I) HISTORIQUE DES PROGRAMMES

FRACTIONS ET DECIMAUX

Comment introduire les nombres décimaux et les fractions à l'école primaire?

Quelle progression choisir pour mener cet apprentissage?

I) HISTORIQUE DES PROGRAMMES

a) Les instructions officielles de 1923

Ces instructions officielles préconisent un enseignement qui repose très fortement sur le système légal des mesures de longueurs, de masses…

● Au CE est abordé le principe de la numération décimale avec l'exemple des nombres entiers (10 unités valent une dizaine) puis en mettant ce principe en correspondance avec le système de mesure: 10 valent un décamètre et 10 grammes valent un décagramme…

● Au CM sont introduit s les décimaux grâce à l'étude des sous-multiples du mètre et du gramme; les élèves comprendront ce qu'est un dixième de mètre, un dixième de gramme avant de comprendre ce qu'est un dixième d'unité.

Il n'y a pas à proprement parler de distinction qui est faite entre les décimaux et les entiers naturels.

b) Les programmes et instructions de 1945

L'enseignement des décimaux est lié aux "unités théoriques et pratiques": monnaie, longueurs, poids et capacités.

● Les fractions se limitent aux fractions simples de grandeur ½; 1/3; 1/5; 1/10; 1/60 utilisés comme des opérateurs abstraits, par exemple: prendre les quatre-cinquièmes d'une grandeur, c'est partager cette grandeur en cinq parties égales et prendre quatre de ces parties.

● Il s'agit de faire comprendre l'équivalence entre des nombres à écriture complexe et des nombres décimaux, par exemple: 2 mètres et 15 centimètres "est égal" à 2,15 m ou encore 3 euros et 48 centimes d'euros "est égal"à 3,48 euros….

c) Les programmes et instructions de 1970

L'enseignement des fractions doit être réalisé avant celui des décimaux mais on n'établit aucune relation entre eux.

● On enseigne les fractions comme des opérateurs, c'est-à-dire qu'une chaîne d'opérateur du type +5 +2 peut être remplacé par l'opérateur +7

ou encore ×10 ÷2 peut être remplacé par l'opérateur ×5

et pour la chaîne d'opérateur × 7 ÷ 4 on introduit l'opérateur × 7/4 qui sera lu

"multiplier par 7 sur 4" ou "multiplier par sept quarts", 7/4 est ainsi défini comme une fraction.

● On enseigne les décimaux à partir de changements d'unités. Par exemple, une ville a 10850 habitants, si l'unité choisie est le millier, la population va s'exprimer par le nombre décimal 10,850.

d) Les programmes et instructions de 1980

Ce sont les premières instructions officielles qui abordent la question du sens en soulignant le fait qu'il s'agit d'aborder décimaux et fractions en faisant "prendre conscience que dans des situations appropriées" les naturels sont insuffisants et que de nouveaux nombres sont nécessaires pour étendre le domaine du calcul.

e) La circulaire sur les cycles de 1991 et les programmes et instructions de 1995

Ils font écho aux programmes actuels:

● L'élève apprend à:

- écrire un décimal à l'aide d'une écriture à virgule ou d'une écriture fractionnaire, passer d'une écriture à l'autre, ordonner des nombres décimaux, intercaler un décimal entre deux décimaux

● L'apprentissage du calcul sur les décimaux concerne

- L'addition, la soustraction et la multiplication de deux décimaux - La division d'un décimal par un entier

- la division décimale de deux entiers

● Les fractions et les décimaux servent à exprimer le résultat d'une mesure (une unité étant donnée), d'un partage. Ils permettent de repérer les points d'une droite. L'élève doit connaître les décompositions des décimaux:

205,036 = (2×100) + 5 + 53×0,01) + (6×0,001) 205,036 = 200 + 5 + 3/100 + 6/1000

II) L'ENSEIGNEMENT DES FRACTIONS ET DES DECIMAUX A L'HEURE ACTUELLE

1°) Introduction

L'enseignement des décimaux correspond à un programme très vaste qui va occuper une bonne partie du CM1, du CM2 mais aussi du collège; cet enseignement s'inscrit donc dans le long terme et il convient de ne pas installer trop rapidement des mécanismes et des techniques au détriment d'un travail sur le sens.

L'extension du domaine des naturels aux décimaux ne va pas de soi et ne découle pas de façon naturelle de la fréquentation des nombres entiers. Parmi les questions que l'on peut se poser, on peut souligner les points suivants:

- Pourquoi les décimaux? C'est-à-dire: quels sont les problèmes qui vont motiver et rendre nécessaire leur introduction?

- Comment écrire ces nouveaux nombres? Comment donner du sens aux écritures à virgules? Comment articuler l'écriture des nombres entiers, l'écriture des nombres décimaux et les écritures fractionnaires?

A l'heure actuelle, selon les instructions officielles de 2002, les fractions et les nombres décimaux doivent faire sens et pour cela, l'enseignant doit les faire apparaître "comme de nouveaux nombres utiles pour résoudre des problèmes que les nombres entiers ne permettent de résoudre de façon satisfaisante:

- problèmes de mesures de longueurs ou d'aires - de repérage d'un point sur une droite

- de partage"¹

L'équipe d'ERMEL ² propose trois contextes privilégiés d'introduction qui vont donner du sens aux écritures décimales et fractionnaires:

 Pour exprimer le résultat de mesurages de longueurs ou d'unités (une unité étant choisie).

 Pour repérer des positions sur une droite numérique ou pour y exprimer des intervalles.

 Pour approcher le quotient de deux entiers (ou la solution d'équation du type 7x = 23) ou encore de résultat d'un partage.

Dans l'ouvrage déjà cité, les auteurs s'appuient principalement sur les deux premiers contextes.

2°) Les lignes de force de la progression au CM1

a) Travailler d'abord le sens des écritures fractionnaires

Dans un premier temps, les élèves vont devoir trouver un moyen d'exprimer la longueur d'un segment (qui aura été choisie pour qu'elle ne puisse évidemment pas s'exprimer à l'aide d'un nombre entier).

Chaque élève ou chaque groupe devra exprimer son résultat:

- x unités et "un petit bout"

- x unités et un demi - x unités et trois quarts … et l'expliquer:

- reports - pliages

- approximations …

A cette étape de la progression, se construit déjà:

● Un ensemble de fractions simples c'est-à-dire celles qui s'expriment par une action:

- un demi, c'est quand on plie une fois l'unité en deux - un quart, c'est quand on plie deux fois l'unité en deux

● Un certain nombre d'égalités: ¼ + ¼ = ½ ; ½ + ¼ = ¾

● D'autre part, des fractions comme ¾ ou 7/4 évoquent à la fois une longueur mais aussi l'action qui permet de l'obtenir: partager l'unité en quatre et la reporter trois fois.

1 Ministère de la Jeunesse, de l'Education nationale et de la Recherche, Direction de l'enseignement scolaire.

Mathématiques cycle des approfondissements (cycle 3). Paris: CNDP, juillet 2002. 48 p.

2 ERMEL, Institut National de Recherche Pédagogique. Apprentissages numériques et résolution de problèmes, cycle des approfondissements CM1. Paris: Hatier, 1997. 509 p.

b) Un support privilégié: la droite numérique

Dans un autre contexte, qui correspond au repérage de positions sur une droite numérique, on peut demander aux élèves de placer des points correspondant à des écritures fractionnaires sur une droite numérique déjà graduée avec les entiers. Les activités proposées nécessitent que les élèves fassent la synthèse entre la position d'un point (codée par un nombre) et la distance à l'origine de ce point.

c) Extension à d'autres fractions élémentaires

Par la suite, on peut envisager détendre les écritures fractionnaires en proposant d'autres partages de l'unité, par exemple 1/3 ; 1/5 ; 1/10 …

Parce que plus difficilement matérialisable, il vaut mieux privilégier à cette étape des activités sur la droite graduée.

d) Fractions décimales

A cette étape, on peut davantage insister sur les fractions décimales et proposer des activités où: - l'unité est partagée en dix pour définir les dixièmes

- les dixièmes sont partagés à leur tour en dix parties pour définir les centièmes…

Ces activités prennent comme support la bande graduée où les élèves devront placer:

- des entiers

- des points correspondant à des fractions de dénominateur 10, 100, 1000 - des points correspondant à des fractions usuelles: quarts, demis, cinquièmes…

L'apprentissage vise à mettre en place et à justifier certaines équivalences:

1 = 100/100; 1 = 10/10; 1/10 = 10/100; 27/100 = 20/100 + 7/100 = 2/10 + 7/100;

2723/100 = 27 + 2/10 + 3/100

e) Introduction des écritures à virgules Les activités à favoriser sont:

- le rangement des fractions décimales dans le tableau de numération - le codage des fractions décimales en nombres à virgules

● Dans un premier temps, les élèves sont invités à placer dans le tableau de numération des nombres tels que 2723/100 en référence aux décompositions qu'ils connaissent du type:

2723/100 = (2×10) + 7 + 2/10 + 3/100. Ils prennent alors conscience de la nécessité de prolonger le tableau vers la droite.

● Dans un deuxième temps, l'écriture à virgule peut être introduite comme une autre écriture plus simple des fractions décimales: par exemple 2723/100 = (2×10) + 7 + 2/10 + 3/100 va s'écrire 27,23.

On favorisera cette lecture: 27,23 se lira 27 unités et 23 centièmes ou encore 27 unités, 2 dixièmes et 3 centièmes par référence aux fractions correspondantes.

f) Comparaison des décimaux

La situation proposée aux élèves s'organise autour d'un débat argumentatif. Il s'agit de comparer des couples de nombres décimaux en justifiant les réponses; puis en petits groupes puis collectivement, les élèves doivent rechercher quelles justifications sont les plus convaincantes et pourquoi, puis dire pourquoi ils rejettent certains des arguments avancés.

● Pour comparer 12,26 et 12,3 :

- les élèves peuvent remplacer 12,3 par 12,30 pour faciliter la comparaison avec 12,26 - les élèves peuvent expliciter la signification des chiffres:

12,3 = 12 + 3/10 = 12 + 30/100 et 12,26 = 12 + 26/100 et comme 30/100 > 26/100, on a 12,3 > 12,26

g) Premières opérations sur les nombres décimaux: addition, soustraction, multiplication par un entier

Un travail est mené avec, par exemple, une monnaie fictive (la roupie) qui va permettre aux élèves de travailler avec des nombres qui peuvent avoir 0, 1, 2, ou 3 chiffres après la virgule:

les sous-unités de cette monnaie sont inconnues ce qui obligent les élèves à ne pas travailler sur des nombres complexes comme ce serait le cas si les prix exprimés en euros et centimes d'euros.

● Ainsi, les élèves doivent toujours se référer au sens des écritures décimales, par exemple:

10,66 "roupies", c'est 10 roupies, 6 dixièmes de roupie et 6 centième de roupie ou encore 10 roupies et 66 centièmes de roupie.

● À travers cette situation où l'on retravaille le sens des écritures à virgules dans un contexte de calculs, les règles opératoires de l'addition et de la soustraction des décimaux sont introduites.

Tableau récapitulant les lignes de force de la progression choisie pour le CM1 concernant les décimaux et les fractions par l'équipe "ERMEL"

a) Travailler le sens des écritures fractionnaires

b) Un support privilégié: la droite numérique

c) Extension à d'autres fractions élémentaire

d) Fractions

décimales

► Exprimer le résultat de la mesure de la longueur d'un segment en réalisant des actions (pliages, reports)

Exemple:

un demi, c'est quand on plie une fois en deux l'unité ou encore, un quart, c'est quand on plie deux fois en deux l'unité.

► Exprimer des égalités (vérifiées en actes).

Exemple:

¼ + ¼ = ½

½ + ¼ = ¾ …

► Placer des points sur une droite (déjà graduée avec les entiers)

correspondant à des écritures

fractionnaires Exemple:

- Fractions simples (demi, quart)

- Autres fractions élémentaires du type: 1/3; 1/5; 1/10

► Placer des points correspondant à des

fractions de

dénominateur 10, 100, 1000.

► Mise en place et justification d'un certain nombre d'équivalences Exemple:

1 = 100/100 1 = 10/10 1/10 = 10/100 27/100 = 20/10 + 7/100 = 2/10 + 7/100 2723/100 = 27 + 2/10 + 3/100

e) Introduction des écritures à virgule

f) Comparaison des décimaux

g) Premières

opérations sur les nombres décimaux:

additions, soustractions, multiplications

► Placer dans le

tableau de

numération des nombres tels que 2723/100

► Prendre

conscience que 27,23 est un autre codage de 27 + 2/10 + 3/100

► Exprimer d'autres équivalences de ce type

► Comparer des

décimaux en

s'appuyant sur le sens des écritures Exemple:

12,3 = 12 + 3/10 = 12 + 30/100

et 12,26 = 12 + 2/10 + 6/100 = 12 +26/100

donc 12,3>12,26

► Comprendre que les règles de comparaison

valables pour les

entiers ne

fonctionnent pas sur les décimaux

► Les règles opératoires sont introduites en s'appuyant sur le sens des écritures à virgule.

Exemple:

Pour éviter le résultat erroné de cette opération:

3,5 × 4 = 12,20 on revient au sens de l'écriture décimale:

3,5 = 3 + 5/10 donc (3 + 5/10) × 4 = 12 + 20/10 = 14

Tableau mettant en relation la progression proposée au CM1 par ERMEL et les instructions officielles 2002 concernant les fractions et les décimaux

a) Travailler le sens des écritures fractionnaires

► Exprimer le résultat de la mesure de la longueur d'un segment en réalisant des actions (pliages, reports)

Exemple:

Un demi, c'est quand on plie une fois en deux l'unité ou encore, un quart, c'est quand on plie deux fois en deux l'unité.

► Exprimer des égalités (vérifiées en actes).

Exemple:

¼ + ¼ = ½

½ + ¼ = ¾ …

Les instructions officielles de 2002: connaissance des fractions et des nombres décimaux

– Utiliser, dans des cas simples, des fractions ou des sommes d’entiers et de fractions pour coder le résultat de mesurages de longueurs ou d’aires, une unité de mesure étant choisie explicitement.

– Une unité de longueur étant fixée explicitement, construire un segment ou une bande de papier dont la mesure de la longueur est donnée sous la forme d’une fraction.

– Une unité d’aire étant fixée explicitement (éventuellement prédécoupée), construire une surface dont la mesure de l’aire est donnée sous la forme d’une fraction.

– Écrire une fraction sous forme de somme d’un entier et d’une fraction inférieure à 1.

(Une fois les écritures à virgules abordées)

– Utiliser les nombres décimaux pour exprimer la mesure de la longueur d’un segment ou celle de l’aire d’une surface (une unité étant donnée).

Commentaires

Outre les fractions décimales, les fractions utilisées ont un dénominateur compris entre 2 et 5 (ou des puissances de ces nombres comme 4, 8, 16, 9, 25…).

Les fractions telles que 1/2, 1/4, 1/8, 1/16 … peuvent être illustrées ou évoquées en référence à des pliages successifs en deux de l’unité (on évitera d’utiliser les notations du type 1/2, avec la barre oblique).

Dans d’autres cas, par exemple ceux où l’unité est partagée en trois ou en cinq, on peut avoir recours à un réseau de droites parallèles équidistantes. Ce réseau permet de partager une longueur en plusieurs longueurs égales, sans recours à la division.

Les écritures du type 2+1/4 ou 1/2+3/4 peuvent être utilisées dans des contextes de mesure de longueurs de segments ou d’aires de surfaces, obtenus par juxtaposition d’autres segments ou surfaces.

Les élèves ont l’occasion de rencontrer des entiers sous écriture fractionnaire, à partir d’égalités comme: 9/3=3. 40/10=4

Ces égalités peuvent être justifiées 9/3, c’est « 9 tiers de l’unité, ou 3 fois 3 tiers de l’unité, donc 3 unités », ce qui peut être illustré à l’aide de segments.

b) Un support privilégié: la droite numérique

c) Extension à d'autres fractions élémentaires Les instructions officielles de 2002:

connaissance des fractions et des nombres décimaux

Commentaires

► Placer des points sur une droite (déjà graduée avec les entiers) correspondant à des écritures fractionnaires

Exemple:

- Fractions simples (demi, quart)

- Autres fractions élémentaires du type: 1/3; 1/5;

1/10

(Une fois les écritures à virgules introduites) – Utiliser les nombres décimaux pour repérer un point sur une droite graduée régulièrement de 1 en 1.

Outre les fractions décimales, les fractions utilisées ont un dénominateur compris entre 2 et 5 (ou des puissances de ces nombres comme 4, 8, 16, 9, 25…).

Les fractions telles que 1/2, 1/4, 1/8, 1/16 … peuvent être illustrées ou évoquées en référence à des pliages successifs en deux de l’unité (on évitera d’utiliser les notations du type 1/2, avec la barre oblique).

Dans d’autres cas, par exemple ceux où l’unité est partagée en trois ou en cinq, on peut avoir recours à un réseau de droites parallèles équidistantes. Ce réseau permet de partager une longueur en plusieurs longueurs égales, sans recours à la division.

d) Fractions décimales Les instructions officielles de 2002: connaissance des fractions et des nombres décimaux

Commentaires

► Placer des points correspondant à des fractions de dénominateur 10, 100, 1000.

► Mise en place et justification d'un certain nombre d'équivalences

Exemple:

1 = 100/100 1 = 10/10 1/10 = 10/100

27/100 = 20/10 + 7/100 = 2/10 + 7/100 2723/100 = 27 + 2/10 + 3/100

(Une fois les écritures à virgules introduites) – Utiliser les nombres décimaux

pour repérer un point sur une droite graduée régulièrement de 1 en 1.

Relations entre certains nombres décimaux – Connaître et utiliser des écritures

fractionnaires et décimales de certains nombres:

0,1 et 1/10 ; 0,01 et 1/100 ; 0,5 et 1/2 ; 0,25 et 1/4 ; 0,75 et 3/4.

– Connaître et utiliser les relations entre 1/4 (ou 0,25) et 1/2 (ou 0,5) ; entre 1/100 et 1/10 ;

entre 1/1000 et 1/100.

Ces connaissances doivent être établies en référence à une expérience (situations réelles ou évoquées) sur des longueurs, des capacités, des durées ou des aires. Il s’agit en fait de développer de bonnes représentations mentales de ces nombres et des relations qui les lient.

e) Introduction des écritures à virgule Les instructions officielles de 2002: connaissance des fractions et des nombres décimaux

Commentaires

► Placer dans le tableau de numération des nombres tels que 2723/100

► Prendre conscience que 27,23 est un autre codage de 27 + 2/10 + 3/100

► Exprimer d'autres équivalences de ce type

– Déterminer la valeur de chacun des chiffres composant une écriture à virgule, en fonction

de sa position.

– Passer pour un nombre décimal, d’une écriture fractionnaire (fractions décimales) à une écriture à

virgule (et réciproquement).

Les écritures à virgule prennent sens en étant mises en relation avec les fractions décimales, ce qui correspond à l’introduction historique des décimaux. Cela permet de comprendre que la valeur d’un chiffre est dix fois plus petite que celle du chiffre écrit immédiatement à sa gauche et dix fois plus grande que celle du chiffre qui est écrit immédiatement à sa droite (ce qui est vrai aussi bien pour la partie entière que pour la partie décimale).

Exemples d’égalités qui peuvent être utilisées :

956/10=95+6/10=9,56 ou encore

503/100=5+3/100=5,03.

Comme dans le cas des fractions, de telles égalités ne doivent pas avoir un caractère formel. Elles doivent pouvoir être interprétées en référence soit à des longueurs de segments mesurés avec une unité donnée et ses sous- unités (obtenues par partage en 10, 100… le partage étant effectif ou seulement évoqué) soit au placement de nombres sur une graduation.

– Produire des décompositions liées à une écriture à virgule, en utilisant 10 ; 100 ; 1 000… et 0,1; 0,001…

Exemples de décompositions :

156,34 = 100 + (50×10) + 6 + (3×1/10) + (4×1/100) et 156,34 = 100 + 50 + 6 + (3 ×0,1) + (4 × 0,01)

La deuxième égalité ne nécessite pas de connaissances sur la multiplication par un nombre décimal, mais seulement de connaître l’égalité entre 1/10 et 0,1.

f) Comparaison des décimaux Les instructions officielles de 2002:

connaissance des fractions et des nombres décimaux

Commentaires

► Comparer des décimaux en s'appuyant sur le sens des écritures

Exemple:

12,3 = 12 + 3/10 = 12 + 30/100

et 12,26 = 12 + 2/10 + 6/100 = 12 +26/100 donc 12,3>12,26

– Comparer deux nombres décimaux donnés par leurs écritures à virgule.

– Traduire le résultat de la comparaison en utilisant les signes < et >.

La comparaison de nombres tels que 2,58 et 2,6 se ramène à celle de leurs parties décimales, mais celles-ci ne doivent pas être considérées comme des entiers : les élèves doivent comprendre qu’il s’agit en fait de comparer 5/10 avec 6/10 ou 58/100 avec 60/100. Le recours à des graduations peut être une aide pour les élèves.

► Comprendre que les règles de comparaison valables pour les entiers ne fonctionnent pas sur les décimaux

- Encadrer un nombre décimal par deux entiers consécutifs ou par deux nombres décimaux.

Il s’agit, sans étude systématique et sans utiliser de formulation spécifique, d’approcher la notion d’encadrement à l’unité ou au dixième près, par exemple : 35 < 35,46 < 36 ou 35,4 < 35,46 < 35,5.

Ces activités permettent aux élèves de prendre conscience que la notion de nombres consécutifs, valable pour les nombres entiers, ne l’est plus pour les nombres décimaux : intercaler un nombre (décimal) entre deux nombres (décimaux) devient toujours possible. Ces questions d’intercalation peuvent également être l’occasion de rencontrer des nombres décimaux qui s’écrivent avec plus de trois chiffres dans leur partie décimale.

g) Premières opérations sur les nombres décimaux: additions, soustractions, multiplications

Les instructions officielles de 2002:

connaissance des fractions et des nombres décimaux

Commentaires

► Les règles opératoires sont introduites en s'appuyant sur le sens des écritures à virgule.

Exemple:

Pour éviter le résultat erroné de cette opération:

3,5 × 4 = 12,20 on revient au sens de l'écriture décimale:

3,5 = 3 + 5/10 donc

(3 + 5/10) × 4 = 12 + 20/10 = 14

Résultats mémorisés, procédures automatisées

– Calculer des sommes et des différences de nombres entiers ou

décimaux, par un calcul écrit en ligne ou en colonnes.

– Calculer le produit de deux entiers ou le produit d’un décimal par un entier (3 chiffres par 2 chiffres), par un calcul posé.

– Calculer le quotient et le reste de la division euclidienne d’un nombre entier (d’au plus 4 chiffres) par un nombre entier (d’au plus 2 chiffres), par un calcul posé.

Le calcul de divisions (quotient entier et reste) doit être limité à des cas raisonnables : dividende ayant au plus quatre chiffres, avec pose effective des soustractions intermédiaires et possibilité de poser des produits partiels annexes pour déterminer certains chiffres du quotient. L’algorithme de la division sera repris dans le programme de 6e et prolongé au cas du quotient décimal. Le calcul d’un quotient décimal issu de la division de deux entiers ou d’un décimal par un entier n’est donc pas une compétence exigible au cycle 3. Mais, des situations où les élèves sont conduits à chercher ce type de résultat par des procédures personnelles doivent être proposées.

Par exemple, s’il s’agit de partager équitablement 203 euros entre 5 personnes, les procédures suivantes peuvent être utilisées : – convertir les 203 euros en 20 300 centimes, puis effectuer la division ; – donner 40 euros à chacun, puis convertir les 3 euros restants en 300 centimes pour terminer le partage ; – poser la division de 203 par 5, puis convertir le reste (3 unités) en 30 dixièmes pour poursuivre le calcul. Dans tous les cas, on reste au niveau d’un calcul réfléchi

Calcul réfléchi

– Organiser et effectuer des calculs du type 1,5 + 0,5; 2,8 + 0,2; 1,5 × 2; 0,5 × 3, en s’appuyant sur les résultats mémorisés et en utilisant de façon implicite les propriétés des nombres et des opérations.

explicite, sans viser la mise en place d’un automatisme. La calculatrice peut également être utilisée lorsque, par exemple, le calcul de la division de 203 par 5 a été reconnu comme pertinent, l’attention des élèves devant être attirée sur l’interprétation du résultat affiché, notamment sur les chiffres significatifs de la partie décimale.

Pour le calcul mental, on se limite à des nombres décimaux simples et on peut exploiter des erreurs du type 0,5 × 3 = 0,15 pour revenir sur la signification des écritures décimales. L’apprentissage organisé du calcul sur les fractions relève du collège. Cependant, en prenant appui sur la signification donnée aux écritures fractionnaires, les élèves peuvent être confrontés, en situation, à des calculs comme ½ + ½ ;

¼ + ½ ; 1 + 1/3; 2 – 1/3 ou être conduits à décomposer quelques fractions en somme d’un entier et d’une fraction inférieure à 1, par exemple :

25/10 = 2 + 5/10 = 2 + ½ ou 25/10 = 3 – 5/10 = 3 –

½. Toute référence à des procédures expertes de calcul sur les fractions est prématurée au cycle 3.