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Chapitre XXI : Triangle rectangle et cercle circonscrit

a. 4^ème : [Pas dans le socle commun] savoir utiliser les propriétés du demi-cercle circonscrit à un triangle rectangle.

b. 4^ème : [Pas dans le socle commun] savoir utiliser les propriétés du cercle et de l’angle droit.

Exercice n°1 - Cercle circonscrit d'un triangle rectangle (Sésamath) - Conjecture avec TracenPoche

a. Connecte-toi et lance le logiciel TracenPoche.

b. Construis un triangle

DEF

.

c. Complète : « Le cercle circonscrit à un triangle est le cercle qui passe par ……….. » d. Complète : « Le centre du cercle circonscrit est à

l’intersection des ………. » e. Construis le cercle circonscrit au triangle

DEF

en utilisant

les boutons et .

f. À l'aide du bouton , fais apparaître la mesure de l'angle

a DEF

.

g. En déplaçant le point de ton choix, fais varier la mesure de l'angle

a DEF

. Observe la position du centre du cercle circonscrit quand l'angle est aigu, quand il est obtus et quand il est droit. Que constates─tu ?

a. Quand l’angle est aigu, le centre du cercle circonscrit

est………

b. Quand l’angle est obtus, le centre du cercle circonscrit est

………

c. Quand l’angle est droit, le centre du cercle circonscrit

est………

h. Enonce la propriété n°1 qui semble être vérifiée :

« Si un triangle est rectangle, le centre de son cercle circonscrit est

………..»

Exercice n°2 ─ Triangle inscrit dans un cercle (Sésamath) - Conjecture avec TracenPoche

1. Construis un segment

[AB]

puis place son milieu

I

. Place un point libre

C

et trace les segments

[CA]

et

[CB]

en pointillés.

Dans la fenêtre

A

nalyse, fais afficher

AI

,

BI

et

CI

.

2. Déplace le point

C

de manière à t'approcher de l'égalité

AI

=

BI

=

CI

.

Avec le bouton , fais afficher alors la mesure de l'angle

a ACB

. Que constates─tu ?

……….

3. Construis le cercle de centre

I

passant par

A

puis place un point

D

sur ce cercle en utilisant le bouton

. Dans la fenêtre

A

nalyse, fais apparaître la mesure de l'angle

a ADB

. Déplace le point

D

sur le cercle et observe la mesure de l'angle.

Ce que tu as constaté au b. semble─t─il se confirmer ?

...

(2)

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Cours n°1

♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥

A

copier

, à

compléter

et à

recopier

dans le

cahier de cours

:

Chapitre XXI : Triangle rectangle et cercle circonscrit

I) Si un triangle est rectangle…

Propriété n°1

Si un triangle est rectangle, alors le centre de son cercle circonscrit ………...

………

Exemple n°1 :

« ERT

est un triangle rectangle en

E

.

I

est le milieu de

[RT]

,

J

celui de

[RE]

,

K

celui de

[ET]. Où est situé le centre du cercle circonscrit à ce triangle ? Justifier. »

Réponse : Il est écrit dans l’énoncé que

ERT

E

. Donc son hypoténuse est

……… De plus, il est aussi écrit dans l’énoncé que le milieu de ………. s’appelle……

Or : Si un triangle est rectangle, alors le centre de son cercle circonscrit ………

………

Donc : …est le centre du cercle circonscrit au triangle

ERT

.

Montrez votre travail au professeur avant de passer aux exercices suivants.

♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥Fin du Cours n°1♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥

Apprentissage du cours

Copier les savoirs, de mémoire, 6 fois, sur une feuille de brouillon, en « accordéon ».

COLLER LES ACCORDEONS DANS LE CAHIER D’EXERCICE

Recopier le cours dans le cahier de cours A LA MAISON

Interrogation : Lien

S.

S.F.

est au milieu de l’hypoténuse

[RT] [RT] I

est au milieu de l’hypoténuse I

A FAIRE :

• Recopier le cours sur le polycopié.

• Accordéons.

• S.F.

• Recopie du cours dans le cahier de cours (à la maison !)

• Ex.3 et 4.

(3)

Refaites les exemples du savoir faire ci-dessous, sans regarder le cahier de cours, puis contrôlez que vous avez juste.

Exemple n°1 :

« ERT

E

.

I

est le milieu de

[RT]

,

J

celui de

[RE]

,

K

celui de

[ET]. Où est situé le centre du cercle circonscrit à ce triangle ? Justifier. »

Réponse : Il est écrit dans l’énoncé que

………

en

E

. Donc son hypoténuse est ……… De plus, il est aussi écrit dans l’énoncé que le milieu de ……….

s’appelle……

Or : Si un triangle est rectangle, alors le centre de son cercle circonscrit ………

………

Donc : …est le centre du cercle circonscrit au triangle

ERT

.

Exercice n°3 (à montrer obligatoirement au professeur)

WNI

est un triangle rectangle en

I

.

Y

est le milieu de

[WN]

,

Z

est le milieu de

[WI]

. De plus,

WN= 4

cm. Où est le centre de son cercle circonscrit ? Justifier.

S.F.

(4)

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Cours n°2

♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥

A

copier

, à

compléter

et à

recopier

dans le

cahier de cours

:

II) Si un triangle est inscrit…

Propriété n°2

Si un triangle est inscrit dans un cercle de diamètre ………., alors ce triangle est ………...………

Exemple n°2:

« ERT

est un triangle.

I

est le milieu de

[RT]

,

J

celui de

[RE]

,

K

celui de

[ET]. Le cercle de centre I

et de diamètre

[RT]

passe par

E.Quelle est la nature de ce triangle ? Justifier. »

Réponse : Il est écrit dans l’énoncé que le cercle ……….

I

passe par les trois points du triangle

ERT

. De plus, l’un des côtés de ce triangle est un ……… de ce cercle.

Or : Si un triangle est inscrit dans un cercle de diamètre ………., alors ce triangle est ………...………

Donc :

ERT

est un triangle rectangle en ….

Montrez votre travail au professeur avant de passer aux exercices suivants.

♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥Fin du Cours n°2♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥

Apprentissage du cours

Copier les savoirs, de mémoire, 6 fois, sur une feuille de brouillon, en « accordéon ».

COLLER LES ACCORDEONS DANS LE CAHIER D’EXERCICES

Recopier le cours dans le cahier de cours A LA MAISON

Interrogation : Lien

S.

S.F.

son plus long côté rectangle

de centre

diamètre son plus long côté rectangle

E

A FAIRE :

• Recopier le cours sur le polycopié.

• Accordéons.

• S.F.

• Recopie du cours dans le cahier de cours (à la maison !)

• Ex.5,6 et 7.

(5)

Refaites les exemples du savoir faire ci-dessous, sans regarder le cours, puis contrôlez que vous avez juste.

Exemple n°2:

« ERT

est un triangle.

I

est le milieu de

[RT]

,

J

celui de

[RE]

,

K

celui de

[ET]. Le cercle de centre I

et de diamètre

[RT]

passe par

E.Quelle est la nature de ce triangle ? Justifier. »

Réponse : Il est écrit dans l’énoncé que le cercle ………

I

passe par les trois points du triangle

ERT

. De plus, l’un des côtés de ce triangle est un ……… de ce cercle.

Or : Si un triangle est inscrit dans un cercle de diamètre ………., alors ce triangle est ………...………

Donc :

ERT

est un triangle rectangle en ….

Exercice n°5

Un triangle

ABC

B

. Le milieu de

[AB]

est

I

, le milieu de

[BC]

est

J

, et le milieu de

[AC]

est

K

. Quel point est le centre du cercle circonscrit à ce triangle ? Justifier.

Exercice n°6

NIL

est un triangle. Le cercle de diamètre

[NI]

passe par

L

. Quelle est la nature de ce triangle ? Justifier.

Exercice n°7

BAQ

[BA]

passe par

Q

. Quelle est la nature de ce triangle ? Justifier.

Exercice n°8

CMX

X

.

K

est le milieu de

[CX]

,

D

est le milieu de

[MX]

et

U

est le milieu de

[CM]

. De plus,

CX=6

cm, et

CM= 9

cm. Combien mesure

XU

? Justifier.

Exercice n°9

Un triangle

ABC

rectangle en

C

est tel que

AB = 8

cm.

1. Quel est le rayon de son cercle circonscrit ? Justifier.

2. En déduire la longueur de la médiane issue de

C

(rappel : la médiane issue de

C

est la droite qui passe par

C

et le milieu du côté opposé à

C

. C’est aussi le segment qui joint ces deux points).

Exercice n°10

JML

est un triangle rectangle tel que

JM = 3

,

JL = 5

et

LM = 4

. 1. De quelle médiane peut-on donner la longueur (sans mesurer) ? 2. Quelle est cette longueur ? Justifier.

Exercice n°11

Un triangle

ABC

rectangle en

A

, est tel que

AC=7,5 cm

,

AB=4,5 cm

.

I

est le milieu de

[BC]

. Calculer

IA

.

Exercice n°12

Parmi les triangles suivants, lesquels sont rectangles ?

J

ustifiez vos réponses.

Figure

1

figure

2

figure

3

figure

4 Exercice n°13

ABC

est un triangle quelconque tel que

AC

est le côté le plus long.

C

^et

C

sont deux cercles de

8

4

43

4 ,

21

5782

2891

π

2 π

S.F.

(6)

1. Construire un segment

[AB]

de

6

cm de long.

2. Construire une dizaine de points

C

1,

C

2, etc. tels que

ABC

1,

ABC

2, etc. soient des triangles respectivement rectangle en

C

1,

C

2, etc.

3. Que peut-on dire des points

C

1,

C

2,

C

3, etc. ? Pourquoi est-ce le cas ?

Exercice n°15

ABC

A

.

I

est le milieu de

[BC]

. Démontrez que

BIA

est un triangle isocèle.

Exercice n°16

EGH

H

.

Z

est le symétrique de

H

par rapport à

[EG]

.

1.

Démontrez que

Z, G, H

et

E

sont sur un même cercle.

2.

A quelle condition supplémentaire sur le triangle

EGH

le quadrilatère

ZGHE

devient-il un carré ? Démontrez-le.

4

^ème :

[A

bordable en

5

^ème

]

savoir développer et factoriser en utilisant la formule de distributivité dans les deux sens

(

pour la factorisation, le facteur commun doit être du type a, ax ou

x

²

) [

cité ds le prgm de

5

^ème, non cité ds celui de

4

^ème

]

.

Exercice n°17 [2,5 pts] (Entrainement au brevet)

1. Factoriser

A= 49x

²+

35x

...

2. Développer

B= – 2x(6 – 7x)

.

...

4

^ème : savoir développer et réduire une expression littérale de la forme

(

a+b

)(

c+d

) Exercice n°18 [2 pts] (Entrainement au brevet)

Développer et réduire l’expression

E= ( 8 – 5x ) ( 5 – 7x ).

...

(7)

...

4

^ème : savoir calculer la moyenne

(

éventuellement pondérée

)

d’une série de données.

Exercice n°19 [1 pt] (Entrainement au brevet)

Voici un tableau rassemblant les tailles des enfants d’une classe de primaire :

Taille

1

,

07 1

,

13 1

,

23 1

,

32

Nombre d’élèves

5 8 6 3

Calculer la taille moyenne dans cette classe

(O

n donnera le résultat exact puis on arrondira le résultat au centième près

)

:

...

4

^ème :

[P

as dans le socle commun

]

savoir utiliser les propriétés du demi─cercle circonscrit à un triangle rectangle.

4

^ème :

[P

as dans le socle commun

]

savoir utiliser les propriétés du cercle et de l’angle droit.

Exercice n°20 [3 pts] (Entrainement au brevet)

Exercice

(1

,

5

pt

)

W

ZY

[WZ]

passe par

Y

. Quelle est la nature de ce triangle ?

J

ustifier.

...

Exercice

(1

,

5

pt

)

L

DB

B

.O est le milieu de

[LD]

.Q est le milieu de

[DB]

.K est le milieu de

[LB]

. Où est situé le centre de son cercle circonscrit ?

J

ustifier.

...

(8)

...

Exercice n°21 [1,5 pt] (Entrainement au brevet)

C

1

et

C2

sont deux cercles de diamètres respectifs

[AB]

et

[BC]

. Ils se recoupent en

E

. Démontrez que

(EB)

est la hauteur issue de

B

du triangle

ABC

.

...

(9)

Résultats

Ex.3 : prop.1 (démonstration à rédiger !) Ex.4 : 2,5 (démonstration à rédiger !)Ex.5 : K (démonstration à rédiger !)Ex.6 : rectangle en L. (démonstration à rédiger !)Ex.7 : rectangle en Q. (démonstration à rédiger !) Ex.8 : 4,5 (démonstration à rédiger !)Ex.9 : 1. 4 2. 4 (démonstration à rédiger !)Ex.10 : 1. la médiane issue de M.

2. 2,5 (démonstration à rédiger !)Ex.11 : BC=6, IA=3 (démonstration à rédiger !)Ex.12 :fig.1, fig.3, fig.4 (démonstrations à rédiger !)Ex.13 : BEC est un triangle rectangle (démonstration à rédiger !) donc…Ex.14 : inscrits dans un cercle de diamètre….(démonstration à rédiger !) Ex.15 : IA=1

2 …. et IB=1

2…..(démonstration à rédiger !) Ex.16 : 1. Deux triangles sur inscrit dans des cercles de même diamètre… 2. Triangle isocèle…

Ex.17 : 1. 7x(7x+5) 2. ─12x+14x² Ex.18 : 40 ─ 81x + 35x² Ex.19 : 1,17 Ex.20 : Rect. ; O Ex.21 : AEB rect. en E, ECB rect. en E…