1/21 -
Chap. n°12 : Variables aléatoires continues Partie 1 Objectifs du chapitre :
C12.a - Niv1 - Savoir utiliser une fonction de densité pour calculer des probabilités de variables continues et l'espérance d'une loi à densité.
C12.b - Niv1 - Savoir calculer des probabilités et l'espérance pour une variable aléatoire qui suit une loi uniforme.
C12.c - Niv2 - Savoir calculer des probabilités et l'espérance pour une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle.
Activité d’approche n°1
Contexte :
Une variable aléatoire associe, à un événement, un nombre. Ce nombre était
jusqu'ici un entier (la face d'un dé, par exemple), ou appartenant tout au moins à un ensemble fini de valeurs.
Nous allons étudier ici des variables aléatoires qui associent à un événement, un nombre réel.
a. Dans l'intervalle [0;1] , combien y a-t-il de nombres d'au plus une décimale (i.e.
0;0,1 ;...) ?
...
b. Dans l'intervalle [0;1] , combien y a-t-il de nombres d'au plus deux décimales ? ...
c. Dans l'intervalle [0;1] , combien y a-t-il de nombres d'au plus dix décimales ? ...
d. On s'intéresse à la variable aléatoire qui donne au hasard et de façon
équiprobable un nombre à au plus dix décimales, entre 0 et 1 inclus. Quelle est la probabilité d'obtenir 0,3142536475 ?
...
e. On s'intéresse maintenant à la variable aléatoire qui donne au hasard et de façon équiprobable un nombre réel toujours compris entre 0 et 1. Que vaut P ( X = 1 5 ) ?
...
f. Conjecturer P ( 0 ⩽ X ⩽ 100 1 ) ? P ( 100 1 ⩽ X ⩽ 2
100 ) ? P ( 100 2 ⩽ X ⩽ 3 100 ) ?
P ( 100 3 ⩽ X ⩽ 4
100 ) sur l'intervalle [0;1]?
...
...
...
...
g. Sur le repère suivant, construire le graphique donnant P ( x ⩽ X ⩽ x + 100 1 ) en
fonction de x ( x variant de 0 à 0,99 ).
1/21
h. Quelle fonction f semble dessiner cette répartition ?
...
...…
Cette fonction s'appelle densité de probabilité de la loi suivie par X .
i. Conjecturer P ( 0 ⩽ X ⩽ 1 5 ) ? P ( 0 ⩽ X ⩽ 2 5 ) ? P ( 0 ⩽ X ⩽ 3 5 ) ? P ( 0 ⩽ X ⩽ 4 5 ) ?
P ( 0 ⩽ X ⩽ 5 5 ) ?
...
...
...
...
...…
j. Sur le repère suivant, construire le graphique donnant P ( 0 ⩽ X ⩽ x ) en fonction
de x .
3/21 -
k. Quelle fonction F semble dessiner cette répartition ?
...…
l. Quelle relation semble-t-il y avoir entre f et F ?
...
...
...
...…
m. Interpréter P ( 0 ⩽ X ⩽ x ) sous la forme d'une intégrale.
...…
n. Que peut-on dire de F(1) ?
...
Fin de l’activité d’approche n°1
Cours n°1 : Fonctions de densité
C12.a - Niv1 - Savoir visualiser la position relative de droites et de plans.
Définition n°1 : Fonction de densité
3/21
On appelle fonction de densité de probabilité de la variable aléatoire X sur l'intervalle I toute fonction f définie, continue, et positive sur I telle que ∫
I
f ( t ) dt =...
Remarques
Si I = [a;b] , alors ∫
I
f ( t ) dt = ∫
a b
f ( t ) dt
Si I = [a;+∞] , alors ∫
I
f ( t ) dt = lim
x→+∞
∫
a x
f ( t ) dt
Si I = [–∞ ; b] , alors ∫
I
f ( t ) dt = lim
x→−∞
∫
x b
f ( t ) dt
Propriété n°1 : Probabilité d’une variable aléatoire continue
Si X est une variable aléatoire définie sur I et de densité f , alors, pour tout intervalle
[a;b] de
I , on a : P ( a ⩽ X ⩽ b ) =...
Propriété n°2 : Propriétés d’une probabilité d’une variable aléatoire continue Si X est une variable aléatoire définie sur I et de densité f , alors :
1. P(X ∈ I) = …
2. x ∈ R, P(X = x)= …
3. a ∈ I, b ∈ I, P ( a ⩽ X ⩽ b ) =P ( a< X ⩽ b ) = ... = …...
4. a ∈ I, b ∈ I, P ( a ⩽ X ⩽ b ) = P(X ⩽ ....) – P(X ⩽ ....)
5. a ∈ I, P ( X > a ) =...
Définition n°2 : Espérance d’une variable aléatoire continue
Si X est une variable aléatoire définie sur I et de densité f , alors l'espérance mathématique de X est définie par :
E(X) = ∫
a b
tf ( t ) dt
Exemple n°1
Soit X une variable aléatoire définie sur [0;4] et de densité f(x)= ( 4 x )
3.
5/21 -
...
...
...
...
...
...
...
...
...…
2. Calculer P(0<x<2).
...
...
...
...
...
...
...
...
...…
3. Calculer l'espérance de X .
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
FIN du cours n°1
Premier ‘Se tester’ du cours n°1 :
1 : Débutant - 2 : Sait faire avec de l’aide - 3 : Sait faire.
1 - 2 - 3 - 4 - 5 : Savoir
1 2 3 : C11.d - Niv1 - Savoir étudier la position relative de droites et de plans (orthogonalité).
Savoir au hasard (bonus malus -1 à +1) : Savoir n°1
Donner le résultat de (il peut y avoir des formes indéterminées) : 1. + ∞ × + ∞ = ………...
2. + ∞ × 0 = ………
3. a ∈ ℝ
*+, + ∞ × a = ………...
Fin du savoir n°1
(Se tester du cours n°1 Ex.1 (2 pts)) - Exercice n°1
5/21
Soit X une variable aléatoire définie sur [0;5] et de densité f(x)= ( 5 x )
41 [2] . Vérifier que f est une fonction de densité.
2 [1] . Calculer P(0<x<2,5).
3 [1] . Calculer l'espérance de X .
Indices et résultats
1
er ex : 1. Cours : il faut vérifier que ∫
0 5
f ( x ) dx=1 . 2. 1
32
3. 25 6
Fin Premier ‘Se tester’ du cours n°1
Deuxième ‘Se tester’ du cours n°1 :
1 : Débutant - 2 : Sait faire avec de l’aide - 3 : Sait faire.
1 - 2 - 3 - 4 - 5 : Savoir
1 2 3 : C11.d - Niv1 - Savoir étudier la position relative de droites et de plans (orthogonalité).
Savoir au hasard (bonus malus -1 à +1) : Savoir n°2
Donner le résultat de (il peut y avoir des formes indéterminées) : 1. + ∞ × - ∞ = ………...
2. a ∈ ℝ, 0 × a = ………
3. a ∈ ℝ
*-, + ∞ × a = ………...
Fin du savoir n°2
(Se tester du cours n°1 Ex.1 (2 pts)) - Exercice n°2
Soit X une variable aléatoire définie sur [0;3] et de densité f(x)= ( 3 x )
21 [2] . Vérifier que f est une fonction de densité.
2 [1] . Calculer P(0<x<1,5).
3 [1] . Calculer l'espérance de X .
8/21 -
Indices et résultats
1
er ex : 1. Cours : il faut vérifier que ∫
0 3
f ( x ) dx=1 . 2. 1
8
3. 9 4
Fin Deuxième ‘Se tester’ du cours n°1
Interrogation n°1
Objectif : C12.a - Niv1 - Savoir utiliser une fonction de densité pour calculer des probabilités de variables continues et l'espérance d'une loi à densité.
Exercices du cours n°1 (Cours n°1) - Exercice n°3
Ex.1 p.334 Résultats :
a. P(X=5)=0 . b. P(X⩽ 5)=0,6. c. P(X >5)=0,4. d. P(5<X<10)=0,4 .
(Cours n°1) - Exercice n°4
Ex.2 p.334 Résultats :
a. P(X>4)=0,8 . b. P(X>11)=0. c. P(X<7)=0,5. d. P(4<X<7)=0,3 .
(Cours n°1) - Exercice n°5
Ex.37 p.336 Résultats :
1.a. b. f est continue, positive et ∫
0 1
f ( t ) dt =1 2.a. P(X<0,25)= 5 32
≈0,156
b. P(X> 1 3 )= 7
9 ≈0,778 c. P(0,1<X<0,7)=0,54 d. E(X)= 7
12 ≈0,583.
FIN des exercices du cours n°1 Cours n°2 : Loi uniforme
C12.b - Niv1 - Savoir calculer des probabilités et l'espérance pour une variable aléatoire qui suit une loi uniforme.
Définition n°1 : loi uniforme
On appelle loi uniforme sur [a;b] la loi de probabilité dont la fonction de densité est définie sur R par :
f ( x ) = { ...−... 1 0 sinon . si a ⩽ x ⩽ b .
8/21
Remarque : cette loi modélise le tirage aléatoire équiprobable d'un nombre réel quelconque compris entre a et b .
Propriété n°1 : Probabilités d’une loi uniforme 1/2 Si X est une variable aléatoire de densité la loi uniforme f : 1) Si x<a , alors P(X ⩽ x) = …
2) Si a ⩽ x ⩽ b , alors P(X ⩽ x) = …...
3) si x>b , alors P(X ⩽ x) = …
Démonstration
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Propriété n°2 : Probabilités d’une loi uniforme 2/2 Si X est une variable aléatoire de densité la loi uniforme f : On considère deux réels α et β tels que a ⩽ α ⩽ β ⩽ b . Alors :
P(α ⩽ X ⩽ β) = ... – ... = …...
10/21 -
Exemple n°2
Soit X une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur
[0;4] .
Calculer P(2 ⩽ X ⩽ 3) .
...…
...…
...…
...…
...…
...…
...
Propriété n°3 : Espérance de la loi uniforme
Si X est une variable aléatoire de densité la loi uniforme
f :
L'espérance E(X) = …...
Démonstration
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Exemple n°3
Calculer l'espérance mathématique de X si X suit la loi uniforme sur [0;4] .
...
...
...
...
...
...
...
………..
10/21
0 1 2 3 4 5 x
y
FIN du cours n°2
Premier ‘Se tester’ du cours n°2 :
1 : Débutant - 2 : Sait faire avec de l’aide - 3 : Sait faire.
1 - 2 - 3 - 4 - 5 : Savoir
1 2 3 : C12.b - Niv1 - Savoir calculer des probabilités et l'espérance pour une variable aléatoire qui suit une loi uniforme.
Savoir au hasard (bonus malus -1 à +1) : Savoir n°7
Compléter :
Si A et B sont indépendants, P ( A∩ B ) =……… …… …… ..
Si A et B ne sont pas indépendants, P ( A∩ B ) =……… …… …… . .
Fin du savoir n°7
(Se tester du cours n°2 Ex.1 (2 pts)) - Exercice n°6
Soit X une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur [0;5] . 1 [1] . Calculer P(2 ⩽ X ⩽ 3) .
2 [1] . Calculer l'espérance de X .
12/21 -
Indices et résultats
1
er ex : 1. 1 5 2.
5 2
Fin Premier ‘Se tester’ du cours n°2
Deuxième ‘Se tester’ du cours n°2 :
1 : Débutant - 2 : Sait faire avec de l’aide - 3 : Sait faire.
1 - 2 - 3 - 4 - 5 : Savoir
1 2 3 : C12.b - Niv1 - Savoir calculer des probabilités et l'espérance pour une variable aléatoire qui suit une loi uniforme.
Savoir au hasard (bonus malus -1 à +1) : Savoir n°4
Compléter :
Soit q la raison d'une suite géométrique : a. Si ……….. alors lim
n
→+∞ q
n... .
b. Si ……….. alors lim
n
→+∞ q
n... .
c. Si ……….. alors lim
n
→+∞ q
n... .
d. Si ……….. alors lim
n
→+∞ q
n... .
Fin du savoir n°4
(Se tester du cours n°2 Ex.1 (2 pts)) - Exercice n°7
Soit X une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur [0;6] . 1 [1] . Calculer P(2 ⩽ X ⩽ 3) .
2 [1] . Calculer l'espérance de X .
12/21
Indices et résultats
1
er ex : 1. 1 6 2. 3
Fin Deuxième ‘Se tester’ du cours n°2
Interrogation n°2
Objectif : C12.b - Niv1 - Savoir calculer des probabilités et l'espérance pour une variable aléatoire qui suit une loi uniforme.
Exercices du cours n°2 (Cours n°2) - Exercice n°8
Ex.6 p.334 Résultats :
P(X<0,2)=0,2 et P(X> 3 7 )= 4
7 (Cours n°2) - Exercice n°9
Ex.9 p.334
Résultats (indications) : 1. 1
3 ¿ 2. 12,5 min.
(Cours n°2) - Exercice n°10
Ex.47 p.336 Résultats :
1. P(X<10)= 2
3 2. P(X>0,5)= 29
30 3. 7 min 30 s (Cours n°2) - Exercice n°11
Ex.49 p.337 Résultats :
1. f(x)= 1
8 2.a. P(A)= 3
8 2.b. P(B)= 3
8 2.c. P(C)= 5
8 2.d. P(D)= 19
40 3. k=14 4.
t=16,64 5. E(X)=16.
FIN des exercices du cours n°2 Cours n°3 : Loi exponentielle
C12.c - Niv2 - Savoir calculer des probabilités et l'espérance pour une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle.
Définition n°1
Pour tout réel λ>0 , on dit qu'une variable aléatoire suit la loi exponentielle de paramètre λ si sa fonction de densité est la fonction f définie sur [0;+ ∞[ par f(x)= λe
-λx.
0 1 2 3 4 5 x
y
14/21 -
Propriété n°1
Si X suit la loi exponentielle de paramètre λ alors, pour tous réels a et b tel que 0 ⩽ a
⩽ b :
1) P(a ⩽ X ⩽ b) = …...
2) P(X ⩽ b) = …...
3) P(X ⩾ a) = …...
Démonstration
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
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...
...
...
Exemple n°2
Soit X une variable aléatoire qui suit la loi exponentielle de paramètre 0,3 . Calculer P(2 ⩽ X ⩽ 3) .
...
...
...
...
...
Propriété n°2
Si X suit la loi exponentielle de paramètre λ alors l'espérance E(X) vaut E(X) =
…...
Démonstration (! R.O.C.)
...
...
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...
...
...
...
...
14/21
...
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...
...
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...
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Exemple n°3
Calculer l'espérance mathématique de X si X suit la loi exponentielle de paramètre
0,3 .
...
...
...
...
...
...
...
FIN du cours n°3
Premier ‘Se tester’ du cours n°3 :
1 2 3 : C12.c - Niv2 - Savoir calculer des probabilités et l'espérance pour une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle.
Savoir au hasard (bonus malus -1 à +1) : Savoir n°24
Compléter √ −3 =………..
Fin du savoir n°24
(
Se tester du cours n°3 Ex.1 (2 pts)) - Exercice n°12
Soit X une variable aléatoire qui suit la loi exponentielle de paramètre 0,4.
1 [f:1:r:1] . Calculer P(1 ⩽ X ⩽ 4) .
2 [f:1:r:1] . Calculer l'espérance de X .
17/21 -
Indices et résultats
1
er ex : 1. 5 2 2.
1 5
Fin Premier ‘Se tester’ du cours n°3
Deuxième ‘Se tester’ du cours n°3 :
1 : Débutant - 2 : Sait faire avec de l’aide - 3 : Sait faire.
1 - 2 - 3 - 4 - 5 : Savoir
1 2 3 : C12.c - Niv2 - Savoir calculer des probabilités et l'espérance pour une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle.
Savoir au hasard (bonus malus -1 à +1) : Savoir n°16
Compléter :
lim
x→+∞
e
x= ………… ; lim
x→−∞
e
x= ………...
Fin du savoir n°16
(
Se tester du cours n°3 Ex.1 (2 pts)) - Exercice n°13
Soit X une variable aléatoire qui suit la loi exponentielle de paramètre 0,1.
1 [f:1:r:1] . Calculer P(1 ⩽ X ⩽ 3) . 2 [f:1:r:1] . Calculer l'espérance de X .
17/21
Indices et résultats
1
er ex : 1. 10 2. 1 20
Fin Deuxième ‘Se tester’ du cours n°3
Interrogation n°3
Objectif : C12.c - Niv2 - Savoir calculer des probabilités et l'espérance pour une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle.
Exercices du cours n°3 (Cours n°3) - Exercice n°14
Ex.10 p.334 Résultats :
a. P(0,1 ⩽ T ⩽ 0,2) ≈ 0,086 b. P(T ⩽ 1) ≈ 0,632 c. P(T > 0,5) ≈ 0,607 (Cours n°3) - Exercice n°15
Ex.61 p.337 Résultats :
1. 5 ans 2. P(X<7) ≈ 0,753 ; P(X>7) ≈ 0,247 et P(4<X<7) ≈ 0,203. P
X>4(X<7) ≈0,451 .
(Cours n°3) - Exercice n°16*
Ex.66 p.338 Résultats :
1.a. P(5<T<10)=0 1.b. λ= ln 15
16 2.a. 7h 9 min . 2.b. P(T>5)≈0,497 2.c. P
T>4(T>9)
≈ 0,497.
(Cours n°3) - Exercice n°17*
Sujet A p.349 Résultats :
1. F(4)-F( 1
4 ) avec F(x)= 2
3 . 2.a. P(X<2) = 2
3 ( √ 2 – 1
2 ) ≈ 0,609 2.b. P(X>1) = 2 3
≈ 0,667 3.a. k= 2
3 3.b. 7
4 =1+ 3 4 (Cours n°3) - Exercice n°18**
Sujet E p.350 Résultats :
1.a. A=-1 et B= – 1
λ . 1.b.
1
λ ¿ (-λ be
-λb
