Correction du contrôle sur les formules de dérivation
• Sujet A
• Sujet B
Sujet A
I
1. On demande de calculerf′(2). Par définition,f′(2) est le coefficient directeur de la tangente à la courbeC au point d’abscisse 2.
Celle-ci est tracée et passe par les points de coordon- nées (2 ;−2) et (−3 ; 5).
On en déduit : f′(2) = ∆y
∆x = 5−(−2)
−3−2 = 7
−5 donc f′(2)= −7
5 .
L’équation réduite de la tangente au point d’abscissea est :y=f′(a)(x−a)+f(a).
Ici :a=2 ;f′(2)= −7
5etf(2)= −2.
L’équation est alors : y = −7
5(x −2)+(−2) ⇔ y = −7 5x + 14
5 −2 ⇔ y= −7
5x+4 5 .
2. f′(−3) est le coefficient directeur de la tangente àC au point d’abscisse -3 ; même si cette tangente n’est pas tracée, on voit que son coefficient directeur est positif (fonction affine associée croissante).
De même,f′(0) est négatif.
II
Calcul de dérivées :
1. f(x)=3x2+5x−1.f′(x)=3×2x+5 donc f′(x)=6x+5 . 2. f(x)= 3
x5− 7
x2=3× 1
x5−7× 1 x2. On sait que siw(x)= 1
xn, sa dérivée estw′(x)= − n xn+1. On en déduit que :f′(x)=3×
µ
− 5 x6
¶
−7× µ
−2 x3
¶
d’où : f′(x)= −15 x6+14
x3 =14x3−15 x6 . 3. f(x)=(2x+3)p
x.
f =uvavec
½ u(x)=2x+3 v(x)=p
x . On a alors :
u′(x)=2 v′(x)= 1
2p x
.
f′=(uv)=u′v+uv′d’où :f′(x)=2p
x+(2x+3)× 1 2p
x=2p
x+2x+3 2p
x =2p x×2p
x+2x+3 2p
x donc f′(x)=6x+3 2p
x =3(2x+1) 2p
x . 4. f(x)=2x+3
5x+7. f =u
v avec
½ u(x)=2x+3
v(x)=5x+7 . On a alors :
½ u′(x)=2 v′(x)=5 . f′=
³u v
´′
=u′v−uv′
v2 d’oùf′(x)=2(5x+7)−5(2x+3)
(5x+7)2 . f′(x)= − 1 (5x+7)2 . 5. f(x)= x2+3
4x2+1. f =u
v avec
½ u(x)=x2+3
v(x)=4x2+7 . On a alors :
½ u′(x)=2x v′(x)=8x . f′=
³u v
´′
=u′v−uv′
v2 d’oùf′(x)=2x¡
4x2+18x¡
x2+3¢¢
¡4x2+1¢2 =2x¡
4x2+1¢
−2x×4¡ x2+3¢
¡4x2+1¢2 =2x¡
4x2+1−4¡
x2+3¢¢
¡4x2+1¢2 . Par conséquent : f′(x)= − 22x
¡4x2+1¢2 .
Sujet B
I
1. On demande de calculerf′(3). Par définition,f′(3) est le coefficient directeur de la tangente à la courbeC au point d’abscisse 3.
Celle-ci est tracée et passe par les points de coordon- nées (3 ;−2) et (−2 ; 5).
On en déduit : f′(3) = ∆y
∆x = 5−(−2)
−2−3 = 7
−5 donc f′(2)= −7
5 .
L’équation réduite de la tangente au point d’abscissea est :y=f′(a)(x−a)+f(a).
Ici :a=3 ;f′(3)= −7
5etf(3)= −2.
L’équation est alors : y = −7
5(x −3)+(−2) ⇔ y = −7 5x + 21
5 −2 ⇔ y= −7
5x+11 5 .
2. f′(−2) est le coefficient directeur de la tangente àC au point d’abscisse -2 ; même si cette tangente n’est pas tracée, on voit que son coefficient directeur est positif (fonction affine associée croissante).
De même,f′(1 est négatif.
II
Calcul de dérivées :
1. f(x)=4x2−6x+3.f′(x)=4×2x−6 donc f′(x)=8x−6 . 2. f(x)= 4
x6− 9
x3=4× 1
x6−9× 1 x3. On sait que siw(x)= 1
xn, sa dérivée estw′(x)= − n xn+1. On en déduit que :f′(x)=4×
µ
− 6 x7
¶
−9× µ
−3 x4
¶
d’où : f′(x)= −24 x7+27
x4 =−24+27x3 x7 . 3. f(x)=(3x+2)p
x.
f =uvavec
½ u(x)=3x+2 v(x)=p
x . On a alors :
u′(x)=3 v′(x)= 1
2p x
.
f′=(uv)=u′v+uv′d’où :f′(x)=3p
x+(3x+2)× 1 2p
x=3p
x+3x+2 2p
x =3p x×2p
x+3x+2 2p
x donc f′(x)=9x+2 2p
x . 4. f(x)=5x+1
4x+3. f =u
v avec
½ u(x)=5x+1
v(x)=4x+3 . On a alors :
½ u′(x)=5 v′(x)=4 . f′=
³u v
´′
=u′v−uv′
v2 d’oùf′(x)=5(4x+3)−4(5x+1)
(4x+3)2 . f′(x)= 11 (4x+3)2 . 5. f(x)= x2+3
5x2+1. f =u
v avec
½ u(x)=x2+3
v(x)=5x2+1 . On a alors :
½ u′(x)=2x v′(x)=10x . f′=
³u v
´′
=u′v−uv′
v2 d’oùf′(x)=2x¡
5x2+1¢
−10x¡ x2+3¢
¡5x2+1¢2 =2x¡
5x2+1¢
−2x×5¡ x2+3¢
¡5x2+1¢2 =2x¡
5x2+1−5¡
x2+3¢¢
¡4x2+1¢2 . Par conséquent : f′(x)= − 28x
¡4x2+1¢2 .
