Sur le chaos Lagrangien dans une cuve elliptique

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Submitted on 1 Jan 1995

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E. Saatdjian, M. Chassaing, N. Midoux, J. André

To cite this version:

E. Saatdjian, M. Chassaing, N. Midoux, J. André. Sur le chaos Lagrangien dans une cuve elliptique.

Journal de Physique III, EDP Sciences, 1995, 5 (2), pp.175-196. �10.1051/jp3:1995118�. �jpa-00249302�

Classification Physics Abstracts

47.30 47.25Q 47. IS

Sur le chaos Lagrangien dans _{une cuve} elliptique _(*)

E. Saatdjian (I), _{M. I, Chassaing} iii, N. Midoux (I) _{et J.} C. Andr4 (~)

(~ ENSIC LSGC, 1 _rue Grandville, B-P. 451, 54001 Nancy Cedex, France (~) GRAPP CNRS, 1 _rue Grandville, B-P. 451, 54001 Nancy Cedex, France

(Re§u le 8 juillet _1994, rdvisd et acceptd le 18 novembre 1994)

RAsum6. Un fluide visqueux est introduit dans _{une cuve} de g40m4trie elliptique, les parois interne _{et externe} de cette _cuve tournent suivant le pdrimktre de l'ellipse. Une petite quantitd de traceur fluorescent est introduite dans le fluide _et la ddformation de l'414ment marqu4, lorsque

le _mouvement des deux parois est p4riodique, est dtudide. Pour cet 4coulement oh le nombre

de Reynolds est trks inf4rieur k 1 (r4gime de Stokes) et k partir d'une solution analytique

rdcemment obtenue _pour le _cas stationnaire, des sections de Poincard ont 4t4 trac4es pour les

cas d'une contra-rotation et d'une co-rotation. Les r4sultats exp4rimentaux montrent que, pour

un protocole de m41ange discontinu appropr14, cette g40m4trie mkne _{vers un} m41ange chaotique aprks _un petit nombre de pdriodes. Par ailleurs, it est prdf4rable de faire tourner les ellipses _en

contra-rotation. Ce rdsultat, _en contradiction

avec ceux d4jk obtenus dans l'espace annulaire

entre cylindres excentr4s tournants, est confirm4 num4riquement _par les sections de Poincar4.

Enfin, _ce systkme s'avkre itre

un trks bon 4changeur de chaleur. Quand les parois interne et

externe _se d4placent _par alternance, le transfert thermique entre la paroi et le fluide augmente

consid4rablement. Par rapport _{au cas} cylindrique concentrique, la g40m4trie elliptique conduit k _un accroissement, d'un facteur supdrieur k 2, du transfert thermique _en rdgime de Couette.

Abstract. A viscous fluid is introduced into the annular _space between two concentric, confocal ellipses. The inner and outer walls _can be displaced along ^their circumference. A small

quantity of fluorescent dye is introduced into the fluid and deformation and mixing _are studied for the _case of periodic boundary movement. An analytical solution in elliptical coordinates

has been previously derived for creeping flow conditions. Poincar4 sections for _a given set of parameters indicate that counter-rotation leads to _{a more} chaotic behaviour than co-rotation, this result is confirmed experimentally. This geometry _can also be used _{as a} heat exchanger.

By _a suitable choice of the parameters, ^the heat transfer for steady boundary motion _can be increased by _more than 50Sl with respect to the concentric cylinder system. ^{If tbe inner and} outer walls

are displaced time-periodically, the heat transfer rate obtained _can be _more than double the rate obtained between concentric cylinders.

(*) Physique des Fluides _et M4canique.

© Les Editions de Physique 1995

e

Fig. 1. Geom4trie de l'espace annulaire entre cylindres excentr4s tournants.

[Annular region between eccentric, rotating cylinders.]

1. Introduction

Le chaos Lagrangien dans des 4coulements bi-dimensionnels _{est un} thbme _en plein _essor depuis la publication des travaux de Aref [1-3] ^{dans la dernikre d4cennie. Les} enjeux sent importants,

l'industrie est toujours h la recherche de _moyens permettant d'augmenter les transferts de _ma- tiAre _et de chaleur dans les appareils. Pour des fluides ayant _un ^{nombre de Prandtl} 41ev4, une

forte agitation, afin d'obtenir _un m41ange homogbne, est trks cofiteuse _et parfois impossible h r4aliser. Dans certaines applications, _une agitation vigoureuse peut _casser ^{)es chaines mo14cu-} laires de certains polymAres. Les _travaux de Aref _ant montr4 _que des trajectoires compliqu4es peuvent Atre obtenues dons certaines g40m4tries _{par une} modulation _externe du systAme. Une des configurations ayant re&u le plus d'attention _est l'espace annulaire entre cylindres excentr4s

toumants, Cette g40m4trie, repr4sent4e _sur la figure I _est d4finie _par deux parambtres g40m4-

triques le rapport des rayons des deux cylindres b

= R2/Ri et l'excentricit4 _e

= e/(R2 RI).

Quand la vitesse de rotation des deux cylindres est constante et si le nombre de Reynolds est trbs inf4rieur h (4coulement rampant ), ^it est possible de r4soudre les 4quations du _mouvement

pour obtenir _une solution analytique _permettant le calcul du champ des vitesses. Difl4rents _sys- tAmes de coordonn4es peuvent Atre employ4s _{pour cette} g40m4trie. La solution analytique _en

coordonn4es bipolaires (a, fl,z), systAme d4fini _par )es transformations suivantes _:

a sinh _{o a} sinfl

z =

, y =

, z = z

cash _{a cos} fl cash _{a cos} fl

est d4tail14e _par Ballal et Rivlin [4]. D'autres solutions analytiques _{pour ce} m4me problbme

ant 4t4 trouv4es par Wannier _{[5] et par} Di Prima _et Stuart [6].

Des lignes de courant lorsque les cylindres tournent h vitesse constante sent montr4es _sur les

figures 2a-d. Quand les cylindres toument _{en sens} oppos4 _un point hyperbolique apparait darts la _zone oh les cylindres sent les plus proches (Fig. 2c). Quand its toument dons le mAme _seas, deux points hyperboliques peuvent apparaitre _pour certains rapports des vitesses angulaires

des deux cylindres. La stabilit4 structurelle des 4coulements bi-dimensionnels fait l'objet du th4orAme de Peixoto iii. La pr4sence de points hyperboliques et elliptiques _au sein d'une mAme

fi

»

~

(al ~j

fi

ic) j

Fig. 2. -

Lignes de _{ourant entre}ylindres ournants, 2/Ri " 3,

e = 0,

75 sauf dans c).

a) Hi _/Q2 = 1/0.

figure _7.4.2 de Ottino [10].

at _steady

state between ^{centric, otatingylinders. R2/Ri} = 3, e =

0.75 xcept c).

a) Hi /Q2 =

configuration _ou la prdsence de deux lignes de courant liant deux points hyperboliques sent deux conditions suilisantes d'instabilitd structurelle des 4coulements 2-D.

L'4tude du chaos Lagrangien dans cette g40m4trie a fait l'objet de plusieurs articles r4cents.

Mis h part ^{celui d'Aref} et Balachandar _[3] cit4 plus haut, )es travaux de Chaiken [8, 9] ^et ceux

d'ottino [10, iii comparent des r4sultats exp4rimentaux h quelques techniques analytiques et

num4riques, _par exemple )es sections de Poincar4 _ou la localisation des points p4riodiques. Pour obtenir le chaos Lagrangien dons cette g40m4trie, it suilit de faire varier la vitesse de rotation d'un (ou des deux) cylindre(s) p4riodiquement. Le chaos Lagrangien est aussi r4alisable lorsque

)es deux cylindres tournent par alternance.

Le travail pr6sent6 ici provient d'une idde fortuite d'un des auteurs (E.S.). AprAs avoir r6solu

num6riquement le _cas rampant entre deux cylindres excentr6s, it _a remarqu6 qu'il suilisait de

changer _une dizaine de lignes du programme ^de calcul _pour obtenir )es lignes de _{courant entre} deux ellipses confocales. Ces deux g40m4tries sont assez semblables et ont servi, toutes les

deux, _pour mod41iser le mouvement plan4taire [12]. Lorsque )es deux ellipses tournent en sens

oppos4, deux points hyperboliques lids _par deux lignes de courant di1f4rentes apparaissent dans la _zone off la distance entre )es deux ellipses est minimale. La solution analytique _pour le _cas stationnaire dons cette gdomdtrie est h prdsent _connue [13], ^elle sera briAvement comment4e

ici dons 2. Pour _un mouvement p4riodique, des sections de Poincar4 _{pour une} configuration

donn6e et _en faisant varier le d4placement _par p4riode seront comment4es _et analys4es dons

'OURNAJ. DE PHYSIQUE ill T3 N°2, FEBRUARY 1993 9

=n/2 u~

v=n ai a~ v=0

v=3n/2

Fig. 3. Espace annulaire entre deux ellipses confocales.

[Annular region between concentric, confocal ellipses.]

3. Cette exp4rience lie _montage est d4crit dans 4) _a 4t4 mise _au point et la d6formation d'une tache de colorant, p4riode _par p4riode, _sera discut4e dans 5. Enfin, cette g40m4trie peut Atre utilis4e _comme 4changeur thermique. Par _un choix judicieux du protocole de d4placement, ^it est

possible de doubler le transfert thermique _par rapport au cas d'une conduction pure. Ce gain

s'obtient _{avec un} trAs iaible apport 4nerg4tique supp14mentaire, _ces r4sultats _sent comment4s dans le paragraphe 6.

2. Solution analytique _en r4gime de Stokes

ConsidArons l'espace annulaire entre deux ellipses concentriques et confocales. Un systbme de coordonn4es orthogonales appropr14 _pour 4tudier cette configuration est obtenu h partir des

transformations suivantes

z = a cosh _{u cos u, y}

= a sinh

u sin _{u, z}

= z

oh _u > 0 et 0 < _u < 27r. Ce systAme de coordonn4es cylindriques elliptiques d4g4nAre, _pour des

grandes ^{valeurs de} _{u, en} coordonn4es cylindriques. L'espace annulaire entre )es deux ellipses

est d4fini (voir Fig. 3) _par ^deux rapports adimensionnels a21ai et bilai qui sont le rapport des grands axes des deux ellipses et l'excentridit4 de l'ellipse interne. Les coefficients de Lam4

dans )es directions _u et _u sont identiques, leur expression est

En d4fiiiissant

off U et V sent )es composantes ^de vitesse dans )es directions _{u et u} respectivement, )es 4quations

de Stokes (r4gime non-inertiel) s'4crivent

~il~~il"°

~~~

@2~fi @2

h~" ~fi

" w ^~ w ¹²⁾

off _uJ est la composante axiale de la vorticit4.

La solution analytique de _ces 4quations _pour le _cas stationnaire _sera discut4e _trAs briAvement ici, elle est donn4e, dans _son int4gralit4, dans [13]. ^{En admettant} une fonction de _courant de la forme

:

m

1fi ⁼ ~j Fn(u) cos(2nu)

n=0

puisque, compte-tenu de la sym4trie, la composante axiale de la vorticit4 _est de la forme

m m

uJ = ~j _{qn cosh} 2nu _cos 2nu ₊ ~j

pn sinh 2nu _cos 2nu

n=0 n=0

off _pn et qn sont des constantes, it est possible de v4rifier _que quand F0(u)

= A0 + B0u ₊ Co cosh 2u ₊ Do sinh 2u

Fi(u)

= AI cosh _{2u +} Bi sinh 2u ₊ Co + Ci cosh 4u ₊ Di sinh 4u

et, pour n > 2,

Fn(u)

= An cosh 2nu ₊ Bn sinh 2nu ₊ Cn-i cosh 2(n I)y ⁺

+Dn-i sinh 2(n I)u + Cn cosh 2(n + I)u + Dn ^sinh 2(n + I)u

off An, Bn, Cn et Dn sont des constantes obtenues h partir des conditions _aux limites, )es 4quations (1, 2) sont satisfaites.

Les conditions _aux limites _sur l'ellipse interne _u

= vi et sur l'ellipse externe _{u = u2} s'4crivent

~

~ °' ~~ " aV

" ~ 2 Iv = u~)

oh Vi et V2 sont _)esitesses constantes des ellipses interne et

externe respectivement, La valeur

de la _fonction de

de 4versibilit4, voir [13].

Les lignes de _{courant en r4gime} ainsi entrac4es sur la _figure 4, )es

deux rapports g40m4triques bilai " 0,64 et _a21ai " 1, ₇₅

choisis sent ceux _de

qui sera discut4e plus tard. La figure 4a _montre le cas off l'ellipse

interne est

'ellipse xteme 4tant fixe. _Deux vortex sent

form4s, prAs de l'ellipse externe, dans les _zones

off la

distance entre les deux ellipses est _aximale. Quand l'ellipse _externe

tourne, atom

'ellipse interne est immobile, des vortex apparaissent prks de 'ellipse interne (Fig. 4b). Quand

les deux llipses en sens oppos4 (Fig. 4c), le rapport des vitesses

-" ~~~_

~,"

~

_---

,' ~

' "_

',

j

/ I

/

l '

'

?( ~

/t /

/ /

Fig. 4. Lignes de courant entre ellipses confocales. a21ai =1~ 75 et bilai ₌ 0, 64. a) Hi/Q2

" 1/0.

b) ill l1i2 _" 0/1. _C) illl1i2

" II I. d) illl1i2 _" III.

[Streamlines at. steady state between concentric, confocal ellipses. a21ai

# 1.75 and bilai

" 0.64.

a) illl1i2 _" 1/0. b) iill1i2

" 0/1. _C) illl1i2 "1/ -1. d) illl1i2 "1/1.j

dans la _zone oh la distance entre [es deux ellipses est minimale. Par ailleurs, deux vortex sent iormAs _entre [es deux ellipses. Ce dernier _{cas est} particuliArement int6ressant puisque

d'une part ^deux lignes de courant diflArentes lient )es deux points hyperboliques _et, d'autre part, cet 4coulement comporte ^{h la iris des} points hyperboliques et elliptiques. Chacune de

ces deux conditions permet d'allirmer, selon le thdorAme de Peixoto, _que cet 4coulement est structurellement instable. Enfin, la figure 4d _montre )es lignes de courant quand )es deux ellipses

toument dans le mAme _sens. Les lignes de _{courant sent} des ellipses concentriques, it n'y _{a pas}

de vortex iorm4

3. Sections de Poincar4

Un systAme bi-dimensionnel Hamiltonien _De peut _pas Atre chaotique, _une troisikme dimension

(ou degr4 de libert4) s'avkre n4cessaire. Dans le _cas 4tud14 ici et quand la vitesse de d4placement

des ellipses ddpend de la variable temps, le systAme _peut devenir chaotique. Si )es vitesses de d4placement des ellipses d4pendent du temps, la solution analytique d4duite plus haut n'est

plus valable. N4anmoins, il _sera admis ici que le champs des vitesses _est pseudo permanent

de sorte qu'h chaque instant, il est d4termin4 par )es vitesses instantan4es de chaque ellipse.

Cette hypothbse est justifi4e dans le _cas pr4sent puisque la modulation de la vitesse _se iait trAs lentement [3]. Suivant la mAme analyse _que Swanson et Ottino ill], la fonction de courant _1fi

peut s'4crire _sous la forme

1fi(u,u,t) =lilt(u,u) fli(t) +1fi2(u,u) fl2(t)

off1fiiIv, u) et _1fi2Iv, u) sent la fonction de courant (en r4gime permanent) _pour )es _cas d'un d4placement de l'ellipse inteme (fli

" 1, fl2 _" 0) et de l'ellipse exteme (fli _" 0, fl2 _" 1)

respectivement. Par ailleurs, uniquement _un mouvement p4riodique des parois elliptiques _sera

consid4r4 dons _ce qui suit.

Un protocole discontinu _sera utilis4 pour 4tudier le m41ange d'un traceur dons _cette confi- guration. Pour _une p4riode, l'ellipse inteme subira d'abord la moit14 de _son d4placement, puis l'ellipse exteme subira _une rotation complAte, enfin l'ellipse inteme achevera _son d4placement.

Ce protocole discontinu est sym4trique (voir ill]) et permet, compte-tenu ^{de la} g40m4trie, de

tracer 4 points _par p4riode. Quand le protocole est sym4trique, _comme c'est le _cas ici, _une in-

version de la direction des vitesses conduit _au mAme r4sultat. Par ailleurs, h partir des r4sultats obtenus pour une condition initiate plac4e _par exemple h(u*, _u

= 0), il est possible de d4duire, compte tenu de la sym4trie, _ceux ^{de la condition initiate} (u ₌ u*,u

= 7r). ^Pour un protocole

de m41ange discontinu, il est possible de remplacer la variable temps _par ^{la variable 0} qui est le ddplacement de l'ellipse exteme par ^tour. Ainsi, le rapport fli/fl2 devient le rapport ^des

d4placements des ellipses inteme et exteme par ^tour.

La trajectoire d'un 414ment de fluide peut ^{Atre calcu14e} en int4grant ^{)es deux} 4quations difl4rentielles suivantes

du 1

~ l dlfi du 1

~

l dlfi

b _{h h~ on' dt h h2 du}

par une m4thode num4rique pr4cise, une m4thode de Runge-Kutta d'ordre 4 _a 4t4 employ4e

ici. Une section de Poincar4 est trac4e _en marquant la position d'un traceur h la fin de chaque p4riode. En principe, si les positions initiates sont bien choisies et si le calcul s'eflectue _{sur un} nombre de p4riodes suilisamment grand, la section de Poincar4 permet d'identifier les _zones que le traceur _ne pourra jamais atteindre. Les sections de Poincar4 pr4sent4es ici ont 4t4 trac4es

avec 6 conditions initiates et 1000 p4riodes. Puisque le protocole de m41ange est sym4trique

et compte-tenu ^{de la} sym4trie de la g40m4trie, it est donc possible de tracer 24000 points.

Chaque condition initiate est identifi4e _{par une} couleur di1f4rente. Trois conditions initiates ant 4t4 plac4es sur la droite _u

= 0 et les trois _{autres sur} la droite _u

= 7r/2.

Les sections de Poincar4 _pour a21ai

" 1, 75, bilai

" 0,64 et fli/fl2

" -1 sent montr4es

sur )es figures 5a-h. Le d4placement _par p4riode ^de chaque ellipse varie de 7r/2 h 47r _par

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-,

Fig. 5. Sections de Poincard entre ellipses concentriques et confocales a21ai

" 1,75, ^bilai _" 0,64,

Hi/Q2

= II I. Le d4placement _par p6riode de l'ellipse externe varie de gr/2 I 47r par intervalles de

7r/2. Ces figures ant dt4 obtenues _{avec un} protocole de m41ange sym4trique, 6 conditions initiates et 1000 p4riodes, 24000 points sont trac4s. Le d4placement de l'ellipse externe par p4riode est _: a) 7r/2, b) _«, c) 3«/2, d) 2«, e) 5«/2, f) 3«, g) 7«/2, h) 4«.

[Poincar4 sections between concentric, confocal ellipses. a21ai

= 1.75, bilai

" 0.64, Hi/Q2 #1/ -1.

The outer ellipse displacement _per period varies from 7r/2 to 4« in «/2 intervals. These figures _were

all obtained with _a symmetric protocol, 6 initial conditions and 1000 periods, thus 24000 points _are plotted. Outer ellipse displacement _per period is a) «/2, b) _«, c) 3«/2, d) 2«, e) 5«/2, f) 3«, g) 7«/2, h) 4«.]

intervalles de 7r/2. Pour _un d4placement de 7r/2 (Fig, 5a) par p4riode, la _presque totalit4 de l'espace ^annulaire entre )es deux ellipses est non-chaotique. En augmentant ^h 7r le d4placement

par p4riode (Fig. 5b) la zone chaotique _a augment4 en tattle, _{une zone} r4gulibre ^{prbs de la}

~z---

Fig. 5. (Suite.)

paroi de l'ellipse externe ainsi que des iles centr4es ~autour des _axes de sym4trie subsistent.

Pour 37r/2 (Fig. 5c) il reste _{une zone} vierge prks de la paroi de l'ellipse externe mars de taille plus petite. Quatre iles dans les _zones off la distance entre )es deux ellipses est maximum et

minimum sont aussi observables. Si le d4placement _par p4riode _est augment4 jusqu'h 27r (Fig.

5d) la section de Poincar4 montre que la _zone r4guliAre prAs de la paroi interne _a disparu mais il subsiste plusieurs _zones r4guliAres dans )es _zones d'4cart maximum et minimum. Pour

57r/2 (Fig. Se) la _zone r4guliAre prAs de l'ellipse interne est, _encore une fois, visible, Des iles

r4gulibres centr4es _autour des _axes de sym4trie sont aussi pr4sentes. Pour 37r (Fig. 5f) les iles ont diminu4 _en tattle et la _zone chaotique _{couvre une} trAs grande partie de l'espace annulaire.

Il taut noter que )es points _{rouges se} trouvent prAs ^de l'ellipse interne alors _que )es points bleu flair sont prbs de l'ellipse externe. Pour 77r/2 (Fig. 5g) ^la r4partition des couleurs est _assez

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Fig. 6. Sections de Poincar4 entre ellipses concentriques et confocales a21ai "1~ 75, bilai

" 0,64,

Hi/Q2 _" 1Il. Le ddplacement _par p4riode de l'ellipse externe varie de _7r k 4« par intervalles de 7r/2.

Ces figures ont 4t4 obtenues _{avec un} protocole de m41ange sym4trique, 6 conditions initiales et 1000

p4riodes, 24000 points sont trac4s. Le d4placement de l'ellipse externe par p4riode est _: a) _«, b) 3«/2, c) 2«, d) 5«/2, e) 3«, f) 7«/2, g) 4«.

[Poincar4 sections between concentric, confocal ellipses. a21ai

= 1.75, bilai

= 0.64, Hi/Q2 _" III.

The outer ellipse displacement _per period varies from 7r/2 to 4« in «/2 intervals. These figures _were

all obtained with _a symmetric protocol, 6 initial conditions and 1000 periods, thus 24000 points _are plotted. Outer ellipse displacement _per period is a) _«, b) 37r/2, c) 2«, d) 57r/2, e) 3«, f) 7«/2, g) 4«.]

homogkne partout et, enfin, _pour 47r (Fig. 5h), )es _zones r4gulibres sont petites sauf _au voisinage

des parois. L'examen des sections de Poincard _{montre que} la _zone rdgulibre prAs ^de l'ellipse

externe est plus grande _pour ^des ddplacements _par pdriode de _n7r off _n est un nombre entier, Il _est intdressant de _{noter que, pour} des cylindres excentr4s tournants, ^Swanson et Ottino ill]