STE3 2012/2013 – Examen MdF n°2
Date : 18.01.2013 Durée : 1h30
Problème 1. Dimensionnement d’une cuve
Un liquide contenant des matériaux en suspension est stocké dans une cuve conique (Figure 1, gauche). Du fait de la décantation des matériaux en suspension, la composition du liquide n’est pas uniforme : la concentration C de matières en suspension varie linéairement de C = 0 à la surface à C = Cf au fond de la cuve (Figure 1, droite). On note h la hauteur de remplissage de la cuve, la masse volumique du liquide pur et le demi-angle au sommet de la cuve.
Figure 1. Réservoir conique. Gauche : schéma de principe en perspective. Droite : profil de concentration sur la verticale.
1.1) En supposant que la surface libre est à la pression atmosphérique (que l’on prendra comme référence) et que le liquide est au repos, déterminer le profil de pression p(z).
1.2) Calculer la pression au fond de la cuve pour les paramètres donnés dans le Tableau 1.
1.3) Donner l’expression de la force exercée par le liquide sur la cuve (on prendra la pression atmosphérique comme référence).
1.4) Calculer cette force pour les paramètres donnés dans le Tableau 1. Etait-il important de prendre en compte la variation de masse volumique liée à la variation de C, ou bien un calcul en utilisant simplement aurait-il suffi ?
Notation Signification Valeur numérique
Cf Concentration au fond de la cuve 200 g.L–1 g Accélération de la pesanteur 9,81 m.s–2 h Hauteur de remplissage de la cuve 5 m
Masse volumique du liquide pur 103 kg.m–3
Demi-angle au sommet de la cuve 45°
Tableau 1. Paramètres du problème 1.
Problème 2. Effet Doppler
Une source sonore immobile émet un son à une fréquence N dans l’atmosphère. On note c la vitesse des ondes sonores dans l’air.
2.1) Un observateur se déplace à une vitesse u vers la source sonore. Représenter dans l’espace des phases (plan (x, t) les trajectoires de deux ondes sonores successives et celle de l’observateur.
2.2) En déduire la fréquence sonore N’ perçue par l’observateur en fonction de N, u et c.
2.3) Faire l’application numérique pour c = 340 m.s–1 et u = 130 km.h–1. 2.4) Même question que le 2.1 si l’observateur s’éloigne de la source.
2.5) Même question que le 2.2 si l’observateur s’éloigne de la source.
z
h
0
z
C
0 Cf
2.6) Faire l’application numérique pour c = 340 m.s–1 et u = 130 km.h–1.
Problème 3. Perte de charge due à un élargissement brusque
On considère un fluide parfait, incompressible, de masse volumique , coulant à un débit volumique Q constant dans une conduite. La conduite s'élargit brusquement (Figure 2, gauche). On note A1 et A2 les sections de la conduite en amont et en aval de l'élargissement (donc A1 < A2). On suppose que la vitesse de l'écoulement est uniforme au travers de toute section droite de la conduite.
On définit le domaine fluide situé entre la face aval de l’élargissement et la section aval (en grisé sur la Figure 2, droite). On note respectivement p1 et p2 les pressions sur les faces amont et aval de ce domaine. On peut montrer que la pression sur la face aval de l’élargissement est égale à la pression p1
à l'amont de l'élargissement (Figure 1, droite).
Figure 2. Elargissement brusque dans une conduite.
3.1) On note u1 et u2 les vitesses en amont et en aval du rétrécissement. Donner l'expression du rapport u1/u2 en fonction des autres paramètres du problème.
3.2) En utilisant le théorème d'Euler sur la partie aval de l’élargissement, déterminer l'expression de la force exercée par le fluide sur l'élargissement.
3.3) En tirer l’expression de la différence entre p1 et p2 .
3.4) Ecrire la différence de charge entre un point situé à l'amont et un autre point situé à l'aval de l'élargissement brusque. Montrer que le passage de l'élargissement brusque se traduit par une perte de charge H, d'expression:
g u H u
2
2 2 1
(1)
Félicitations : vous venez de redémontrer la formule de perte de charge de Borda (1733–1799).
A1
A2
p = p1
p = p2
