Devoir Surveillé : noms BA-DO

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Université de Picardie Jules Verne A.U. 2019-2020 Master 2 3EA Surveillance Distribuée de Systèmes Multi-agents

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Devoir Surveillé : noms BA-DO

1 juillet 2020 Consignes pour le contrôle:

• Durée: 2h30 à partir de 9h00. Le barème est donné à titre indicatif

• Uniquement le matériel disponible sur la page web du cours est consultable

• Envoyez votre copie en format numerique (nom du fichier: votre_nom_de_famille.pdf) avant 11h30 à l'adresse e-mail: [email protected]

Exercice 1 : [4 pts]

Soit X = [X, Y, Z]^Tun vecteur aléatoire d'espérance [1, 0, 0]^T et de covariance σ²I3 où I3 dénote la matrice identité 3 × 3 et σ est un paramètre positif. Soit X' le vecteur aléatoire:

où a et b sont deux scalaires. Déterminer les expressions (approchées) de l'espérance et de la covariance de X'.

Un chariot à roues est muni d'un télémetre laser qui lui permet de mesurer sa position x par rapport à un mur (voir la Figure 1 ci-après).

On dispose de deux mesures statiques non corrélées z1 et z2. Les deux mesures sont entachées

d'un bruit blanc gaussien de moyenne zéro et de variance σ12 et σ22, respectivement.

On considère que le meilleur estimé de x obtenu à partir de ces deux mesures est donné par z = z1 + w(z2 − z1) où 0 ≤ w ≤ 1.

1. Appliquer la loi de la propagation d'incertitude pour exprimer la variance σz2 de z en fonction de σ12, σ22 et w.

2. Que doit valoir w pour que σ_z²soit minimale ? Justifiez votre réponse.

Figure 1: Chariot à roues avec laser embarqué.

Le mouvement de rotation d'une girouette peut être modélisé par le système dynamique suivant:

où x1 et x2 represéntent, respectivement, la position et la vitesse angulaire de la girouette et w indique la direction angulaire aléatoire du vent. En considerant une vitesse du vent pour

"

˙ x₁

˙ x₂

#

=

"

0 1

!²_n 2↵ !_n

#"

x₁ x₂

# +

"

0

!_n²

# w

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laquelle α = 0.3 et ω_n = 6.28 rad/s, une densité spectrale angulaire du vent de 1 deg²/s et une période d'échantillonnage de 0.1 s, on trouve le système dynamique à temps discret suivant,

où

La mesure de l'état du système zk est entachées par un bruit blanc gaussien rk,

où

Écrire les équations du filtre de Kalman qui permettent d'éstimer la position et la vitesse angulaire de la girouette dans les deux cas suivants:

1. Les deux mesures sont utilisées (à savoir, H = I2) et R est comme indiqué plus haut.

2. Uniquement les mesures de position sont utilisées (à savoir, H = [1, 0]) et R = 0.1 deg².

La matrice laplacienne du graphe G est,

1. Dessiner G et déterminer sa matrice d'adjacence. Le graphe G est-il régulier ?

2. Calculer la matrice laplacienne normalisée LN = D^–1L où D^–1est l'inverse de la matrice des degrés de G.

3. Écrire l'équation de mis à jour de l'état de l'agent 3 à l'instant t selon le protocol de consensus.

4. A l'instant t = tc la communication entre l'agent 3 et l'agent 5 est interrompue. Écrire l'équation de mis à jour de l'état de l'agent 5 à l'instant tc,selon le protocol de consensus.

Un ensemble de n capteurs échange des informations sur un réseau de communication sans fils G (voir la Figure 2). L'état du système dynamique linéaire à temps discret,

est observé par les n capteurs grâce à l'équation de mesure,

z_k = H x_k + r_k

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où ri est un bruit blanc gaussien à moyenne zéro et avec matrice de covariance Ri et w dénote le

bruit de modèle, un bruit blanc gaussien à moyenne zéro et avec matrice de covariance Q.

1. Sous l'hypothèse de bruits de mesure statistiquement indépendants, écrire les équations du filtre de Kalman qui permettent d'estimer l'état x(k) du système dynamique à l'aide d'un centre de fusion qui combine les n mesures brutes des capteurs.

2. Étudier l'évolutivité (ou scalabilité) du filtre de Kalman pour n → ∞. Quels sont les avantages d'une solution distribuée par rapport à une centralisée, et comment la mettre en œuvre ?

Figure 2: Ensemble de n capteurs en réseau. Les capteurs observent l'état x(k) d'un système dynamique linéaire à temps discret.

Questions à réponse ouverte : [2 pts]

1. Décrire les différences entre une architecture centralisée et une architecture décentralisée pour la fusion multi-capteurs. Motivez votre réponse avec quelques exemples.

2. Recenser les principaux avantages et inconvénients du DACE passe-haut et proportionnel- intégral.