Quatrieme – Cercle circonscrit à un triangle rectangle – Page
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Chapitre XXI : Triangle rectangle et cercle circonscrit
a. 4ème : [Pas dans le socle commun] savoir utiliser les propriétés du demi-cercle circonscrit à un triangle rectangle.
b. 4ème : [Pas dans le socle commun] savoir utiliser les propriétés du cercle et de l’angle droit.
Exercice n°1 - Cercle circonscrit d'un triangle rectangle (Sésamath) - Conjecture avec TracenPoche
a. Connecte-toi et lance le logiciel TracenPoche.
b. Construis un triangle DEF.
c. Complète : « Le cercle circonscrit à un triangle est le cercle qui passe par ……….. » d. Complète : « Le centre du cercle circonscrit est à
l’intersection des ………. » e. Construis le cercle circonscrit au triangle DEF en utilisant
les boutons et .
f. À l'aide du bouton , fais apparaître la mesure de l'angle\s\up4(a.
g. En déplaçant le point de ton choix, fais varier la mesure de l'angle \s\up4(a. Observe la position du centre du cercle circonscrit quand l'angle est aigu, quand il est obtus et quand il est droit. Que constates─tu ?
a. Quand l’angle est aigu, le centre du cercle circonscrit
est………
b. Quand l’angle est obtus, le centre du cercle circonscrit est
………
c. Quand l’angle est droit, le centre du cercle circonscrit
est………
h. Enonce la propriété n°1 qui semble être vérifiée :
« Si un triangle est rectangle, le centre de son cercle circonscrit est
………..»
Exercice n°2 ─ T riangle inscrit dans un cercle ( S ésamath) - Conjecture avec T
racenPoche
1. Construis un segment [AB] puis place son milieu I. Place un point libre C et trace les segments [CA]
et [CB] en pointillés.
Dans la fenêtre Analyse, fais afficher AI, BI et CI.
2. Déplace le point C de manière à t'approcher de l'égalité AI = BI = CI.
Avec le bouton , fais afficher alors la mesure de l'angle\s\up4(a. Que constates─tu ?
……….
3. Construis le cercle de centre I passant par A puis place un point D sur ce cercle en utilisant le bouton . Dans la fenêtre Analyse, fais apparaître la mesure de l'angle\s\up4(a. Déplace le point D sur le cercle et observe la mesure de l'angle.
Ce que tu as constaté au b. semble─t─il se confirmer ?
...
4. Enonce la propriété n°2 qui semble être vérifiée :
« Si un triangle est inscrit dans un cercle de centre le milieu de son côté le plus long, alors
………..»
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A copier, à compléter et à recopier dans le cahier de cours :
Chapitre XXI : Triangle rectangle et cercle circonscrit
I) Si un triangle est rectangle…
Propriété n°1
Si un triangle est rectangle, alors le centre de son cercle circonscrit ………...
………
Exemple n°1 : « ERT est un triangle rectangle en E. I est le milieu de [RT], J celui de [RE], K
celui de [ET]. Où est situé le centre du cercle circonscrit à ce triangle ? Justifier. »
Réponse : Il est écrit dans l’énoncé que ERT est un triangle rectangle en E. Donc son hypoténuse est
……… De plus, il est aussi écrit dans l’énoncé que le milieu de ………. s’appelle……
Or : Si un triangle est rectangle, alors le centre de son cercle circonscrit ………
………
Donc : …est le centre du cercle circonscrit au triangle ERT.
Montrez votre travail au professeur avant de passer aux exercices suivants.
Fin du Cours n°1
Apprentissage du cours
Copier les savoirs, de mémoire, 6 fois, sur une feuille de brouillon, en « accordéon ».
COLLER LES ACCORDEONS DANS LE CAHIER D’EXERCICE
Recopier le cours dans le cahier de cours A LA MAISON
Interrogation : Lien
S.
S.F.
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Contrôle du savoir faire
Refaites les exemples du savoir faire ci-dessous, sans regarder le cahier de cours, puis contrôlez que vous avez juste.
Exemple n°1 : « ERT est un triangle rectangle en E. I est le milieu de [RT], J celui de [RE], K
celui de [ET]. Où est situé le centre du cercle circonscrit à ce triangle ? Justifier. »
Réponse : Il est écrit dans l’énoncé que ………
en E. Donc son hypoténuse est ……… De plus, il est aussi écrit dans l’énoncé que le milieu de ……….
s’appelle……
Or : Si un triangle est rectangle, alors le centre de son cercle circonscrit ………
………
Donc : …est le centre du cercle circonscrit au triangle ERT.
Exercice n°3 (à montrer obligatoirement au professeur)
WNI est un triangle rectangle en I.Y est le milieu de [WN], Z est le milieu de [WI]. De plus, WN= 4
cm. Où est le centre de son cercle circonscrit ? Justifier.
Exercice n°4
XMT est un triangle rectangle en T.P est le milieu de [XT], O est le milieu de [XM]. De plus, XM=
S.F.
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Cours n°2
A copier, à compléter et à recopier dans le cahier de cours :
II) Si un triangle est inscrit…
Propriété n°2
Si un triangle est inscrit dans un cercle de diamètre ………., alors ce triangle est ………...………
Exemple n°2: « ERT est un triangle. I est le milieu de [RT], J celui de [RE], K celui de [ET]. Le cercle de centre I et de diamètre [RT] passe par E.Quelle est la nature de ce triangle ? Justifier. »
Réponse : Il est écrit dans l’énoncé que le cercle ………. I passe par les trois points du triangle ERT. De plus, l’un des côtés de ce triangle est un ……… de ce cercle.
Or : Si un triangle est inscrit dans un cercle de diamètre ………., alors ce triangle est ………...………
Donc : ERT est un triangle rectangle en ….
Montrez votre travail au professeur avant de passer aux exercices suivants.
Fin du Cours n°2
Apprentissage du cours
Copier les savoirs, de mémoire, 6 fois, sur une feuille de brouillon, en « accordéon ».
COLLER LES ACCORDEONS DANS LE CAHIER D’EXERCICES
Recopier le cours dans le cahier de cours A LA MAISON
Interrogation : Lien
S.
S.F.
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Contrôle du savoir faire
Refaites les exemples du savoir faire ci-dessous, sans regarder le cours, puis contrôlez que vous avez juste.
Exemple n°2: « ERT est un triangle. I est le milieu de [RT], J celui de [RE], K celui de [ET]. Le cercle de centre I et de diamètre [RT] passe par E.Quelle est la nature de ce triangle ? Justifier. »
Réponse : Il est écrit dans l’énoncé que le cercle ……… I passe par les trois points du triangle ERT. De plus, l’un des côtés de ce triangle est un ……… de ce cercle.
Or : Si un triangle est inscrit dans un cercle de diamètre ………., alors ce triangle est ………...………
Donc : ERT est un triangle rectangle en ….
Exercice n°5
Un triangle ABC est un triangle rectangle en B. Le milieu de [AB] est I, le milieu de [BC] est J, et le milieu de [AC] est K. Quel point est le centre du cercle circonscrit à ce triangle ? Justifier.
Exercice n°6
NIL est un triangle. Le cercle de diamètre [NI] passe par L. Quelle est la nature de ce triangle ? Justifier.
Exercice n°7
BAQ est un triangle. Le cercle de diamètre [BA] passe par Q. Quelle est la nature de ce triangle ? Justifier.
Exercice n°8
CMX est un triangle rectangle en X. K est le milieu de [CX], D est le milieu de [MX] et U est le milieu de [CM]. De plus, CX=6 cm, et CM= 9 cm. Combien mesure XU? Justifier.
Exercice n°9
Un triangle ABC rectangle en C est tel que AB8cm.
1. Quel est le rayon de son cercle circonscrit ? Justifier.
2. En déduire la longueur de la médiane issue de C (rappel : la médiane issue de C est la droite qui passe par C et le milieu du côté opposé à C. C’est aussi le segment qui joint ces deux points).
Exercice n°10
JML est un triangle rectangle tel que JM 3, JL5 et LM 4. 1. De quelle médiane peut-on donner la longueur (sans mesurer) ? 2. Quelle est cette longueur ? Justifier.
Exercice n°11
Un triangle ABC rectangle en A, est tel que AC=7,5 cm, AB=4,5 cm. I est le milieu de [BC]. Calculer IA.
Exercice n°12
Parmi les triangles suivants, lesquels sont rectangles ? Justifiez vos réponses.
Figure 1 figure 2 figure 3 figure 4
Exercice n°13
ABC est un triangle quelconque tel que AC est le côté le plus long.
C
1 etC
2 sont deux cercles de diamètres respectifs [AB] et [BC]. Ils se recoupent en E. Démontrez que (EB) est la hauteur issue de8
4 43 21,4 5782
2891
2
S.F.
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Exercice n°14
1. Construire un segment [AB] de 6 cm de long.
2. Construire une dizaine de points C1, C2, etc. tels que ABC1, ABC2, etc. soient des triangles respectivement rectangle en C1, C2, etc.
3. Que peut-on dire des points C1, C2, C3, etc. ? Pourquoi est-ce le cas ?
Exercice n°15
ABC est un triangle rectangle en A. I est le milieu de [BC]. Démontrez que BIA est un triangle isocèle.
Exercice n°16
EGH est un triangle rectangle en H. Z est le symétrique de H par rapport à [EG].
1. Démontrez que Z, G, H et E sont sur un même cercle.
2. A quelle condition supplémentaire sur le triangle EGH le quadrilatère ZGHE devient-il un carré ? Démontrez-le.
4ème : [Abordable en 5 ème ] savoir développer et factoriser en utilisant la formule de distributivité dans les deux sens (pour la factorisation, le facteur commun doit être du type a, ax ou x2)[cité ds le prgm de 5ème, non cité ds celui de 4ème].
Exercice n°17 [2,5 pts] (Entrainement au brevet)
1. Factoriser A=49x²+ 35x
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2. Développer B= – 2x(6 – 7x).
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4ème : savoir développer et réduire une expression littérale de la forme (a+b)(c+d) Exercice n°18 [2 pts] (Entrainement au brevet)
Développer et réduire l’expression E= ( 8 – 5x ) ( 5 – 7x ).
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4ème : savoir calculer la moyenne (éventuellement pondérée) d’une série de données.
Exercice n°19 [1 pt] (Entrainement au brevet)
Voici un tableau rassemblant les tailles des enfants d’une classe de primaire :
Taille 1,07 1,13 1,23 1,32
Nombre d’élèves 5 8 6 3
Calculer la taille moyenne dans cette classe (On donnera le résultat exact puis on arrondira le résultat au centième près) :
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4ème : [Pas dans le socle commun] savoir utiliser les propriétés du demi─cercle circonscrit à un triangle rectangle.
4ème : [Pas dans le socle commun] savoir utiliser les propriétés du cercle et de l’angle droit.
Exercice n°20 [3 pts] (Entrainement au brevet)
Exercice (1,5 pt)
WZY est un triangle. Le cercle de diamètre [WZ] passe par Y. Quelle est la nature de ce triangle ?
Justifier.
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Exercice (1,5 pt)
LDB est un triangle rectangle en B.O est le milieu de [LD].Q est le milieu de [DB].K est le milieu de
[LB]. Où est situé le centre de son cercle circonscrit ? Justifier.
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Exercice n°21 [1,5 pt] (Entrainement au brevet)
C1 et C2 sont deux cercles de diamètres respectifs [AB] et [BC]. Ils se recoupent en E. Démontrez que (EB) est la hauteur issue de B du triangle ABC.
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Résultats
Ex.3 : prop.1 (démonstration à rédiger !) Ex.4 : 2,5 (démonstration à rédiger !)Ex.5 : K (démonstration à rédiger !)Ex.6 : rectangle en L. (démonstration à rédiger !)Ex.7 : rectangle en Q. (démonstration à rédiger !) Ex.8 : 4,5 (démonstration à rédiger !)Ex.9 : 1. 4 2. 4 (démonstration à rédiger !)Ex.10 : 1. la médiane issue de M.
2. 2,5 (démonstration à rédiger !)Ex.11 : BC=6, IA=3 (démonstration à rédiger !)Ex.12 :fig.1, fig.3, fig.4 (démonstrations à rédiger !)Ex.13 : BEC est un triangle rectangle (démonstration à rédiger !) donc…Ex.14 : inscrits dans un cercle de diamètre….(démonstration à rédiger !) Ex.15 : IA= …. et IB=…..(démonstration à rédiger !) Ex.16 : 1. Deux triangles sur inscrit dans des cercles de même diamètre… 2. Triangle isocèle…
Ex.17 : 1. 7x(7x+5) 2. ─12x+14x2 Ex.18 : 40 ─ 81x + 35x2 Ex.19 : 1,17 Ex.20 : Rect. ; O Ex.21 : AEB rect. en E, ECB rect. en E…
