TD 1 : Propagation d'incertitude et fusion des mesures

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Université de Picardie Jules Verne A.U. 2018-2019 Master 2 3EA Surveillance Distribuée de Systèmes Multi-agents

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TD 1 : Propagation d'incertitude et fusion des mesures

Exercice I : Loi d'Ohm

On mesure la tension d’une résistance quand celle-ci est traversée par un courant.

Si la tension mesurée V

m

= V ± σ

V

et le courant mesuré I

m

= I ± σ

I

où σ

V

et σ

I

sont les incertitudes (écarts types) sur V

m

et I

m

, respectivement:

1. Evaluer l’incertitude sur le calcul de la résistance R.

2. Quelles sont vos conclusions ?

Figure 1 : Resistance traversée par un courant.

Exercice II : Volume et aire totale d'un cylindre

Sachant que les erreurs relatives sont de 3% sur le rayon r et de 2% sur la hauteur h, calculer les erreurs relatives sur le volume et sur l'aire totale d'un cylindre circulaire droit.

Exercice III : Ajustement de droite

Dans une image on détecte N points de contours de coordonnées (x _i , y _i ), i = 1,2,...,N.

Ces points sont détectés avec une incertitude σ _x et σ _y sur les deux axes principaux.

On souhaite calculer une droite d’équation y = ax + b passant par les N points.

1. Donner l’expression des coefficients a et b.

2. Donner les incertitudes σ _a et σ _b sur les coefficients estimés a et b.

Exercice IV : Chariot à roues

On considère un chariot à deux roues encodeuses (voir la Figure 2). Le chariot avance pas-à-pas. Le chariot est aussi équipé d’un laser qui fournit des distances en mètres.

On souhaite combiner les deux capteurs pour connaître sa position précise. Les mesures

des deux capteurs sont entachées par un bruit blanc gaussien, comme montré dans la Figure 3.

1. Donner une interprétation physique à la Figure 3. Considérez maintenant le cas inverse,

c'est-à-dire: σ odom = 0.1 m et σ laser = 0.01 m: Qu'est-ce que ça change ?

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2. Écrire les équations du filtre de Kalman et donner la signification de chacune des matrices qui entrent en jeu dans la phase de prédiction et dans la phase de correction.

3. Écrire un programme Matlab qui permet de mettre en œuvre les équations du filtre de Kalman pour estimer la position de chariot au fil du temps.

Figure 2 : Chariot à deux roues encodeuses avec laser embarqué, avançant d'un pas.

Figure 3 : (à gauche) incertitude de l'odométrie: σ ^odom = 0.01 m; (à droite) incertitude du capteur laser: σ laser = 0.1 m.

Exercice V : Fusion de mesures : gyroscope et compas magnétique

On considère un plateau rotatif où sont placés un gyroscope et un compas magnétique.

1. En s'appuyant sur le système dynamique vu en cours, écrire les équations du filtre de Kalman pour fusionner les mesures du gyroscope et du compas.

2. Écrire un programme Matlab qui permet de mettre en œuvre les équations du filtre de Kalman et d'estimer la position et la vitesse angulaire du plateau au fil du temps.

Exercice VI : Localisation d'un drone à partir de mesures de distance

La position p ∈ !

³

, la vitesse v ∈ !

³

et l'accélération a ∈ !

³

d'un drone dans un repère fixe, évoluent dans le temps selon le modèle dynamique à temps discret suivant:

où

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+

δ est le pas de discrétisation et I ₃ et 0 ₃ _× ₃ sont la matrice identité 3 × 3 et la matrice nulle 3 × 3, respectivement. En outre, x = [p

^T

, v

^T

, a

^T

]

^T

∈ !

⁹

est le vecteur d'état du système, u ∈

!

³

est l'entrée connue du système (la variation du vecteur accélération du drone) et w ∈ !

³

est le bruit de modèle. On fera l'hypothèse que w soit un bruit blanc gaussien avec matrice de covariance Q ' = σ

w

2 I ₃ . Les mesures z _i (k) disponibles par le drone à l'instant k sont l'ensemble des distances par rapport à n ≥ 3 balises de position connue s _i ∈ !

³

, i = 1, 2,..., n, c'est-à-dire:

où r _i (k) est le bruit de mesure, un bruit blanc gaussien avec variance σ r,i ² (voir la Figure 4).

Écrire un programme Matlab qui permet de mettre en œuvre les équations du filtre de Kalman étendu (EKF) pour estimer l'état courant du drone à partir des mesures de distance des balises. Considérer δ = 0.1 s, σ w = 10 ^– ³ m/s

²

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TD 1 : Propagation d'incertitude et fusion des mesures

Exercice I : Loi d'Ohm

On mesure la tension d’une résistance quand celle-ci est traversée par un courant.

Si la tension mesurée V

= V ± σ

et le courant mesuré I

= I ± σ

où σ

et σ

sont les incertitudes (écarts types) sur V

et I

, respectivement:

1. Evaluer l’incertitude sur le calcul de la résistance R.

2. Quelles sont vos conclusions ?

Figure 1 : Resistance traversée par un courant.

Exercice II : Volume et aire totale d'un cylindre

Sachant que les erreurs relatives sont de 3% sur le rayon r et de 2% sur la hauteur h, calculer les erreurs relatives sur le volume et sur l'aire totale d'un cylindre circulaire droit.

Exercice III : Ajustement de droite

Dans une image on détecte N points de contours de coordonnées (x i , y i ), i = 1,2,...,N.

Ces points sont détectés avec une incertitude σ x et σ y sur les deux axes principaux.

On souhaite calculer une droite d’équation y = ax + b passant par les N points.

1. Donner l’expression des coefficients a et b.

2. Donner les incertitudes σ a et σ b sur les coefficients estimés a et b.

Exercice IV : Chariot à roues

On considère un chariot à deux roues encodeuses (voir la Figure 2). Le chariot avance pas-à-pas. Le chariot est aussi équipé d’un laser qui fournit des distances en mètres.

On souhaite combiner les deux capteurs pour connaître sa position précise. Les mesures

des deux capteurs sont entachées par un bruit blanc gaussien, comme montré dans la Figure 3.

1. Donner une interprétation physique à la Figure 3. Considérez maintenant le cas inverse,

c'est-à-dire: σ odom = 0.1 m et σ laser = 0.01 m: Qu'est-ce que ça change ?

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2. Écrire les équations du filtre de Kalman et donner la signification de chacune des matrices qui entrent en jeu dans la phase de prédiction et dans la phase de correction.

3. Écrire un programme Matlab qui permet de mettre en œuvre les équations du filtre de Kalman pour estimer la position de chariot au fil du temps.

Figure 2 : Chariot à deux roues encodeuses avec laser embarqué, avançant d'un pas.

Figure 3 : (à gauche) incertitude de l'odométrie: σ odom = 0.01 m; (à droite) incertitude du capteur laser: σ laser = 0.1 m.

Exercice V : Fusion de mesures : gyroscope et compas magnétique

On considère un plateau rotatif où sont placés un gyroscope et un compas magnétique.

1. En s'appuyant sur le système dynamique vu en cours, écrire les équations du filtre de Kalman pour fusionner les mesures du gyroscope et du compas.

2. Écrire un programme Matlab qui permet de mettre en œuvre les équations du filtre de Kalman et d'estimer la position et la vitesse angulaire du plateau au fil du temps.

Exercice VI : Localisation d'un drone à partir de mesures de distance

La position p ∈ !

, la vitesse v ∈ !

et l'accélération a ∈ !

d'un drone dans un repère fixe, évoluent dans le temps selon le modèle dynamique à temps discret suivant:

où

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+

δ est le pas de discrétisation et I 3 et 0 3 × 3 sont la matrice identité 3 × 3 et la matrice nulle 3 × 3, respectivement. En outre, x = [p

, v

, a

]

∈ !

est le vecteur d'état du système, u ∈

!

est l'entrée connue du système (la variation du vecteur accélération du drone) et w ∈ !

est le bruit de modèle. On fera l'hypothèse que w soit un bruit blanc gaussien avec matrice de covariance Q ' = σ

2 I 3 . Les mesures z i (k) disponibles par le drone à l'instant k sont l'ensemble des distances par rapport à n ≥ 3 balises de position connue s i ∈ !

, i = 1, 2,..., n, c'est-à-dire:

où r i (k) est le bruit de mesure, un bruit blanc gaussien avec variance σ r,i 2 (voir la Figure 4).

Écrire un programme Matlab qui permet de mettre en œuvre les équations du filtre de Kalman étendu (EKF) pour estimer l'état courant du drone à partir des mesures de distance des balises. Considérer δ = 0.1 s, σ w = 10 – 3 m/s

, σ r,i = 0.05 m pour tout i et distribuer les balises de façon uniforme dans l'espace 3D.

Figure 4 : Localisation d'un drone à partir des mesures de n balises.

Dans une image on détecte N points de contours de coordonnées (x _i , y _i ), i = 1,2,...,N.

Ces points sont détectés avec une incertitude σ _x et σ _y sur les deux axes principaux.

2. Donner les incertitudes σ _a et σ _b sur les coefficients estimés a et b.

Figure 3 : (à gauche) incertitude de l'odométrie: σ ^odom = 0.01 m; (à droite) incertitude du capteur laser: σ laser = 0.1 m.

δ est le pas de discrétisation et I ₃ et 0 ₃ _× ₃ sont la matrice identité 3 × 3 et la matrice nulle 3 × 3, respectivement. En outre, x = [p

2 I ₃ . Les mesures z _i (k) disponibles par le drone à l'instant k sont l'ensemble des distances par rapport à n ≥ 3 balises de position connue s _i ∈ !

où r _i (k) est le bruit de mesure, un bruit blanc gaussien avec variance σ r,i ² (voir la Figure 4).

Écrire un programme Matlab qui permet de mettre en œuvre les équations du filtre de Kalman étendu (EKF) pour estimer l'état courant du drone à partir des mesures de distance des balises. Considérer δ = 0.1 s, σ w = 10 ^– ³ m/s