TS : correction de la feuille d’exercices sur les limites (semaine du 13 novembre)

TS : correction de la feuille d’exercices sur les limites (semaine du 13 novembre)

I

Étudier les limites suivantes : a) lim

x→±∞

¡2x²−3x+5¢ :

On a une forme indéterminée au voisinage de+∞: on lève l’indétermination

∀x6=0, 2x²−3x+5=x² µ

1−3 x+ 5

x²

¶ .

x→±∞lim µ

1−3 x+ 5

x²

¶

=1 donc lim

x→−∞

¡2x²−3x+5¢

= +∞ et lim

x→=∞

¡2x²−3x+5¢

= +∞

b) lim

x→±∞

2x+3 3x²+5x+9.

On a une forme indéterminée au voisinage de−∞et de+∞: on lève l’indétermination On factorise numérateur et dénominateur par leurs termes de plus haut degré.

∀x6=0, 2x+3

3x²+5x+9= x¡ 2+³_x¢ x²¡

3+⁵_x+_x⁹²¢= 2+³_x x¡

3+⁵_x+_x⁹²¢.

x→±∞lim µ

2+3 x

¶

=2; lim

x→±∞

µ 3+5

x+ 9 x²

¶

=3 donc lim

x→−∞

· x

µ 3+5

x+ 9 x²

¶¸

= −∞ et lim

x→+∞

· x

µ 3+5

x+ 9 x²

¶¸

= +∞. Par quotient, on trouve : lim

x→±∞

µ 2x+3 3x²+5x+9

¶

=0 . c) lim

x→±∞

x²+4 3x+1

∀x6=0, x²+4 3x+1=x²¡

1+_x⁴²¢ x¡

3+_x¹¢ =x¡ 1+_x⁴²¢ 3+_x¹ .

x→±∞lim µ

3+1 x

¶

=3 et lim

x→´spm∞

µ 1+ 4

x²

¶

=1 d’où lim

x→−∞

x²+4

3x+1= −∞ et lim

x→+∞

x²+4 3x+1= +∞

II

Soitf la fonction définie parf(x)=2x+1 x²−4.

1. x²−4 s’annule pourx= −2 oux=2 donc l’ensemble de définition de f est D_{=R\ {−2 ; 2}.} 2. Étude des limites :

• En−∞et+∞:

∀x6=0,f(x)= x¡ 2+¹_x¢ x²¡

1−_x⁴²¢=

¡2+¹_x¢ x¡

1−_x⁴²¢.

x→±∞lim µ

2+1 x

¶

=2; lim

x→±∞

µ 1− 4

x²

¶

=1 donc lim

x→±∞

· x

µ 1− 4

x²

¶¸

= ±∞d’où lim

x→±∞f(x)=0

• Limite en -2:

xlim→−2(2x+1)= −3; lim

x→−2

¡x²−4¢

=0. On est obligé de distinguerdeux cas:

xlim→−2 x<−2

¡x²−4¢

=0 avecx²−4>0 (carxest extérieur à l’intervalle formé par les deux racines) donc lim

x→−2 x<−2

f(x)= −∞. De même : lim

x→−2 x>−2

f(x)= +∞ car cette fois,x²−4<0

• Limite en 2 : lim

x→2(2x+1)=5; lim

x→2

¡x²−4¢

=0. On est obligé de distinguer deux cas :

xlim→2 x<2

¡x²−4¢

=0 avecx²−4<0 (carxest appartient à l’intervalle formé par les deux racines) donc lim

x→2 x<2

f(x)= −∞.

De même : lim

x→2 x>2

f(x)= +∞ car cette fois,x²−4>0

On peut vérifier en traçant la courbe (en remarquant que la courbe admet rtrois asymptotes, l’axe des abscisses et les droites d’équationsx= −2 etx=2 )

−1

−2

−3

−4

−5

−6

−7 1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6

−1

−2

−3

−4

−5

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7

O

III

f(x)=p

x²−4x+3−p

x²−3x+2= hp

x²−4x+3−p

x²−3x+2i

× hp

x²−4x+3+p

x²−3x+2i px²−4x+3+p

x²−3x+2

=

¡x²−4x+3¢

−£

x²−3x+2¤ px²−4x+3+p

x²−3x+2= −x+1 px²−4x+3+p

x²−3x+2= −x+1 px²×

sµ 1−4

x+ 3 x²

¶ +p

x² sµ

1−3 x+ 2

x²

¶

= −x+1

px²

"s µ

1−4 x+ 3

x²

¶ +

sµ 1−3

x+ 2 x²

¶#

Pourx<0,p

x²= |x| = −xdonc, pourx<0, f(x)= −1+¹x

−

"sµ 1−4

x+ 3 x²

¶ +

sµ 1−3

x+ 2 x²

¶#

On en déduit que lim

x→−∞f(x)=1 2 .

Pour>0,p

x²= |x| =x.

Alors :f(x)= −1+¹_x

"sµ 1−4

x+ 3 x²

¶ +

sµ 1−3

x+ 2 x²

¶#

On en déduit : lim

x→+∞f(x)=1 2 . car lim

x→±∞

µ 1−4

x+ 3 x²

¶

=1 donc lim

x→±∞

r 1−4

x+ 3 x²=lim

X→1

pX=p 1=1.

IV

Écrire les fonctions suivantes sous la forme de composée de deux fonctions que l’on déterminera.

a) f :x7−→sin(2x+3)

f : x−→^g 2x+3−−→^sin sin(2x+3);f =sin◦gavecg(x)=2x+3 b) f :x7−→cos¡

x²¢ f : x−→^g x^{2 cos}−−→cos¡

x²¢

;f =cos◦gavecg(x)=x² c) f :x7−→(2x+3)²

f : x−→^g 2x+3−→^h (2x+3)²;f =h◦gavecg(x)=2x+3 eth(x)=x² d) f :x7−→

r2x+3 x²+1 f : x−→^g 2x+3

x²+1

−h

→

r2x+3

x²+1;f =h◦gavecg(x)=2x+3

x²+1 eth(x)=p x

V

Soientu:x7−→ 1

x²+1etv:x7−→2x+3.

1. u◦v(x)=u(v(x))= 1

v²(x)+1= 1 (2x+3)²+1 . v◦u(x)=2u(x)+3=2× 1

x²+1+3= 2 x²+1+3. 2. On constate que u◦v6=v◦u