CAS D'UNE PLAQUE INFINIE

VIBROACOUSTIQUE DES STRUCTURES PLANES

3 - ANALYSE ET REPRESENTATION DANS LE CAS D'UNE PLAQUE INFINIE

4 - RAYONNEMENT D'UNE PLAQUE RECTANGULAIRE 5 - PUISSANCE ACOUSTIQUE RAYONNEE

Transparence acoustique:

CAS D'UNE PLAQUE INFINIE

Rayonnement acoustique Transparence acoustique Transparence acoustique

milieu 2 milieu 2

Plaque mince

milieu 1 milieu 1

z

( ^{x y} )

w ,

( ^{x y z} )

p

₂

, ,

( ^{x y z} )

p

₁

, ,

1 1 1

, c , k

ρ ρ

₂

, c

₂

, k

₂

( ^{, , 0}

⁻

) ^{= =}

₂

( ^{, , 0}

⁺

)

1

x y v u x y

u

_{z z}

Transparence acoustique d’une plaque infinie

Milieu 1 : ondes acoustiques

Interface milieu 1 / plaque : continuité des vitesses acoustiques et vibratoires

Plaque : déplacement du aux ondes de flexion

Milieu 2 : ondes acoustiques

(

^{, ,}

)

₁² ₁

(

^{, ,}

)

⁰

1

2 + =

∇ p x y z k p x y z

( )

^w

(

^{x y}

)

z z y x p

z

, , ,

1 2 0

1 =ω ρ

∂

∂

=

Interface milieu 2 / plaque : continuité des vitesses acoustiques et vibratoires

(

^,

)

²

(

^,

)

₁

(

^{, ,0}

)

₂

(

^{, ,0}

)

4w x y hw x y p x y p x y

D ∇ −ω ρ = −

( )

(

^{x y}

)

z w z y x p

z

, , ,

2 2 0

2 =ω ρ

∂

∂

=

(

^{, ,}

)

₂² ₂

(

^{, ,}

)

⁰

2

2 + =

∇

p x y z k p x y z

Transparence acoustique d’une plaque infinie

Milieu 1 : ondes acoustiques

Onde plane incidente : angles et

(

^{, ,}

)

₁² ₁

(

^{, ,}

)

⁰

1

2 + =

∇ p x y z k p x y z

( )

( )

^θ

θ φ

θ φ

θ

ω

cos

cos cos

sin sin

inc sin

,

, ,

,

jkz

jkz jky

jkx

e y x p

k c e

P z

y x p

−

−

−

−

=

=

=

ϕ θ

Ondes planes incidente + réfléchie

( ) ( ) [

^{cosθ cosθ}

]

1

x , y , z p x , y e

^jkz

R e

^jkz

p =

⁻

+

Continuité des vitesses ….

^{⇒ p}

₂

( ^{x , y , z} ) ^{= p} ( ^{x , y} ) ^{T e}

^{− jkzz}

(

^{2 2}

)

^{2 2 2}

^θ

2

k k k k sin

k

k

_z

=

_t

−

_x

+

_y

=

_t

−

t

t

c

k ω

=

Transparence acoustique d’une plaque infinie

Toujours propagative

k k

_t

=

θ θ

_t

=

Onde transmise Onde transmise

)

( c c

k

k

_t

=

_t

=

t

k

t

k sin θ = sin θ

c c k

k

_t

k t

θ θ

θ sin arcsin ^sin

arcsin =

=

Transparence acoustique d’une plaque infinie

fréquence critique

k

k

f

Transparence acoustique d’une plaque infinie Onde transmise Onde transmise

t

k

t

k sin θ = sin θ

c c k

k

_t

k t

θ θ

θ sin arcsin ^sin

arcsin =

=

Toujours propagative

0 ≤ θ

_t

≤ θ

max

c c k

k

_t

t

arcsin arcsin

max

= =

θ

) ( c c k

k

_t

>

_t

<

k

t

k

Transparence acoustique d’une plaque infinie Onde transmise Onde transmise

t

k

t

k sin θ = sin θ

c c k

k

_t

k t

θ θ

θ sin arcsin ^sin

arcsin =

=

Evanescente

Evanescente

( k

_t

< k sin θ )

Propagative

( k

_t

> k sin θ )

k

k

t

)

( c c

k

k

_t

<

_t

>

0 π 2

θ ≤

≤

_t

t t

LIM

c

c k

k arcsin arcsin =

θ =

VIBROACOUSTIQUE DES STRUCTURES PLANES

3 - ANALYSE ET REPRESENTATION DANS LE CAS D'UNE PLAQUE INFINIE

4 - RAYONNEMENT D'UNE PLAQUE RECTANGULAIRE 5 - PUISSANCE ACOUSTIQUE RAYONNEE

CAS D'UNE PLAQUE FINIE

Rayonnement acoustique Rayonnement acoustique Transparence acoustique

milieu 2 milieu 2

Plaque mince

milieu 1 milieu 1

z

( ^{x y} )

w ,

( ^{x y z} )

p

₂

, ,

( ^{x y z} )

p

₁

, ,

1 1 1

, c , k

ρ ρ

₂

, c

₂

, k

₂

( ^{, , 0}

⁻

) ^{= =}

₂

( ^{, , 0}

⁺

)

1

x y v u x y

u

_{z z}

( )

{ ^, } ⁰

CL w x y =

Conditions

aux limites

PLAQUE FINIE

Milieu 1 : ondes acoustiques

Interface milieu 1 / plaque : continuité des vitesses acoustiques et vibratoires

Plaque : déplacement du aux ondes de flexion

Milieu 2 : ondes acoustiques

(

^{, ,}

)

₁² ₁

(

^{, ,}

)

⁰

1

2 + =

∇ p x y z k p x y z

( )

( )



= 

∂

∂

= w x y S

z z y x p

z , sur

ailleurs , 0

,

1 2 0

1

ρ ω

Interface milieu 2 / plaque : continuité des vitesses acoustiques et vibratoires

( , )

²

( , ) ( , )

₁

( , , 0 )

₂

( , , 0 )

4

w x y h w x y F x y p x y p x y

D ∇ − ω ρ = + −

(

^{, ,}

)

₂² ₂

(

^{, ,}

)

⁰

2

2 + =

∇

p x y z k p x y z

( )

( )



= 

∂

∂

= w x y S

z z y x p

z , sur

ailleurs , 0

,

2 2 0

2

ρ ω

( )

{ ^, } ⁰

CL w x y =

Transformée de Fourier Spatiale

( ^{k k} ) ^{w ( x y ) e ( ) dx dy}

W

_{x y}

∫

^+∞

∫

^{j kxx kyy}

∞

− +∞ +

∞

−

= ,

,

Transformée de Fourier Spatiale 2D (TFS)

( ) ( ) ^{( )}

π π

2 , 2

, _{x y} ^{j k x k y}

dk

^x

dk

^y

e k k W y

x

w ∫

^+∞

∫

^{x y}

∞

−

+ +∞ −

∞

−

=

analyse synthèse

La TFS 2D permet de généraliser les résultats de la plaque infinie à une structure plane quelconque :

Pour une plaque infinie une composante de flexion est représentée par un point sur le spectre des nombres d’onde

Pour une plaque finie les multiples réflexions sur les bords conduiront à de multiples points sur le spectre des nombres d’onde

Exemple

Transformée de Fourier Spatiale 2D (TFS)

( ) ( ) ^{( )}

( ^{x y})

j

y y jk y

y x x

jk x

x

x y y

k x k j y

x

x x

x y y x

W e

e dk dk k

e k

W

dk dk e

k k W y

x w

γ γ

π

γ π π δ

γ δ

π π

+

−

∞ +

∞

−

∞ − +

∞

−

− +∞

∞

−

+ +∞ −

∞

−

=

−

−

=

=

∫

∫

∫

∫

2 0 0

4

) 2 2 (

) (

2 , 2

,





=

=

ϕ γ

γ

ϕ γ

γ

sin cos

y y x

k

k

x

γ

ϕ

Si le spectre de nombre d’onde est représentée par

) (

) (

) ,

( k

_x

k

_y

W

₀

k

_{x x}

k

_{y y}

W = δ − γ δ − γ

Exemple

Transformée de Fourier Spatiale 2D (TFS)

Plaque finie : solution générale

2 0

2 2

2

= p , c = c , k = k et ρ = ρ

Pour simplifier p

Transformée de Fourier de l’équation de Helmholtz

( ^{k k z} ) ^p ( ^{x y z} ) ^{e ( ) dx dy}

P

_{x y}

∫

^+∞

∫

^{j kxx kyy}

∞

− +∞ +

∞

−

= , ,

, ,

Transformée de Fourier Spatiale 2D (TFS) de la pression

( ) ( ) ^{( )}

π π

2 , 2

, ,

, _{x y} ^{j k x k y}

dk

^x

dk

^y

e z k k P z

y x

p ∫

^+∞

∫

^{x y}

∞

−

+ +∞ −

∞

−

=

analyse synthèse

( ) ( )

{ ^∇

²

^{p x , y , z + k}

²

^{p x , y , z} } ^{= TFS} { ^∇

²

^{p ( x , y , z )} } ^{+ k}

²

^P ( ^{k , k , z} ) ^{= 0}

TFS

_{x y}

Plaque finie : solution générale

donc

( )

{

²

^{, ,} }

²

^{( ,}

₂

^{, )}

²

^{( ,}

₂

^{, )} ( ^k

²

^k

²

) ^{P ( k , k , z )}

y

z y x p x

z y x TFS p

z y x p

TFS = −

_x

+

_{y x y}

 



 



∂ + ∂

∂

= ∂

∇

Dérivée de la pression

( ) ( ) ^{( )}

( ) ^{( )}

π π

π π

2 , 2

,

2 , 2

, , ,

x y y

k x k j y

x x

x y y

k x k j y

x

dk dk e

z k k P jk

dk dk x e

z k k x P

z y x p

y x

y x

∫

∫

∫

∫

∞ +

∞

−

+

∞ − +

∞

−

+∞

∞

−

+ +∞ −

∞

−

−

=

∂

= ∂

∂

∂

( ) ( )

^{( )}

π π 2 , 2

, ,

, _{x y} ^{j k x k y} dk^x dk^y

e z k k P z

y x

p

∫

^+∞

∫

^{x y}

∞

−

+ +∞ −

∞

−

=

) , , ) (

, ,

( jk P k k z

x z y x

TFS p = −

_{x x y}

 



 



∂

∂ ^{( , , )} ( ^jk ) ^{P ( k , k , z )}

x

z y x

TFS p

_{n x} ⁿ _{x y}

n

−

 =

 

 



∂

∂

( ) ( ) ^{( , , )}

) , ,

( jk jk P k k z

y x

z y x

TFS p

_{m m x} ^m _y ⁿ _{x y}

n m

−

−

 =

 

 



∂

∂

∂

⁺

Plaque finie : solution générale

Transformée de Fourier de l’équation de Helmholtz

avec devient

( )

( ) ( ^{, ,} ) ⁰

,

,

_{2 2 2}

2 2

=

−

−

∂ +

∂ k k k P k k z

z

z k k P

y x y

x y

x

avec pour solution

( ^k

_x

^k

_y

^z ) ^A ( ^k

_x

^k

_y

) ^e

^jkzz

^B ( ^k

_x

^k

_y

) ^e

^jkzz

P , , = ,

⁻

+ ,

( )

{ ^∇

²

^{p x , y , z} } ^{+ k}

²

^P ( ^{k , k , z} ) ^{= 0}

TFS

_{x y}

( )

{

²

^{p x , y , z} } ( ^k

²

^k

²

) ^{P ( k , k , z )}

TFS ∇ = −

_x

+

_{y x y}

Éliminé par la condition de Sommerfeld

Plaque finie : solution générale

relation de continuité

Pression rayonnée dans le domaine des nombres d’onde

et dans l’espace après TFS inverse

( ) (

x y

)

z y

x

W k k

z

z k k

P

, , ,

2 0 0

ρ ω

∂ =

∂

=

( ^{k k} ) ^{w ( x y ) e ( ) dx dy}

W

S

y k x k j y

x

y

∫∫

x ⁺

= ,

,

( ) (

x y

)

z jk z

y

x

e W k k

k k j c

z k k

P , , = ρ

^{0 − z}

,

ω

( ) ( ) ^{( )}

π π

ω ρ

2 , 2

,

,

₂ ⁰ _{2 2} ^{j k2 k2 k2 z} _{x y} ^{j k x k y x y}

k k k

dk dk e

k k W ck e

j z

y x

p

^{x y x y}

y x

∫

∫

^+∞

∞

−

+

− −

−

−

−

−

∞ +

∞

−

 





 





=

Solution pour la pression en champ lointain

coordonnées sphériques

Quand méthode de la phase stationnaire θ

φ θ

φ θ

cos sin sin

cos sin

R z

R y

R x

=

=

=

( ) ^{( )} ( )

π ρ π

ω φ

θ

θ φ

θ φ

θ

2 , 2

, ,

cos sin

sin cos

sin 0

x y y

x z

k k

k

jR dk dk

k k k W

j e R

p

z y

x + +

−

∞ +

∞

−

∞ +

∞

−

∫

∫

=

>> 1 kR

( ^{, θ , φ} ) ^ω

²

^ρ

₀

^W ( ^{k sin θ cos φ , k sin θ sin φ} )

R R e

p

− jkR

−

≈

φ θ

φ

θ cos et sin sin

sin k k

k

k

_x

=

_y

=

φ

k

Utilisation de la représentation modale

Conditions aux limites : 4 bords simplement supportés

Solution libre

Pulsation propres

Déformée modale

( )

y x

mn

L

y n L

x y m

x π π

φ , = sin sin

( ) ∑∑

^∞

[ ] ( )

=

∞

=

+

=

1 1

, cos

sin ,

,

m

mn n

mn mn

mn

mn

t B t x y

A t

y x

w ω ω φ

h D L

n L

m

y x

mn

π ρ

ω  





 





 





 





 +





 

= 

2 2 2

Plaque rectangulaire SS

Mode (1, 1) Mode (2, 1) Mode (1, 2) Mode (2, 2)

d’après Dan Russell, www. kettering.edu/~drussell/

( ^{x, y} )

φ

11

( ^{x, y} )

φ

21

( ^{x, y} )

φ

12

( ^{x, y} )

φ

22

Excitation forcée des plaques

Equation du déplacement

masse modale généralisée force modale généralisée

( )

[ ^j ] ^{( x y )}

M

e y F

x

w

_mn

m n mn mn mn mn

t j

mn

,

, 2

,

_{2 2}

φ

ζ ω ω ω

ω ω

∑∑

ω

+

= −

( )

∫ ∫

=

x y

L L

mn

mn

h x y dx dy

M

0 0

2

,

φ ρ

( ) ( )

∫ ∫

=

x y

L L

mn

mn

f x y x y dx dy

F

0 0

,

, φ

anti-résonance

ω

wC

log 20

log ω

ωC

ωB

ωA

wB

log 20

wA

log 20 log w

20

Pression sur la plaque

Pression pariétale

Utilisation de la base modale Utilisation de la base modale

( ) ( ) _{( )}

π π

ω ρ

2 2

0 , ,

,

2 2 2

0 j k x k y x y

y x

y

x

dk dk

e k

k k

k k W k j c

y x

p

^{− x + y}

∞ +

∞

−

∞ +

∞

−

∫

∫ − −

=

( ^{x y} ) ^a ( ) ( ^{x y} )

w

_mn

n m

mn

,

,

,

φ

∑

^∞

ω

=

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

∫∫



≠

= =

S

mn kl

mn

k l m n

n m l

k dy N

dx y x y

x

0 quand , ,

, ,

quand ,

,

φ

φ

Objectif : exprimer le déplacement dans la base modale pour la pression pariétale

( ) ^{( )}

mn

(

x y

)

n m

mn y

x

k a k k

k

W , ,

,

Φ

= ∑

^∞

^ω

Pression sur la plaque

Pression pariétale s’écrit de deux façons différentes

… en exprimant la vitesse sur la basse modale

… en recherchant une décomposition de la pression pariétale sur la base des fonctions orthogonales

( ) ( ) ( )

^{( )}

π ω π

ρ

ω

2 2

0 , ,

, 2 2 2

, 0

x y y

x

y k k j y

x mn n

m

mn

dk dk k

k k

e k a k

k c j

y x p

y x

∫

∑ ∫

^+∞

∞

−

+

∞ − +

∞

−

∞

−

−

= Φ

( ^{x y} )

pq

, φ

( ^{x y} ) ^b ( ^{x y} )

p

_kl

l k

kl

,

0 , ,

,

∑

^∞

φ

=

Pression sur la plaque

L’utilisation de la seconde expression pour la pression conduit aux coefficients

En multipliant chaque terme par et en utilisant la relation d’orthogonalité

( ) ( )

_kl

( )

_pq

( )

_{pq pq}

l k

kl

pq x y dx dy b x y x y dxdy b N

y x

p =

∑ ∫ ∫

=

∫ ∫

^∞

∞

−

∞

∞

−

∞ ∞

∞

−

∞

∞

−

, ,

, 0

, ,

,

φ φ

φ

( ^{x y} )

pq

, φ

( ) ( )

( )

^{( )}

π φ π

ρ ω ω

2 , 2

,

2 2

, 2

0 j k x k y x y

pq y

x y x mn n

m

mn pq

pq

dk dk dy dx e

y x k

k k

k a k

N

k c

b j ^{− x + y}

∞ +

∞

−

∞ +

∞

−

∞ +

∞

−

∞ +

∞

−

∞

∫ ∫ ∫ ∫

∑

− −

= Φ

(

x y

)

pq

− k − k

Φ ,

( ) ( )

∫ ∫

∞

∞

−

∞

∞

−

= p x y x y dx dy

b N

_pq

pq

pq

1 , , 0 ,

φ

Pression sur la plaque

Pression pariétale prend la forme

( ) ω ( ) ω

ω

_mnpq

n m

mn

pq

j a Z

b ⁼ ∑

^∞

,

La pression pariétale peut s’écrire sous la forme suivante

avec l’impédance de rayonnement

( ) ( ) ( )

π π

ω ρ

2 , 2

2

,

2 2

0 x y

y x

pq y

x mn y

pq x mnpq

dk dk k

k k

k k

k k

k N

Z c Φ Φ − −

−

−

= ∫

^+∞

∫

∞

− +∞

∞

−

( ^{x y} ) ^b ( ^{x y} ) ^{j a} ( ) ^Z ( ) ( ^{x y} )

p

_{mnpq pq}

n m

mn q

p pq

q p

pq

, ,

0 , ,

, ,

,

φ ω ω

ω

φ ∑ ∑

∑

^∞

⁼

^{∞ ∞}

=

Impédance de rayonnement

• les termes directs sont positifs avec une partie réelle qui tend en hautes fréquences vers l'impédance caractéristique

• les termes croisés oscillent autour de zéro

Quantité complexe ^Z

_mnpq

( ) ω = ^R

_mnpq

( ) ω + ^{j I}

_mnpq

( ) ω

f







 c Z

0

Re 1111

ρ







 c Z

0

Im 1111

ρ

0 1

f

4 . 0 +

4 . 0

−







 c Z

0

Re 1113

ρ

d’après Sandman 1975

Réponse vibratoire couplée de la plaque

Les déformées modales satisfont les conditions aux limites et vérifient l’équation homogène

Equation dynamique (pression dans le demi espace z>0)

( ) ( ) ( ) ( )

( ^{x y} ) ^{j a} ( ) ^Z ( ) ( ^{x y} )

F

y x a

h y

x a

D

pq klpq

q p

kl l

k

mn n

m

mn mn

n m

mn

, ,

, ,

, ,

, 2

4 ,

φ ω ω

ω

φ ω ρ

ω φ

ω

∑

∑

∑

∑

∞

∞

∞

∞

−

=

−

∇

( ^, )

²

( ^, ) ( ^, ) ( ^{, , 0} )

4

w x y h w x y F x y p x y

D ∇ − ω ρ = −

( ^, )

²

( ^, ) ⁰

4

− =

∇ x y h x y

D φ

_mn

ω

_mn

ρ φ

_mn

Pulsation propre du mode (m,n)

Réponse vibratoire couplée de la plaque

Equation dynamique (pression dans le demi espace z>0)

( ) ( ) ( ) ( )

( ^{x y} ) ^{j a} ( ) ^Z ( ) ( ^{x y} )

F

y x a

h y

x a

D

pq klpq

q p

kl l

k

mn n

m

mn mn

n m

mn

, ,

, ,

, ,

, 2

4 ,

φ ω ω

ω

φ ω ρ

ω φ

ω

∑

∑

∑

∑

∞

∞

∞

∞

−

=

−

∇

module de Young complexe avec un facteur de perte et

η

( ^η )

ω

ω

_mn²

=

_mn²

1 + j ^D ∇

⁴

φ

_mn

( ^{x , y} ) = ω

_mn²

( ¹ + ^j η ) ρ ^h φ

_mn

( ^{x , y} )

( ) [ ( ) ] ^{( )}

( ^{x y} ) ^{j a} ( ) ^Z ( ) ( ^{x y} )

F

y x j

a h

pq lkpq

q p

kl k

l

mn mn

n m

mn

, ,

, 1

, ,

2 2

,

φ ω ω

ω

φ ω

η ω

ω ρ

∑

∑

∑

∞

∞

∞

−

=

−

+

Réponse vibratoire couplée de la plaque

En réalisant l’opération

orthogonalité des déplacements modaux

( ^{x y} ){ } ^{dx dy}

s rs

Eq

∫∫ ^{φ ,}

( ) [ ( ) ] ^{( ) ( )}

mnrs

^{( )}

rs

n m

mn rs

rs mn

rs

a j F x y j a Z N

N

h ω ω η ω ω ω ω

ρ ^{+ − = −} ∑

^∞

, 2

2

1 ,

avec la force modale généralisée appliquée au mode (r,s)

( ^{x y} ) ( ^{x y} ) ^{dx dy}

F j

F

_rs

rs

^{= −} ω ∫∫

S

, φ ,

( )

rs rs n

m

mn

mnrs

N

a F

A =

∑

^∞

^ω

,

[ ^{ω ω ηω} ] ^{δ δ ω ( ) ω}

ρ

_{rs rs mr ns mnrs}

mnrs

h j j Z

A =

²

−

²

+

²

+

Réponse vibratoire couplée de la plaque

L’expression

Peut se mettre sous forme matricielle en utilisant une base modale tronquée

indices i modes (r,s)

indices j modes (m,n) [ ] ^A

_ij

  ^a

_j

⁼   ^f

_i

f a

A =

⇒

⇒

( ) ^ω

mn

j

a

a =

rs rs

i

N

f = F

rsmn

ij

A

A =

( )

rs rs n

m

mn

mnrs

N

a F

A =

∑

^∞

^ω

,

[ ^{ω ω ηω} ] ^{δ δ ω ( ) ω}

ρ

_{rs rs mr ns mnrs}

mnrs

h j j Z

A =

²

−

²

+

²

+

éléments diagonaux

Réponse vibratoire couplée de la plaque

Détermination des coefficients en inversant la matrice associée à la base modale tronquée

( ) ω a

mn

f A

a = ^{− 1}

( ^{x y} ) ^a ( ) ( ^{x y} )

w

_mn

N

n m

mn

,

,

,

φ

∑ ω

=

( ) ( ^{x y} )

A N

y F x

w

_mn

N

n

m mn mnmn

mn

,

,

,

∑ φ

=

Pour les fluides légers (air), les termes non diagonaux

peuvent être négligés

VIBROACOUSTIQUE DES STRUCTURES PLANES

3 - ANALYSE ET REPRESENTATION DANS LE CAS D'UNE PLAQUE INFINIE

4 - RAYONNEMENT D'UNE PLAQUE RECTANGULAIRE 5 - PUISSANCE ACOUSTIQUE RAYONNEE

PUISSANCE ACOUSTIQUE RAYONNEE

La puissance acoustique

facteur de rayonnement

Essentiellement deux approches :

calculer la pression pariétale en utilisant l’impédance modale de rayonnement (méthode du champ proche)

calculer la pression par l’intégrale de Rayleigh en champ lointain

{ } ^{p u dS { } Z w dS}

dS

S

r S

n S

∫

∫

∫ ^{⋅ = =}

=

Π

^{∗ 2}

2

2 Re 2 Re

ˆ 1 ω

n I

{ }

∫

= ∫

S

S r

dS w

dS w

c Z

2

2

Re ρ

0

σ

∫

= Π

S

dS c ² w²

0

2

ω

σ ρ

Puissance rayonnée par une plaque finie méthode du champ lointain

Intensité radiale sur un hémisphère de rayon infini

conduit à la puissance acoustique rayonnée

Inconvénient: calcul long avec les expressions analytiques de

Autres solutions : calcul purement numérique en réalisant la transformée de Fourier du champ vibratoire (Williams)

( ) ( )

c R R p

I

_r

0

2

2 , , ,

,

ρ

ϕ φ θ

θ

≈

( )

⁼

_{∫ ∫} ( )

Π ²

0 2 2

2 0 4

0 , sin

8

π

π

θ θ φ

π ω

ω ρ

W k k d d

c ^{x y}

φ θ

cos

0 sin

k

k

_x = k_y = k0 ^{sinθ sinφ}

( ) ^{( )}

mn

(

x y

)

n m

mn y

x

k a k k

k

W , ,

,

Φ

= ∑

^∞

^ω

Puissance rayonnée par une plaque finie méthode du champ proche

Milieu 2

Relation d’orthogonalité

( ) ( )

{ }

∫∫

^∗

=

Π

s

Re p x , y , 0 u

z

x , y , 0 dxdy 2

1

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

{ ^{a Z a} } ^{( x y ) ( x y ) dx dy}

dy dx y

x a

y x Z

a

s pq rs s

r

rs mnpq

mn q

p n m

s p q r s

rs rs

pq mnpq

mn n

m

, ,

2 Re

, ,

2 Re

, , ,

2

, ,

, 2

φ φ

ω ω

ω ω

φ ω φ

ω ω ω

∑ ∫∫

∑

∑

∫∫ ∑ ∑ ∑

∞

∗

∞

∞

∞ ∞

∗

∞

=







=  Π

( ) ( ^{r , s = p , q} ) ^⇒ ∫∫

_s

^φ

^pq2

( ^{x , y} ) ^{dxdy = N}

^pq

( ) ( ) ( )

{ }

_pq

q p

pq mnpq

mn n

m

N a

Z

∑ a

∑

^{∞ ∞ ∗}

= Π

, ,

2

2 Re ω ω ω

ω