Epreuve 2

L.S.Marsa

Elriadh

Epreuve 2 ^{M : Zribi}

4

Sc

08/09 Révision

Exercice 1 :

Dans chaque question sont proposées plusieurs réponses, chacune de ces réponses pouvant être vraie ou fausse. Il n’y a pas forcément une seule bonne réponse pour chaque question.

Donner pour chaque question les réponses vraies et les réponses fausses.

1. Pour tous nombres complexes z et z’ non nuls, on a : a. 1 z 1. b. Si z  z 1 alors 1

Re( ) z 2. c. Si z  z' alors z = z’ ou z = –z’.

d. zz'  z  z' .

2. On considère les complexes a 1 i et b 1 i 3

a. 2 2 ¹²

i

ab e

 

 .

b. Il existe un entier n non nul tel que aⁿ est un réel.

c. Il existe un entier n non nul tel que aⁿ et bⁿ sont tous deux des entiers.

d. Le point A d’affixe a est l’image du point B d’affixe b par une rotation de centre O.

3. Pour tout réel  de [0 ; 2[ on pose Z( ) 1  e^i. Alors :

a. 2 ³

( ) 3

i

Z e

 _ 

.

b. Pour tout  de [0 ; 2[ , Z( )  Z( ). c. Pour tout  de [0 ; 2[ , Z( )eⁱ²



 est réel.

d. L’ensemble des points M( ) d’affixe Z( ) est un cercle de rayon 1.

L.S.Marsa

Elriadh

Epreuve 2 ^{M : Zribi}

4

Sc

08/09 Révision

Exercice 3:

On dispose de deux urnes :

- une urne U1 dans laquelle se trouvent trois boules blanches et deux boules noires ;

- une urne U₂ dans laquelle il y a deux boules blanches et trois boules noires.

Une épreuve consiste à tirer simultanément et au hasard deux boules de chaque urne : on obtient ainsi quatre boules, les tirages dans chaque urne étant équiprobables.

1. Montrer que la probabilité de l'événement E : « Parmi les quatre boules tirées, il y a exactement deux boules blanches » est égale à 0,46.

2. On note X la variable aléatoire qui, à chaque tirage, associe le nombre de boules blanches obtenues.

a. Déterminer la loi de probabilité de X.

b. Le joueur doit verser 2,50 d avant d'effectuer le tirage : il reçoit à l'issue du tirage 1 d par boule blanche obtenue. Le jeu est-il équitable ?

3. Calculer la probabilité d'avoir tiré une et une seule boule blanche de l'urne U1 sachant qu'on a tiré deux boules blanches.

4. On ne considère que l'urne U₁, de laquelle on tire toujours au hasard et simultanément deux boules. On nomme succès le tirage de deux boules blanches. On renouvelle dix fois la même épreuve (en remettant chaque fois les boules tirées dans l'urne). Déterminer la

probabilité d'avoir au moins un succès sur les dix tirages.

Exercice 4 :

L.S.Marsa

Elriadh

Epreuve 2 ^{M : Zribi}

4

Sc

08/09 Révision

L'objectif est de calculer les intégrales suivantes :

1 1 2 1

2

2 2

0 0 0

I ; J ; K 2 .

2 2

x dx x dx

x x

   

 



 

1. Calcul de I

Soit la fonction f définie sur [0; 1] par f x( )ln(x x²2).

a. Calculer la dérivée de la fonction x x²2.

b. En déduire la dérivée f ´ de f.

c) Calculer la valeur de I.

2. Calcul de J et de K

a. Sans calculer explicitement J et K, vérifier que : J + 2I

= K.

b. À l'aide d'une intégration par parties portant sur l'intégrale K, montrer que :

K 3J.

c. En déduire les valeurs de J et de K.