)

= ¹ ₁ S ₁ ¹ (!) + ² ₁ S ₁ ² (!) : Ainsi

8 ! 2 f ! ₁ ; ! ₂ g ; 1

1; 1

1

1 + 2 ² ₁ = 1 1; 1

1

2 (!) + 2 ² ₂ (!) = 0 , ¹ 1 = 2; 2 ² ₁ 8 ! 2 f ! ₃ ; ! ₄ ; ! ₅ g ;

1 1; 1

1

1 + 4 ² ₁ = 1 1; 1

1

2 (!) + 4 ² ₂ (!) = 3

1; 1 + 4 = 1; 4

1; 1 , ¹ 1 = 1; 4 4; 4 ² ₁ : Par conséquent,

2; 2 ² ₁ = 1; 4 4; 4 ² ₁ , ² 1 = 1; 4 2; 2 = 7

11

1

1 = 2; 2 ² ₁ = 2; 2 1; 4

2; 2 = 1; 4

donc ¹ ₁ = 1; 4 et ² ₁ = (1; 4) = (2; 2) = 7=11 = 0; 63636:

d) Déterminez V ₀ ( ).

V ₀ ( ) = ¹ ₁ S ₀ ¹ + ² ₁ S ₀ ² = 1; 4 1; 21 + 7

11 2 = 14

121 = 0; 1157

e) Trouvez les mesures neutres au risque (mesures martingales) pour ce modèle.

Selon le choix de la variable libre, la réponse est

! Q Q Q

! ₁ 0; 72 0; 72 0; 72

! ₂ 0; 18 0; 18 0; 18

! ₃ 0 < Q f ! ₃ g < ₇₅ ⁴ ; Q f ! ₃ g

= ₇₅ ^{4 2} ₃ Q f ! ₄ g Q f ! ₃ g

= 2 Q f ! ₅ g 0; 04

! ₄ Q f ! ₄ g

= 0; 08 ³ ₂ Q f ! ₃ g 0 < Q f ! ₄ g < ₁₀₀ ⁸ Q f ! ₄ g

= 0; 14 3 Q f ! ₅ g

! ₅ Q f ! ₅ g

= 0; 02 + ¹ ₂ Q f ! ₃ g

Q f ! ₅ g

= ₃₀₀ ^{14 1} ₃ Q f ! ₄ g 0; 02 < Q f ! ₅ g < ₃₀₀ ¹⁴ En e¤et, nous devons véri…er que E ^Q h _S

i

S

jF ⁰ i

(!) = ^S

2 i 1

(!)

S

(!) pour i = 1; 2. Ainsi, la première contrainte est

8 ! 2 ; E ^Q S ₁ ²

S ₁ ¹ jF ⁰ (!) = S ₀ ² (!) S ₀ ¹ (!) , 2; 2 Q f ! ₁ ; ! ₂ g + 4; 4 Q f ! ₃ ; ! ₄ ; ! ₅ g = 2; 42 , 2; 2 Q f ! ₁ ; ! ₂ g + 4; 4 (1 Q f ! ₁ ; ! ₂ g ) = 2; 42

, Q f ! ₁ ; ! ₂ g = 0; 9 et Q f ! ₃ ; ! ₄ ; ! ₅ g = 1 Q f ! ₁ ; ! ₂ g = 0; 1:

La deuxième contrainte est

8 ! 2 f ! ₁ ; ! ₂ g ; E ^Q S ₂ ²

S ₂ ¹ jF ¹ (!) = S ₁ ² (!) S ₁ ¹ (!) , 2 Q f ! ₁ g

Q f ! ₁ ; ! ₂ g + 3 Q f ! ₂ g

Q f ! ₁ ; ! ₂ g = 2; 2 , 2 Q f ! ₁ g

Q f ! ₁ ; ! ₂ g + 3 1 Q f ! ₁ g

Q f ! ₁ ; ! ₂ g = 2; 2 , Q f ! 1 g = 0; 8 Q f ! 1 ; ! 2 g = 0; 8 0; 9 = 0; 72

et Q f ! ₂ g = Q f ! ₁ ; ! ₂ g Q f ! ₁ g = 0; 9 0; 72 = 0; 18:

Finalement, la troisième contrainte est 8 ! 2 f ! 3 ; ! 4 ; ! 5 g ; E ^Q S ₂ ²

S ₂ ¹ jF ¹ (!) = S ₁ ² (!) S ₁ ¹ (!) , 3 Q f ! ₃ g

Q f ! 3 ; ! 4 ; ! 5 g + 4 Q f ! ₄ g

Q f ! 3 ; ! 4 ; ! 5 g + 6 Q f ! ₅ g

Q f ! 3 ; ! 4 ; ! 5 g = 4; 4 , 3 _{Qf !} ^{Qf !}

^g

3

;!

;!

g + 4 _{Qf !} ^{Qf !}

^g

3

;!

;!

g

+6 1 _{Qf !} ^{Qf !}

^g

3

;!

;!

g

Qf !

g Qf !

;!

;!

g

= 4; 4

, 3 Q f ! ₃ g + 2 Q f ! ₄ g = 1; 6 Q f ! ₃ ; ! ₄ ; ! ₅ g = 1; 6 0; 1 = 0; 16

, 0 < Q f ! ₃ g < ₇₅ ⁴ ; Q f ! ₄ g = 0; 08 ³ ₂ Q f ! ₃ g et Q f ! ₅ g = 0; 02 + ¹ ₂ Q f ! ₃ g

, Q f ! ₃ g = ₇₅ ^{4 2} ₃ Q f ! ₄ g ; 0 < Q f ! ₄ g < ₁₀₀ ⁸ et Q f ! ₅ g = ₃₀₀ ^{14 1} ₃ Q f ! ₄ g

, Q f ! ₃ g = 2 Q f ! ₅ g 0; 04; Q f ! ₄ g = 0; 14 3 Q f ! ₅ g et 0; 02 < Q f ! ₅ g < ₃₀₀ ¹⁴ :

f ) Déterminez, pour chacune des mesures neutres au risque, la valeur actualisée espérée

du droit conditionnel C. Que constatez-vous ?

E ^Q C

1; 21 = 1

1; 21 Q f ! ₄ g + 3

1; 21 Q f ! ₅ g

= 0; 14 3 Q f ! ₅ g + 3 Q f ! ₅ g 1; 21

= 14

121 = 0; 1157:

Le prix de l’option d’achat ne dépend pas de la mesure neutre au risque et il correspond à

la valeur au temps t = 0 de la stratégie reproduisant C (voir la question 4).

Annexe 1

Une stratégie est une opportunité d’arbitrage si

(i) V ₀ ( ) = 0

(ii) 9 t; V _t ( ) 0 et P (V _t ( ) > 0) > 0:

Donc le modèle n’admet pas l’arbitrage si toutes les stratégies auto…nancées satisfaisant V ₀ ( ) = 0 sont telles que

8 t, 9 ! 2 tel que V t ( ; !) < 0 ou P (V t ( ) > 0) = 0 ce qui est équivalent à

8 t, 9 ! 2 tel que V _t ( ; !) < 0 ou 8 ! 2 ; V _t ( ; !) = 0:

Soit , une stratégie auto…nancée telle que V ₀ ( ) = 0: Comme (1) = ¹ ₁ ; ² ₁ est F ⁰ mesurable, le portefeuille (1) est constant, c’est-à-dire que

8 ! 2 ; ₁ (!) = ¹ ₁ ; ² ₁ : Ainsi

0 = V ₀ ( ) = 1 1; 21

1

1 + 2 ² ₁ , ¹ 1 = 2; 42 ² ₁ Au temps t = 1, la valeur au marché de notre portefeuille ₁ est

8 ! 2 f ! ₁ ; ! ₂ g ; V ₁ ( ; !) = 1

1; 1

1

1 + 2 ² ₁ = 2; 42 1; 1

2

1 + 2 ² ₁ = 0; 2 ² ₁ 8 ! 2 f ! ₃ ; ! ₄ ; ! ₅ g ;

V ₁ ( ; !) = 1 1; 1

1

1 + 4 ² ₁ = 2; 42 1; 1

2

1 + 4 ² ₁ = 1; 8 ² ₁ :

Donc si ² ₁ 6 = 0 alors 9 ! 2 tel que V ₁ ( ; !) < 0 (en autant que P ( f ! ₁ ; ! ₂ g ) > 0 et P ( f ! ₃ ; ! ₄ ; ! ₅ g ) > 0) ce qui signi…e qu’il n’y a pas d’arbitrage. Nous devons approfondir le cas où ² ₁ = 0. Il est maintenant temps de réviser notre stratégie en modi…ant notre portefeuille. Rappelons que ₂ est F ¹ mesurable, ce qui implique que

2 (! 1 ) = ₂ (! 2 ) et ₂ (! 3 ) = ₂ (! 4 ) = ₂ (! 5 ) : Comme doit être auto…nancée, le nouveau portefeuille ₂ doit satisfaire

2 S ₁ = ₁ S ₁ = V ₁ ( ) = 0:

Donc,

8 ! 2 f ! ₁ ; ! ₂ g ; 1

1; 1

1

2 (!) + 2 ² ₂ (!) = 0 ) ¹ 2 (!) = 2; 2 ² ₂ (!) = 2; 2 ² ₂ (! ₁ ) 8 ! 2 f ! ₃ ; ! ₄ ; ! ₅ g ;

1 1; 1

1

2 (!) + 4 ² ₂ (!) = 0 ) ¹ 2 (!) = 4; 4 ² ₂ (!) = 4; 4 ² ₂ (! ₃ ) : La valeur au marché du portefeuille (2) au temps t = 2 est

V ₂ ( ; ! ₁ ) = ¹ ₂ (! ₁ ) + 2 ² ₂ (! ₁ )

= 2; 2 ² ₂ (! ₁ ) + 2 ² ₂ (! ₁ ) = 0; 2 ² ₂ (! ₁ )

V 2 ( ; ! 2 ) = ¹ ₂ (! 2 ) + 3 ² ₂ (! 2 )

= ¹ ₂ (! ₁ ) + 3 ² ₂ (! ₁ )

= 2; 2 ² ₂ (! ₁ ) + 3 ² ₂ (! ₁ ) = 0; 8 ² ₂ (! ₁ ) V ₂ ( ; ! ₃ ) = ¹ ₂ (! ₃ ) + 3 ² ₂ (! ₃ )

= 4; 4 ² ₂ (! ₃ ) + 3 ² ₂ (! ₃ ) = 1; 4 ² ₂ (! ₃ )

V 2 ( ; ! 4 ) = ¹ ₂ (! 4 ) + 4 ² ₂ (! 4 )

= ¹ ₂ (! ₃ ) + 4 ² ₂ (! ₃ )

= 4; 4 ² ₂ (! ₃ ) + 4 ² ₂ (! ₃ ) = 0; 4 ² ₂ (! ₃ ) V ₂ ( ; ! ₄ ) = ¹ ₂ (! ₄ ) + 6 ² ₂ (! ₄ )

= ¹ ₂ (! ₃ ) + 6 ² ₂ (! ₃ )

= 4; 4 ² ₂ (! ₃ ) + 6 ² ₂ (! ₃ ) = 1; 6 ² ₂ (! ₃ )

Donc si ² ₂ (! ₁ ) 6 = 0 alors 9 ! 2 tel que V ₂ ( ; !) < 0 (en autant que P (! ₁ ) > 0 et

P (! ₂ ) > 0), ce qui signi…e qu’il n’y a pas d’arbitrage. Si ² ₂ (! ₁ ) = 0 mais ² ₂ (! ₃ ) 6 = 0 alors

9 ! 2 tel que V ₂ ( ; !) < 0 (en autant que P (! ₃ ) > 0 ou P (! ₄ ) > 0 et P (! ₅ ) > 0), ce

qui signi…e aussi qu’il n’y a pas d’arbitrage. Et si ² ₂ (! ₁ ) = 0 et ² ₂ (! ₃ ) = 0 alors 8 ! 2 ,

V ₂ ( ; !) = 0 donc, encore une fois, il n’y a pas d’arbitrage.