TP 3 – Estimateurs distribués

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Université de Picardie Jules Verne A.U. 2019-2020 Master 2 3EA Surveillance Distribuée de Systèmes Multi-agents

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TP 3 – Estimateurs distribués

Consignes pour le TP:

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Durée: 3h30 à partir de 9h00.

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Envoyez le compte rendu et les programmes Matlab réalisés (nom du fichier:

noms_du_binôme.zip) avant 12h30 à l'adresse e-mail: [email protected] Le but de ce troisième TP est de développer des programmes Matlab/Simulink qui permettent de mettre en œuvre les estimateurs distribués vus dans le cours.

Exercice 1 : Dynamic average consensus estimators (DACE)

1. Écrire un programme Matlab/Simulink qui met en œuvre l'estimateur passe-haut et un programme qui met en œuvre l'estimateur proportionnel-intégral (PI). Considérer le cas général d'un graphe de communication

G avec

n agents et choisir une condition initiale x

0

([x

0^T

, z

0^T

]

^T

pour l'estimateur PI) aléatoire. La durée de la simulation est T

f

= 25 s et le temps d'échantillonnage est T

c

= 0.01 s.

2. Considérer les graphes de communication G = C

8

,

G =

K

8

et les paramètres

γ

= 1, K

P

= 2, K

I

= 1. Afficher sur une figure Matlab la dynamique de l'erreur

e(t) des deux

estimateurs avec des entrées constantes u

1

(t) = 1, u

2

(t) = 2,…, u

8

(t) = 8.

3. Répéter le point précédent avec les entrées suivantes (voir les blocs "Sources" dans la Block Library de Simulink):

a) Signaux carrés avec une période de 5 s, une largeur d'impulsion de 10% et une amplitude i/50, avec i

∈ {1, 2,…, 8}.

b) Sinusoïdes de fréquence 0.5 rad/s et d'amplitude i/100, avec i

∈

{1, 2,

…

, 8}.

4. Étudier l'effet du "forgetting factor"

γ

et des gains K

P

et K

I

sur la performance de l'estimateur PI avec le graphe de communication

G

= C

8

.

5. On suppose maintenant que les entrées constantes de l'estimateur PI sont entachées

d'un bruit additif blanc gaussien à moyenne zéro et variance

σ²

(voir "Random

Number" dans les blocs "Sources" de Simulink). Quel est l'impact de l'intensité du

bruit sur l'évolution temporelle de l'erreur d'estimation

e(t) ? Considérez le graphe G

= C

8

dans vos tests.

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Exercice 2 : Méthode des moindres carrés distribuée

1. Mettre en œuvre sur Matlab la méthode des moindres carrés distribuée. Considérer un graphe de communication

G

pour n capteurs et une variable scalaire

θ

à estimer.

Pour plus de simplicité, on fera aussi l'hypothèse que la matrice d'observation des capteurs soit H

_i

= 1, ∀ i .

a. Tester la méthode avec le graphe G montré en Figure 1 (l'orientation des arêtes e

_j

a été choisie de façon arbitraire), et déterminer la matrice diagonale de pondération W avec la règle de l'inverse du max degré des sommets associés à chaque arête du graphe G.

b. Comparer la solution fournie par la méthode des moindres carrés centralisée avec cella fournie par la méthode distribuée. Quel est l'effet de l'incrément Δ sur la performance de la méthode des moindres carrés distribuée ?

2. Répéter le point précédent, en considérant cette fois-ci une variable vectorielle

θ ∈ !^q

avec q > 1 et des matrices d'observation H

_i

arbitraires (pourvu que la matrice composée H = [H

1T

,…, H

_n^T

]

^T

soit de rang plein ligne).

Rappel : Si des étiquettes ont été associées à chaque arête d‘un graphe dont l‘orientation a été choisie de façon arbitraire (

G^o

), la matrice d‘incidence D(

G^o

) est une matrice n

×

m définie comme suit:

−1 si le sommet v

i

est la queue de l'arête e

j

[D(G

^o

)]

ij

= 1 si le sommet v

i

est la tête de l'arête e

j

0 sinon

où [D(G

^o

)]

ij

dénote l'élément (i, j) de la matrice D(G

^o

), n est le nombre de sommets et m le nombre d‘arêtes de G

^o

.

Figure 1: Graphe de communication orienté G

^o

des six capteurs.

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Exercice 3 : Filtre de Kalman sur un réseau de capteurs

Un ensemble de n capteurs échange des informations sur un réseau de communication sans fils

G

(voir la Figure 2). L'état du système dynamique linéaire à temps discret,

est observé par les n capteurs grâce à l'équation de mesure,

où r

i

est un bruit blanc gaussien à moyenne zéro et avec matrice de covariance R

i

et w dénote le bruit de modèle, un bruit blanc gaussien à moyenne zéro et avec matrice de covariance Q.

Sous l'hypothèse de bruits de mesure statistiquement indépendants, écrire un programme Matlab qui met en œuvre le filtre de Kalman pour estimer l'état x(k) du système dynamique à l'aide d'un centre de fusion qui combine les n mesures brutes des capteurs.

Les matrices constantes {A, B, H

i

, R

i

, Q} ainsi que l'entrée de commande u(k) du système, sont fournies en entrée par l'utilisateur.

Figure 2: Ensemble de n capteurs en réseau. Les capteurs observent l'état

x(k) d'un