Notice d’utilisation de la cuve rhéostatique à section variable
Motivations
Le but de cette expérience est de mesurer le potentiel dans une cuve rhéostatique de section variable. Bien sûr, la loi d’évolution du potentiel peut se retrouver à l’aide des raisonnements classiques de l’électrocinétique des régimes permanents.
Toutefois, on peut la retrouver sur la base d’un raisonnement purement thermodynamique : c’est celle qui minimise le taux de production d’entropie qui s’identifie ici, puisque les système est isotherme, à la puissance dissipée.
Présentation générale
La cuve est taillée dans un bloc de PVC de 19 x 28 x 445 mm3. Elle est munie à ses deux extrémités de fiches bananes 4mm reliées à des électrodes en fil de cuivre. Ces électrodes plongent dans une cavité de profondeur constante h=8,0 mm et de longueur L=385mm. Sa largeur dans la zone utile varie linéairement de 3.9 à 15.8 mm comme indiqué sur le schéma ci-dessous :
Avec ces conventions, la largeur du canal s’écrit l(x)=2.6+3.26 10-2x, l et x étant exprimés en millimètres.
Manipulation
Préparer environ 30cm3 d’une solution aqueuse concentrée de sulfate de cuivre (CuSO4) soit l’équivalent d’une cuillère à soupe de CuSO4 solide.
Connecter une alimentation continue et un ampèremètre en série avec la cuve.
Mettre une tension de l’ordre de 5V et remplir la cuve à moitié. L’ampèremètre doit indiquer entre 0,5 et 2mA environ. Si oui, compléter le remplissage jusqu’à 1mm du bord. Sinon, augmenter la concentration du reste de la solution en conséquence ou bien diluer la solution déjà versée. A la fin de l’opération, la cuve doit être remplie jusqu’à 1mm du bord et le courant de l’ordre de 1 à 5mA. Attendre une ou deux minutes que la solution s’homogénéise avant de commencer.
15.8 mm
x (mm) 3.9 mm
fiches bananes
10 mm zone utile 10 mm
0 40 405 445
Connecter les bornes d’un voltmètre à une des fiches bananes de la cuve et une pointe de mesure. Plonger la pointe de mesure en une abscisse x jusqu’au fond du canal et relever le potentiel V(x). Répéter l’opération tous les 10 ou 20 mm.
Interprétations
Dans le cadre de l’électrocinétique des régimes permanents, le vecteur courant j(x) est à flux conservatif. On en déduit ici que l’intensité I(x) est constante et égale à l’intensité I0
débitée par le générateur et mesurée à l’ampèremètre. La cuve étant à côtés quasi parallèles l’intensité I(x) est sensiblement égale au produit j(x)S(x) de la densité volumique de courant, j, et de la section de la solution S(x)=p l(x) où p est la profondeur de la solution. Dans le cadre de la réponse linéaire bien adapté à la conduction électrolyte la densité volumique de courant est proportionnelle au gradient du potentiel ; soit ici : j(x)=-σ dV/dx où σ est la conductivité de la solution. On en déduit que la quantité l(x)dV/dx=-I0/σp est constante ce qui se vérifie expérimentalement.
On peut toutefois donner une interprétation alternative basée sur un raisonnement thermodynamique.
On peut montrer, cf. bibliographie, que si le système est linéaire et proche de l’équilibre, alors le taux de production d’entropie s. est minimal. Si on suppose le système maintenu à la température T0 (la puissance dissipée est faible, quelques mA sous 5V, et la cuve largement exposée à l’atmosphère) alors ce taux de production d’entropie est égal à la chaleur cédée à l’atmosphère par unité de temps divisée par T0 : ds
dt
= 1 T0
δQ dt .
La chaleur cédée à l’atmosphère est elle même égale à la puissance électrique reçue.
Dans une tranche d’épaisseur dx de volume dτ=S(x)dx, la puissance élémentaire d’écrit :
où E(x)=-dV/dx est le champ électrique local. Dans le cadre de la théorie de la réponse linéaire on a de plus j(x)=σE(x). Finalement, le taux de production d’entropie est donc l’intégrale sur toute la cuve de σS(x)(dV/dx)2/T0. On notera f(V(x),V’(x))=σS(x)V’(x)2/T0.
Il convient alors de minimiser cette intégrale par rapport à la fonction inconnue V’(x).
Par analogie avec la mécanique Lagrangienne, on obtient l’équation de Lagrange : d(df/dV’)/dx-df/dV=0
soit ici d(df/dV’)/dx=0 car f ne dépend pas de V. On en déduit : df/dV’=2σS(x)V’(x)/T0=constante.
On retrouve, sur la base d’un raisonnement purement thermodynamique, que σS(x)V’(x)= σS(x)dV/dx=-I(x) est constant.
Bibliographie :
Ilya Prigogine et Dilip Kondepudi, Thermodynamique, Odile Jacob, 1999.
