Mémoire présenté devant l’ENSAE Paris pour l’obtention du diplôme de la filière Actuariat
et l’admission à l’Institut des Actuaires le 15/03/2021
Par :
Manhirath Amoussa
Titre :
Méthodes de conversion d’un montant d’ajustement
pour risque en quantile IFRS 17
Confidentialité : NON OUI (Durée : 1 an 2 ans) Les signataires s’engagent à respecter la confidentialité indiquée ci-dessus
Membres présents du jury de la filière : Entreprise :Milliman
Nom :Alexandre Boumezoued
Wissal SABBAGH Signature :
Membres présents du jury de l’Institut Directeur du mémoire en entreprise : des Actuaires
Nom : Alexandre Boumezoued Signature :
Salma Jamal Signature :
Autorisation de publication et de mise en ligne sur un site de
diffusion de documents actuariels (après expiration de l’éventuel délai de confidentialité)
Signature du responsable entreprise Secrétariat :
Signature du candidat Bibliothèque :
Ecole Nationale de la Statistique et de l’Administration Economique (ENSAE) 5, avenue Henry Le Chatelier - 91120 PALAISEAU, FRANCE
Résumé
Actuellement en cours d’adoption, la norme IFRS 17 entrera en vigueur en janvier 2022. Conçue par l’International Accounting Standard Board (IASB), cette norme doit permettre d’harmoniser les pratiques et de faciliter la comparaison entre les assureurs.
L’ensemble des contrats d’assurance et de réassurance (à court et long terme), ainsi que des contrats d’investissement avec des caractéristiques de participation discrétionnaires seront comptabilisés de façon homogène.
L’un des principaux éléments introduits par cette norme est la notion d’Ajustement pour Risque (RA ) dans l’évaluation du passif des compagnies d’assurance. Il représente le montant que l’entité demanderait en plus du Best Estimate pour être indifférente au risque.
Cependant, la norme ne spécifie aucune méthode permettant de convertir un montant de RA en quantile, celui qui représente le degré d’aversion au risque de l’entité1.
Le principal objectif de ce mémoire est donc de développer des méthodes permettant de convertir un montant de RA en un quantile, à l’aide notamment des articles « Probability of sufficiency of Solvency II reserve risk margins : Practical approximations » de E. Dal Moro, Y. Krvavych publié en 2017 et « Application of skewness to non-life reserving » de Eric Dal Moro publié en 2013.
Ce mémoire rappelle en premier lieu les fondements de la norme internationale IFRS 17 avant de détailler les spécificités du RA. Il est ensuite consacré au détail des techniques permettant d’approximer un quantile IFRS 17. Ces techniques nécessitent l’élaboration des moments élevés de la distribution du risque étudié qui est le risque de réserves. Nous passerons donc en revue dans ce document le calcul de ces moments grâce aux hypothèses fournies par Dal Moro.
Pour appliquer les techniques citées, des triangles de provisionnement seront utilisés.
Il s’agira en premier lieu du triangle utilisé par Merz et Wüthrich dans l’article « Claims run-off uncertainty : the full picture» publié en 2014 et d’un triangle extrait à partir du site de la CAS « Casualty Actuarial Society ».
Au-delà de la conversion d’un montant de RA en quantile, le but de cette étude est également d’évaluer la robustesse de la méthode utilisée qui est l’approximation de Cornish- Fischer.
Il a tout d’abord été vu que la connaissance des moments élevés tels que le skewness et le kurtosis de la distribution des réserves permet aux assureurs d’utiliser des distributions asymétriques dans leur modélisation. Ces moments supérieurs ont permis d’utiliser l’ap- proximation de Cornish-Fischer afin de convertir un montant d’ajustement pour risque en quantile. Il a été remarqué que cette méthode est robuste et réalisable et peut désormais servir d’outils pour les assureurs dans leur obligation de publier un niveau de confiance associé au RA ou également dans leurs missions de calcul du capital réglementaire en Solvabilité II.
Mots-clés:IFRS 17,Ajustement pour risque(RA),Value at Risk,Quantile,Cornish- Fischer,Risque de réserves non-vie.
1. cf. annexe B91 de la norme IFRS 17, paragraphe 37
Currently in the process of being adopted, IFRS 17 will come into effect in January 2022. Developed by the International Accounting Standard Board (IASB), this standard should make it possible to harmonize practices and facilitate comparisons between insurers.
All insurance and reinsurance contracts (short and long-term), as well as investment contracts with discretionary participation features, will be accounted for in a consistent manner.
One of the main elements introduced by this standard is the notion of risk adjustment (RA) in the measurement of the liabilities of insurance companies. Which represents the amount that the entity would require in addition to the Best Estimate in order to be indifferent to the risk. However, the standard does not specify a method for converting an amount of RA into a quantile, the amount that represents the degree of risk aversion of the entity.
The main objective of this thesis is therefore to develop methods to convert a risk adjustment amount into a quantile using, in particular, the articles "Probability of suffi- ciency of Solvency II reserve risk margins: Practical approximations" by E. Dal Moro, Y.
Krvavych published in 2017 and « Application of skewness to non-life reserving » by Eric Dal Moro .
Firstly, this dissertation reminds us of the foundations of the international standard IFRS17 before detailing the specificities of risk adjustment. It next focuses on detailed techniques for approximating a quantile IFRS 17. These techniques require the develop- ment of high moments in the distribution of the risk studied, which is the reserve risk.
We will therefore review in this document the calculation of these moments thanks to the hypotheses provided by Dal Moro.
To apply the techniques mentioned, provisioning triangles will be used. First of all, we will used Merz and Wüthrich data present in the article « Claims run-off uncertainty:
the full picture» published in 2014 and other triangles extracted from the CAS website
«Casualty Actuarial Society ». Beyond the conversion of an amount of RA into quantile, the aim of this study is also to evaluate the robustness of the method used, namely the Cornish-Fischer approximation.
It was first seen that the knowledge of high moments such as skewness and kurtosis of the reserving distribution allows insurers to use asymmetric distributions in their modeling.
These higher moments made it possible to use the Cornish-Fischer approximation to convert a risk adjustment amount into a quantile. It was noticed that this method is robust and feasible and can now be used as a tool for insurers in their obligation to publish a level of confidence associated with the RA or also in their missions of calculating regulatory capital in Solvency II.
Key words: IFRS 17, Risk Adjustment, Value at Risk, Quantile, Cornish-Fischer, non-life reserving risk.
Note de Synthèse
L’IASB (International Accounting Standard Board) a publié en mai 2017 une norme spécifique à l’évaluation des contrats d’assurance : la norme IFRS 17. Cette norme propose des principes d’évaluation économique du passif d’assurance basés sur une présentation et un calcul par blocs. La norme a également dévoilé une nouvelle présentation des états financiers dont la ventilation des postes permet désormais de distinguer les performances économiques de l’activité d’assurance, par causalité et par effet. Les principes donnés par la norme se veulent cohérents avec une volonté d’aboutir à des états financiers transparents et pertinents, bien représentatifs des services d’assurance.
Un élément important d’IFRS 17 est l’application d’un ajustement pour risque non financier.
L’Ajustement pour Risque (Risk Adjustement, abrégé en RA) est dans une certaine mesure comparable à la marge pour risque dans la réglementation Solvabilité II. Il doit ajuster l’esti- mation des flux de trésoreries futurs dans le but de refléter la compensation que l’entité requiert pour supporter l’incertitude résultant des montants et des occurrences de ces flux. Le RA pour risques non financiers peut être mesuré à différents niveaux, et traduit deux points arrimés à la perspective de l’entité :
• Le niveau du bénéfice de diversification,
• Le niveau d’aversion au risque, reflété par les scénarios favorables et défavorables qu’il prend en compte dans l’estimation des flux de trésoreries futurs.
La norme IFRS 17 ne spécifie pas de méthodes d’estimation du RA non financier1. Il sera alors du ressort du jugement d’expert d’en déterminer ou d’en utiliser une qui réponde aux attentes de la norme en respectant les éléments qui peuvent impacter cet ajustement. Il est néanmoins demandé aux entités de communiquer le niveau de confiance associé à l’estimation du RA, même si celles-ci n’ont pas recours à des méthodes d’estimation par quantile dans leurs modèles. Auquel cas, ces entités se doivent de documenter la méthode utilisée pour convertir le RA en un niveau de confiance. Développer des méthodes permettant de communiquer ce niveau de confiance est donc un réel besoin pour les assureurs.
L’objet de ce mémoire est de répondre à ce besoin à travers l’étude des travaux de E. Dal Moro et Y. Krvavych, notamment l’article « Probability of sufficiency of Solvency II reserve risk margins : Practical approximations » publié en 2017. Pour ce mémoire, on étudiera particuliè- rement le risque de réserves non-vie. Historiquement, le risque de réserves est évalué par des méthodes usuelles de provisionnement. Ces méthodes permettent de déterminer le montant à l’ultime du Best Estimate des provisions pour sinistres à payer. Nous nous sommes tournés vers la méthode de Mack qui évalue l’incertitude du montant des réserves. Cependant, le modèle de Mack ne permet de caractériser que l’espérance et la variance de la distribution des réserves.
Afin d’évaluer les moments d’ordres 3 (le skewness), on étudiera les travaux de Dal Moro sur le sujet, au travers de l’article « Application of skewness to non-life reserving » publié en 2013. Du
1. cf. annexe B91 de la norme IFRS 17, paragraphe 37
(le skewness et le kurtosis) sera d’une importance capitale, dans notre objectif de convertir un montant de RA en un niveau de confiance.
Données
Afin de réaliser cette étude, des triangles de provisionnement seront utilisés. Le choix de ces triangles est motivé par leur accessibilité à tous utilisateurs.
• Il s’agit tout d’abord du triangle utilisé par Merz et Wüthrich dans l’article « Claims run-off uncertainty : the full picture » publié en 2014. Ce triangle est dénommé MW2014 et est disponible dans la librairie ChainLadder du logiciel R. Il représente les montants cumulés de paiement de la branche « responsabilité civile automobile privée » (private liability) et comporte 17 années d’accidents et de développements.
Il se présente comme suit :
Figure 1 – Illustration du triangle de MW2014
• Un triangle extrait des données du site de la CAS « Casualty Actuarial Society ».
La CAS est une société professionnelle d’actuaires spécialisés en assurance de biens et responsabilité civile. Sur son site web, des données réelles sont publiées à des fins d’études.
Pour notre étude, la base réelle portant sur la responsabilité civile automobile1 a été choisie. Elle regroupe les paiements cumulés (ou non), des primes (cédées, émises) et des réserves de plusieurs groupes d’assurances. On choisit les données du groupe américain«
Buckeye ».
Il se présente comme suit :
1. La base est disponible à l’adresse suivante : http://www.casact.org/research/index.cfm?fa=loss_
reserves_data
Figure2 – Illustration du triangle du groupe Buckeye
Méthode d’approximation du quantile
Calcul du RA
Comme évoqué précédemment, la norme IFRS 17 ne prescrit pas de méthodes spécifique d’évaluation du RA. Lorsque le RA est calculé par la compagnie à partir d’une méthode ne faisant pas intervenir un niveau de confiance, la norme IFRS 17 demande de communiquer le niveau de confiance qui y est associé.
Plusieurs approches sont utilisées dans la littérature pour calculer le RA, à savoir les méthodes utilisant un quantile et les méthodes non quantiles. Les techniques quantiles d’évaluation du RA se basent sur l’utilisation de mesures de risque tels que : la Value at Risk (VaR), la Tail Value at Risk (TVaR) ou encore la Proportionnal Hazard Transform (PHT). Pour notre étude, on propose une méthode de conversion du RA en niveau de confiance au titre de la Value at Risk. Le RA se calcule par différence entre la VaR de niveau de confiance α fixé et le Best Estimate (BE).
RA=V aRα%−BE
Cependant la connaissance de la VaR requiert la connaissance de la distribution des réserves.
Pour ce faire, la méthode bootstrap est utilisée. Elle fait une hypothèse de loi à partir de la moyenne et de la variance issue du modèle de Mack (1993)1. Une distribution des réserves simulées est ainsi obtenue. Le BE trouvé sur le triangle MW2014 est : BE = 24092.88. Celui calculé pour le triangle issu des données de la CAS est BE = 938.63. Le RA calculé sur les deux triangles étudiés et pour différents niveaux de risque est :
1. « Distribution-free calculation of the standard error of chain ladder reserve estimates »
V ar70% 1687.42 170.37
V ar75% 2266.87 225.37
V ar90% 4743.52 447.37
V ar95% 6343.37 594.42
V ar99.5% 10771.18 988.38
Table1 – Ajustement pour risque pour différents niveaux de risque sur MW2014 et le Triangle- CAS
Approximation de Cornish-Fischer (CF)
Dériver un niveau de confiance du RA sans hypothèse de modélisation implique faire des approximations. Dans le cadre de notre étude, l’approximation de CF sera utilisée. La méthode de CF est une approximation du quantile d’une distribution non normale par un polynôme d’un quantile de loi normale standard et utilisant les moments de la distribution.
Les formules d’approximation de type CF sont dérivées séparément dans deux cas différents : – Soit en utilisant uniquement le coefficient de variation (CoV) et le skewness de la distri-
bution des réserves : CF au second ordre ;
– Soit en utilisant le CoV, le skewness et le kurtosis de la distribution des réserves : CF au troisième ordre.
Pour disposer du skewness et du kurtosis de la distribution des réserves, il faut disposer d’un modèle de Mack étendu c’est-à-dire le modèle de Dal Moro. On récapitule dans le tableau suivant ces hypothèses.
Soit i ∈ {1, ..., I} les années de survenance, et j ∈ {1, ..., I} les années de développement des sinistres. Les paiements cumulés en l’année i+j du sinistre survenu l’année isont notés Cij.
Hypothèses de Mack Hypothèses de Dal Moro E(Ci,j+1|Ci,1, ..., Ci,j) =fj ·Ci,j SK(Ci,j+1 | Ci,1, ..., Ci,j) =Skj3·Ci,j3/2 Var(Ci,j+1|Ci,1, ..., Ci,j) = σj2·Ci,j KT(Ci,j+1 |Ci,1, ..., Ci,j) = kt4j ·Ci,j2
Table 2 – Hypothèse de Mack vs Hypothèse de Dal Moro Avec :
• SK(Ci,j+1 | Ci,1, ..., Ci,j) le skewness de Ci,j+1 sachant l’information disponible à l’année j et,
• KT(Ci,j+1 | Ci,1, ..., Ci,j) le kurtosis de Ci,j+1 sachant l’information disponible.
Le skewness pour toutes les années d’accident retrouvé sur le triangle MW2014 est égale à 0,15. Pour le triangle de la CAS, on retrouve 0,31. Les distributions de réserves générées sur ces triangles sont positivement asymétriques.
On applique donc l’équation de CF au second ordre. Elle s’écrit comme suit : V aRα( ˜R)≈zα+γRzα2 −1
6 Où :
• V aRα( ˜R) = CoVRA
R est le quantile de la variable aléatoire centrée des réserves R˜;
• γR représente le skewness de la distribution des réserves et ;
• zα est le quantile de la loi normale centrée réduite.
La racine de l’équation est : zˆα =−γ3
R +q
9 γR2 +γ6
RV aRα( ˜R) + 1.
Le niveau de confiance associé au RA est trouvé à partir de la fonction inverse du quantile de la loi normale centrée réduite, c’est-à-dire αˆ = φ(ˆzα). On récapitule dans le tableau suivant l’approximation du niveau de confiance du RA faite par CF au second ordre sur les données utilisées.
Lorsque le skewness γR = 0, on se ramène à une approximation Gaussienne à partir de la moyenne et de la variance de Mack. La connaissance du skewness viendra améliorer le niveau de confiance recherché. On illustre cette remarque sur le triangle MW2014.
Mesure de risque α-CF(%) MW2014 α-N(0,1) MW2014 α-CF(%) Triangle CAS
V ar60% 59.13 58.19 59.56
V ar70% 70.53 69.91 69.04
V ar75% 76.22 75.84 74
V ar90% 92.50 92.88 89
V ar95% 97.10 97.51 94
V ar99.5% 99.90 99.96 99.18
Table 3 – Méthode de CF au second ordre
L’approximation faite par CF au second ordre donne pour les deux triangles un niveau de confiance proche de ceux fixés pour calculer le RA. Il est donc consistant. Cette approximation est aussi facile d’utilisation et surtout sans coût.
Le kurtosis total par année d’accident de la distribution des réserves permet aux assureurs d’apprécier l’utilisation de l’approche de CF au troisième ordre. Afin de retrouver ce moment, on se base sur les mêmes étapes de calcul utilisées par Dal Moro, lors de l’établissement du skewness. On obtient ainsi la formule fermée suivante :
KT( ˆCi,j+1) =KT(Ci,j+1|D)+6·V ar(Ci,j+1|D)h
E(Ci,j+1|D)−Cˆi,j+1i2
+
E(Ci,j+1|D)−Cˆi,j+14
être mise en place. Faute de temps, ce modèle ne sera pas implémenter dans cette étude.
L’équation de CF à l’ordre 3 se présente comme suit :
V aRα( ˜R)≈zα+γRzα2 −1
6 +ιRz3α−3zα
24 −γα22z3α−5zα
36 , avec ιR, le kurtosis total par année d’accident.
Pour retrouver le niveau de confiance α, on résout le polynôme d’ordre 3 suivant à l’aide de l’équation de Cardan.
zα+γRzα2 −1
6 +ιRzα3 −3zα
24 −γR22zα3 −5zα 36 =q Elle peut être réécrite sous la forme suivante :
azα3 +bzα2 +czα+d= 0, avec
a= 241ιR− 181γR2 b = 241 γR
c= 1− 18ιR+365 γR2 d=−q− 16γR
Conclusion
Comprendre les enjeux liés à l’ajustement pour risque implique d’accepter d’abord la singularité de cette disposition. L’ajustement pour risque lié à l’information est unique pour chaque entité.
De plus, aucune méthode particulière n’est prescrite dans la norme IFRS 17. La norme demande aux entités de communiquer les méthodes de conversion d’un montant de RA en un quantile IFRS 17. L’actuaire devra être conscient que la quantification du niveau de confiance sera une estimation.
Plusieurs méthodes d’approximation du quantile sont connues dans la littérature notamment l’approche de Cornish-Fischer. Ce dernier requiert la connaissance du RA qui devra être calculer au préalable par l’entité et les caractéristiques de la distribution du risque de réserves. Pour cette étude, l’équation de CF au second ordre (qui prend en compte le skewness et le CoV de la distribution des réserves) a été utilisée sur des données réelles. On a remarqué qu’il est facile à implémenter, robuste et permet à l’actuaire de prendre en compte des distributions asymétriques normales dans la modélisation interne des entités d’assurance. Pour les travaux futurs, il est nécessaire d’évaluer le kurtosis par une simulation stochastique afin d’apprécier la conversion du RA en un niveau de confiance à l’aide de l’équation de CF au troisième ordre.
Ce mémoire est un sujet théorique difficile qui n’a pas totalement abouti mais qui nous a permis de nous plonger dans les techniques de calcul et la théorie sous jacente au risque de réserves non-vie.
Executive summary
In May 2017, the IASB (International Accounting Standard Board) published a specific stan- dard for the measurement of insurance contracts: IFRS 17. This standard proposes principles for the economic valuation of insurance liabilities based on a presentation and calculation by categories. The standard also unveiled a new presentation of the financial statements in which the division of functions helps to draw a line between the economic performance and the insurance business, by causality and effects. The principles set out in the standard are consistent with a desire to achieve transparent and relevant financial statements that are well representative of insurance services.
An important element of IFRS 17 is the application of an risk adjustment for non-financial risks.
Risk Adjustment(abbreviated RA) is to some extent comparable to the risk margin in Solvency II regulations. It should adjust the estimate of future cash flows to reflect the compensation that the entity requires to withstand the uncertainty about the amounts and occurrences of those flows resulting from non-financial risks. The RA for non-financial risks can be measured at different levels, and reflects two points that are linked to the entity’s perspective:
• The level of diversification benefit,
• The level of risk aversion, reflected in the favorable and unfavorable scenarios that it takes into account in estimating future cash flows.
IFRS 17 does not specify a method for estimating non-financial RA. It will then be up to the experts to determine or use a method that meets the expectations of the standard while respecting the elements that may have an impact on this adjustment. However, entities are invited to indicate the level of confidence associated with the RA’s estimate, even if they do not use quantitative estimation methods in their models. In this case, these entities must document the method used to convert the AR into a confidence level. The development of methods to communicate this confidence level is therefore a real need for insurers.
The aim of this dissertation is to respond to this need by studying the work of E. Dal Moro and Y. Krvavych, in particular the article "Probability of Sufficiency of Risk Margins of Solvency II Reserves: Practical Approximations" published in 2017.For this dissertation, we will study in particular the risk of non-life reserves. Reserves risk has historically been assessed using standard provisioning methods. These methods make it possible to determine the ultimate amount of the best estimate of claims reserves to be paid. We have turned to the Mack method, which assesses the uncertainty of the amount of reserves. However, the Mack model can only characterize the expectation and variance of the distribution of reserves. In order to assess the moments of order 3 (asymmetry), we will study Dal Moro’s work on the subject, through the article "Application of asymmetry to non-life provisioning" published in 2013. We will spend some time in this dissertation, establishing formulas to calculate the total flattening per year of occurrence. Understanding the high moments in the distribution of reserves (asymmetry and flattening) will be of utmost importance, in our aim to convert a quantity of RP into a level of
Database
In order to carry out this study, we will use the provisioning triangles. The choice of these triangles is motivated by their accessibility to all users.
• The first is the triangle used by Merz and Wüthrich in the article "Claims run-off uncertainty: the full picture" published in 2014. This triangle is named MW2014 and is available in the ChainLadder library of the R software. It represents the cumulative payment amounts of the private liability industry and includes 17 years of accidents and developments. It is presented as follows : :
Figure 3 – MW2014 Triangle Illustration
• A triangle extracted from the site of the CAS "Casualty Actuarial Society". CAS is a professional actuary company specializing in property insurance and civil liability. On its website, actual data are published for study purposes. For our study, the actual basis for automobile liability was chosen. It brings together the cumulative (or non-cumulative) payments, premiums (surrendered, issued) and reserves of several insurance groups. We choose the data of the group "Buckeye Ins Grp".
It is presented as follows ::
Figure 4 – Illustration du triangle du groupe Buckeye
Quantile approximation method
RA calculation
As mentioned above, IFRS 17 does not prescribe specific methods for assessing RA. When the RA is calculated by the company from a method that does not involve a level of confidence, the standard recommends communicating the level of confidence associated with it.
Several approaches are used in the literature, namely the so-called quantile and non-quantile methods. Quantile RA valuation techniques are based on the use of risk measures such as Value at Risk (VaR), Tail Value at Risk(TVaR) or Proportional Hazard Transform(PHT). For our study we will use the VaR risk measure. The RA is calculated as the difference between the VaR of given confidence level α and the Best Estimate(BE) of cash flows.
RA=V aRα%−BE
However, knowledge of VaR requires knowledge of the distribution of reserves. To do so, the Bootstrap method will be used. She makes a legal assumption from the mean and the variance from Mack’s model (1993)1. We thus obtain a distribution of the simulated reserves. The BE found on the MW2014 triangle is: BE = 24092.88. The one calculated for the triangle from the CAS data isBE = 938.63. The RA calculated on the two triangles studied and for different risk levels is:
Level of risk RA-MW2014 RA-triangle CAS
V ar60% 668.52 71.37
V ar70% 1687.42 170.37
V ar75% 2266.87 225.37
V ar90% 4743.52 447.37
V ar95% 6343.37 594.42
V ar99.5% 10771.18 88.38
Table 4 – Risk Adjutment for different level of risks
Cornish-Fischer approximation
Disclosure a level of confidence of the RA in a free-environment involves approximating. In our study, the CF approximation will be used. The CF method is an approximation of the quantile of an unnormal distribution by a polynomial of a standard normal law quantile using the moments of the distribution. The CF-type approximation formulae are derived separately in two different cases:
• Using only the coefficient of variation (CoV) and the skewness of the distribution of reserves: second-order CF;
• Using CoV, skewness and kurtosis of the distribution of reserves: third-order CF.
1. « Distribution-free calculation of the standard error of chain ladder reserve estimates »
Let i ∈ {1, ..., I} accident year, and j ∈ {1, ..., I}years of claims development. Cumulative payments in year i+j of the loss occurring in the year are noted Ci,j.
Mack’s Assumptions Dal Moro’s Assumptions E(Ci,j+1|Ci,1, ..., Ci,j) =fj ·Ci,j SK(Ci,j+1 | Ci,1, ..., Ci,j) =Skj3·Ci,j3/2 Var(Ci,j+1|Ci,1, ..., Ci,j) = σj2·Ci,j KT(Ci,j+1 |Ci,1, ..., Ci,j) = kt4j ·Ci,j2
Table 5 – Mack and Dal Moro assumptions
Where:
• SK(Ci,j+1 |Ci,1, ..., Ci,j)is the skewness ofCi,j+1 knowing the information available and,
• KT(Ci,j+1 | Ci,1, ..., Ci,j) is the kurtosis of Ci,j+1 knowing the information available.
The skewness for all years of accident found on the MW2014 triangle is equal to 0.15. For the CAS triangle, we find0.31. The reserve distributions generated on these triangles are positively skewed.
We therefore apply the equation of CF to the second order. It is written as follows:
V aRα( ˜R)≈zα+γRzα2 −1 6 Where:
• V aRα( ˜R) = CoVRA
R is the quantile of the centered random variable of reserves R;˜
• γR represents the skewness of the distribution of reserves and;
• zα is the quantile of the reduced centered normal distribution.
The postive root of this equation is: zˆα =−γ3
R +q
9 γR2 +γ6
RV aRα( ˜R) + 1.
The confidence level is found from the inverse quantile function of the reduced centered normal distribution, i.e. αˆ = φ(ˆzα). The following table summarizes the approximation of the confidence level of the RA made by CF to the second order on the data used.
When the skewness γR = 0, we come back to a Gaussian approximation based on the mean and Mack’s variance. The knowledge of skewness will improve the level of confidence sought.
This remark is illustrated on the MW2014 triangle.
Level of risk α-CF(%) MW2014 α-N(0,1) MW2014 α-CF(%) Triangle CAS
V ar60% 59.13 58.19 59.56
V ar70% 70.53 69.91 69.04
V ar75% 76.22 75.84 74
V ar90% 92.50 92.88 89
V ar95% 97.10 97.51 94
V ar99.5% 99.90 99.96 99.18
Table 6 – Second-order CF Approximation
The approximation made by CF to the second order gives for the two triangles a confidence level close to those fixed to calculate the RA. It is therefore consistent. This approximation is also easy to use and without cost.
The total kurtosis per accident year of the reserve distribution allows insurers to assess the use of the third-order FC approach. In order to retrieve this moment, we use the same calculation steps used by Dal Moro when establishing the skewness. We thus obtain the following closed formula.
KT( ˆCi,j+1) =KT(Ci,j+1|D)+6·V ar(Ci,j+1|D)h
E(Ci,j+1|D)−Cˆi,j+1
i2
+
E(Ci,j+1|D)−Cˆi,j+1
4
This equation is costly in terms of calculation and time. The kurtosis found could not be appreciated at its true value. To overcome its difficulties, a stochastic approach will have to be implemented. Due to lack of time, this model will not be implemented in this study.
The third-order CF equation is:
V aRα( ˜R)≈zα+γRzα2 −1
6 +ιRzα3 −3zα
24 −γα22zα3 −5zα 36
To find the level of confidence α, we will solve the following 3rd order polynomial using the Cardan equation.
zα+γRzα2 −1
6 +ιRzα3 −3zα
24 −γR22zα3 −5zα 36 =q It can be rewritten in the following form:
azα3 +bzα2 +czα+d= 0, avec
a= 241ιR− 181γR2 b = 241 γR
c= 1− 18ιR+365 γR2 d=−q− 16γR
Understanding the stakes of risk adjustment implies first of all accepting the singularity of this provision. Information risk adjustment is unique for each entity. In addition, no specific method is prescribed in IFRS 17. The standard recommends that entities disclose the methods used to convert an amount of AR into a quantile in accordance with IFRS 17. The actuary should be aware that the quantification of the confidence level will be an estimate.
Several methods for approximating quantiles are known in the literature, including the Cornish- Fischer approximation. This requires knowledge of the RA, which will have to be calculated beforehand by the entity, and of the characteristics of the distribution of reserve risk. For this study, the second-order CF equation (which includes the asymmetry and CoV of the reserve distribution) was used on real data. It was found to be easy to implement, robust and allows the actuary to take into account asymmetric normal distributions in the internal modelling of insurance entities. For future work, it is necessary to evaluate the kurtosis by stochastic simulation in order to re-evaluate the 3rd order CF equation.
This dissertation is a difficult theoretical topic which has not been completely achieved but which has allowed us to plunge into calculation techniques and risk theory of non-life reserves.
Remerciements
Je tiens tout d’abord à remercier Salma JAMAL et Alexandre BOUMEZOUED pour leur confiance et pour m’avoir donné l’opportunité de travailler au sein de l’équipe Non Vie et R&D de Milliman. Je les remercie pour m’avoir guidé tout au long de cette étude. Leur aide a été précieuse dans la compréhension et la réflexion du sujet.
Un grand merci à mes collègues des deux équipes Non-Vie et R&D. Leur accueil et leur bonne humeur m’ont permis de m’intégrer rapidement et de réaliser ce projet dans les meilleures conditions possibles.
Je remercie tous ceux qui ont de près ou de loin contribué à la réalisation de ce mémoire notamment à travers leurs conseils. Ils ont été à l’écoute en répondant à mes questions et en m’aidant lorsque j’avais des zones d’ombres.
Pour finir, merci à ma famille pour son soutien tout au long de mes études.
Table des matières
Résumé 3
Abstract 4
Note de Synthèse 5
Executive Summary 11
Remerciements 17
Table des matières 19
Introduction 21
I Cadre de l’étude 23
I.1. Généralités sur la norme IFRS 17 . . . 23
I.1.1. Champ d’application de la norme . . . 24
I.1.2. Les éléments du bilan IFRS 17 . . . 25
I.1.3. Les différents modèles d’évaluation du passif . . . 26
I.2. L’ajustement pour risque selon la norme IFRS 17 . . . 26
I.2.1. Définition et risques associés . . . 26
I.2.2. Enjeux actuels et futurs de l’ajustement pour risque . . . 28
I.3. Analogie RA IFRS 17- RM Solvabilité II . . . 29
II Modélisation de l’ajustement pour risque 33 II.1. Méthodes de calcul de l’ajustement pour risque . . . 33
II.1.1. Méthodes quantiles . . . 33
II.1.1.1. Value at Risk (VaR) . . . 33
II.1.1.2. Tail Value at Risk (TVaR) . . . 34
II.1.1.3. Proportional Hazard Transform (PHT) . . . 35
II.1.2. Méthode non quantiles . . . 36
II.1.2.1. Approche du Coût du Capital (CoC) . . . 36
II.1.2.2. Approche par marges pour les écarts dévaforables . . . 38
II.2. Quantification du niveau de confiance . . . 38
II.2.1. Risque de réserves non-vie . . . 39
II.2.2. Rappel sur la méthode de Mack . . . 39
II.2.3. Présentation de la méthode Mack-Bootstrap . . . 41
II.2.4. Estimation du skewness d’une distribution de réserves . . . 43
II.2.5. Estimation du kurtosis d’une distribution de réserves . . . 47
II.2.6. Niveau de confiance : mesure et approximation . . . 55
II.2.6.1. Approximation de Cornish-Fischer (CF) . . . 56
II.2.6.2. Approximation de Bohman-Esscher (B-E) . . . 60
III Calcul du quantile IFRS 17 sur des données réelles 63 III.1. Application au triangle de Merz-Wüthrich 2014 . . . 63
III.1.1. Présentation des données . . . 63
III.1.2. Calcul du RA . . . 66
III.1.3. Estimation du skewness et du kurtosis . . . 68
III.1.4. Approximation de Cornish Fischer . . . 72
III.1.4.1. Approximation de Cornish Fischer au second ordre . . . 73
III.1.4.2. Approximation de Cornish Fischer au troisième ordre . . . 74
III.2. Application aux données de la CAS . . . 75
III.2.1. Présentation des données . . . 75
III.2.2. Calcul du RA . . . 77
III.2.3. Estimation du skewness . . . 78
III.2.4. Approximation de Cornish Fischer au second ordre . . . 78
Conclusion 81 Bibliographie 83 Glossaire 85 Annexes 86 A Hypothèse du modèle de Dal Moro 87 I.1. Modèle du skewness de Dal Moro . . . 87
I.2. Modèle du kurtosis de Dal Moro . . . 90
B Présentation des données utilisées 95 II.1. Données de Merz-Wüthrich . . . 95
II.2. Données de la Casualty Actuarial Society . . . 95
C Loi totale du cumulant 97
D Approximation de la Puissance Normale(NP) 99
E Code R de l’équation de Cardan 101
Introduction
Toujours en phase d’implémentation, la norme internationale IFRS 17 a été publiée le 18 mai 2017. Ce nouveau standard constitue une révolution dont les enjeux dépassent les aspects purement comptables. Il va en effet induire de profonds bouleversements en matière de commu- nication financière des groupes d’assurance et aura des conséquences majeures sur l’organisation interne du pilotage de la performance.
Un élément important d’IFRS 17 est l’application d’un ajustement pour risque non financier.
L’ajustement pour risque IFRS 17 est un facteur influent sur la manière dont les bénéfices des contrats d’assurance sont déclarés et émergent au fil du temps. Si l’ajustement pour risque doit satisfaire certaines conditions, sa méthode de calcul n’est pas prescrite par la norme. Mais si une entité utilise une technique autre qu’un niveau de confiance, elle est tenue d’indiquer le
«niveau de confiance» correspondant aux résultats de la technique employée.
Cette indication obligatoire du niveau de confiance a causé une certaine consternation parmi les actuaires qui appliquent la norme IFRS 17. Pour de nombreux contrats de longue durée, des approches autres que les méthodes quantiles sont généralement utilisées. Par exemple dans la réglementation Solvabilité II, l’évaluation des provisions intègrent la notion de marge pour risque mais celle-ci est calculée avec des méthodes de type coût du capital. La notion de niveau de confiance n’est donc pas nouvelle. Le niveau de confiance rejoint également certaines approches traditionnelles permettant de tenir compte de l’incertitude ou de la variabilité des réserves dans l’évaluation du passif.
Les assureurs non-vie en pratique utilisent dans leurs modélisation, le coefficient de variation pour mesurer le risque des réserves, avec l’utilisation des lois symétriques telles que la loi log- normale. Dans un besoin d’utilisation des distributions asymétriques, plusieurs assureurs s’in- téressent aux moments élevés de la distributions des réserves notamment l’asymétrie(skewness) et l’aplatissement(kurtosis). La connaissance de ces nouveaux éléments est d’une importance capitale dans l’évaluation des méthodes utilisées pour retrouver le niveau de confiance associé à un montant d’ajustement pour risque.
Ce mémoire répond au besoin de la communication du niveau de confiance associé à un montant d’ajustement pour risque. Après avoir présenté le contexte réglementaire nécessaire à la compréhension de la notion d’ajustement pour risque dans une première partie, la deuxième partie de ce mémoire s’attardera sur :
• les outils mathématiques et actuariels permettant de calculer un montant d’ajustement pour risque,
• l’estimation du skewness et du kurtosis de la distribution des réserves, en étudiant le modèle de Mack étendu au moment d’ordre 4, à travers les travaux de E. Dal Moro et Y. Krvavych publié en 2017, notamment l’étude de l’article « Probability of sufficiency of Solvency II reserve risk margins : Practical approximations »,
• et les techniques utilisées pour approximer le niveau de confiance à publier.
Enfin la dernière partie sera consacrée à l’élaboration des techniques développées sur des données réelles afin d’apprécier leur applicabilité.
Chapitre I
Cadre de l’étude
Dans ce chapitre, la norme comptable internationale IFRS 17 est présentée en particulier l’ajustement pour risque qui est l’une de ces nouveautés et qui représente le cœur de notre étude. Ce dernier peut être considéré comme l’équivalent sous IFRS 17 de la marge pour risque (Risk Margin) introduite dans la norme européenne Solvabilité II.
En effet, les acteurs du secteur de l’assurance ont souvent alloué des budgets conséquents dans le développement d’outils qui permettent de calculer une marge pour risque. Calquer en prenant les précautions réglementaires appropriées les méthodes de calcul de l’ajustement pour risque sur celles déjà utilisées pour la marge pour risque pourrait donc permettre de mettre en place une méthode viable et peu coûteuse. En dernière partie de ce chapitre les différences existantes entre ces deux notions sont établies afin de bien appréhender notre étude.
I.1. Généralités sur la norme IFRS 17
Publiée le 18 mai 2017, la nouvelle norme IFRS 17 portant sur les contrats d’assurance devrait entrer en vigueur à compter du 01/01/2022. Elle remplacera l’actuelle norme IFRS 4. Si IFRS 4 laissait aux assureurs la possibilité de continuer à appliquer leurs normes comptables locales, IFRS 17 a pour but de réformer en profondeur et d’harmoniser la manière dont sont comptabilisés les contrats d’assurance. La nouvelle norme est également présentée comme plus lisible et plus cohérente concernant la représentation de la performance d’un assureur.
Les enjeux de cette nouvelle norme sont multiples pour les assureurs, mais aussi pour les investisseurs. Les différents modèles comptables proposés par IFRS 17, ainsi que les différentes composantes du bilan, constituent des enjeux stratégiques pour les assureurs dans la présen- tation de leurs résultats. La norme IFRS 17 a pour objectif d’apporter une information plus transparente en s’intéressant particulièrement aux composantes qui ne réagissent pas comme la composante assurance. Elle vise également à améliorer la comparabilité entre différents assureurs.
D’ici l’entrée en vigueur en 2022 de la norme IFRS 17, des étapes intermédiaires devront être suivies rigoureusement.
Figure I.1 – Schéma de la transition IFRS 17
La norme IFRS 17 s’applique à toutes les sociétés cotées ou émettant de la dette cotée et concerne uniquement la comptabilisation des passifs des entreprises.
I.1.1. Champ d’application de la norme
La norme IFRS 17 s’applique principalement aux contrats d’assurances, de réassurances et investissements avec participation discrétionnaire. En effet, contrairement à Solvabilité II, IFRS 17 exclut de son champ d’application les contrats financiers sans participation aux bénéfices discrétionnaires.
Un contrat peut contenir plusieurs composantes qui ne sont pas des composantes purement assurantielles et qui devraient être comptabilisées selon une autre norme si elles étaient com- mercialisées séparément.
Ainsi, les composantes suivantes doivent être évaluées séparément de la composante assurance (incluant l’aléa du contrat) si elles n’y sont pas étroitement liées.
– Composante d’épargne/de dépôt : montant que l’assureur doit régler pour que l’évènement se produise ou pas (ex : contrats épargne/UC)
– Composante biens et services ( ex : contrat dépendance avec service à la personne) – Dérivés incorporés (ex : garantie décès étroitement liée au contrat car versée uniquement
au décès de l’assuré).
I.1. Généralités sur la norme IFRS 17
Figure I.2 – Champ d’application IFRS 17
La séparation des composantes n’est pas optionnelle. Si une composante assurance et une composante d’investissement sont étroitement liées, la norme interdit de les séparer et les deux doivent être réévaluées selon les principes de la norme IFRS 17.
I.1.2. Les éléments du bilan IFRS 17
Le nouveau bilan sous IFRS 17 se présente de la manière suivante :
Figure I.3 – Bilan IFRS 17
• Pour l’actif du bilan, l’IASB a adopté la norme IFRS 9, qui prend en compte la classi- fication, l’évaluation et la dépréciation des actifs financiers ainsi que la comptabilité de couverture à adopter.
Pour ce qui est des éléments du passif :
• L’estimation des flux de trésorerie futurs ou FCF (Fulfilment Cash-Flow) correspond à la valeur actuelle probable des engagements futurs de l’assureur. L’objectif
de l’évaluation des flux de trésorerie est de déterminer la moyenne statistique des flux nécessaires pour remplir les obligations du contrat.
• La Marge pour Service Contractuel ou CSM (Contractual Service Margin) correspond aux profits attendus du contrat au delà de la marge pour risque.
• L’ajustement pour risque ou RA (Risk Adjustment) correspond au montant que l’assureur demande pour supporter l’incertitude inhérente au fait que les règlements réels dépassent les règlements attendus.
I.1.3. Les différents modèles d’évaluation du passif
Afin de mettre en œuvre IFRS 17, les assureurs devront implémenter différents modèles imposés par la norme et appropriés à leurs activités sous-jacentes :
– Le modèle général BBA (Building Block Approach) : s’applique à tous les contrats non participatifs (où l’on observe un lien entre le contrat d’assurance et des éléments sous- jacents notamment discrétionnaires). On parle de BBA modifié lorsque le modèle BBA s’applique aux contrats à participatifs indirects dont les flux varient avec les éléments sous jacents mais non éligibles à la VFA (ex : contrats décennale, contrats d’épargne belges, contrats de prévoyance) ;
– Le modèle Premium Allocation Approach : est un modèle d’évaluation simplifié pour les contrats dont la durée de couverture est inférieure à 1 an ou lorsqu’il constitue une approximation raisonnable à l’approche BBA (ex : contrat d’assurance automobile, assurance habitation, assurance RC professionnelle) ;
– Le modèleVariable Fee Approachs’applique aux contrats participatifs directs (ex : contrats d’épargne euro/UC, retraite). Dès qu’un contrat rempli ce critère, l’application de ce modèle est obligatoire.
I.2. L’ajustement pour risque selon la norme IFRS 17
Le RA, sur lequel se concentre ce mémoire renvoie directement à deux notions :
• l’appétence au risque de l’entité ;
• l’incertitude des flux de trésorerie futurs
I.2.1. Définition et risques associés
L’ajustement pour risque mesure le montant que l’entité demanderait en plus du Best Estimate pour être indifférente au risque, c’est-à-dire indifférente à :
– Exécuter les cash-flows associés au contrat d’assurance, qui sont par essence incertains, puisque leur valeur peut varier selon différents scénarios en fonction des risques non financiers,
– Exécuter une autre obligation, qui aurait, elle, des cash-flows correspondant à la vision moyenne des flux du contrat d’assurance.
Exemple1 : Le RA correspond à l’indemnité qu’exigerait l’entité pour qu’il lui soit indifférent
1. cf. annexe B87 de la norme IFRS 17, paragraphe 37
I.2. L’ajustement pour risque selon la norme IFRS 17
d’acquitter un passif dont le montant a une probabilité de 50% d’être de 90e et une probabilité de 50 % d’être de 110e ou d’acquitter un passif dont le montant est fixé à 100e.
La norme IFRS 17 insiste également sur la nécessité de séparer les risques d’assurance des risques financiers qui interviennent respectivement dans la détermination du RA et du Best Estimate1.
Le périmètre de risques associés au calcul du RA couvre à la fois les risques d’assurance (ex. le risque de mortalité, le risque de réserve P&C. . . ) et les risques non-financiers liés aux contrats d’assurance (ex. le risque de frais). Le risque opérationnel n’est quant à lui pas intégré à l’évaluation du RA tant par nature considéré comme plus global.
La norme ne spécifiant pas de techniques explicites d’évaluation du RA, plusieurs principes qualitatifs encadrent sa cohérence générale2, comme énoncé ci-dessous :
1. Il sera d’un montant plus élevé si les risques sont peu fréquents, mais graves que s’ils sont fréquents, mais peu graves : les risques de faible fréquence et de forte sévérité doivent conduire à un niveau de RA supérieur à celui associé à des risques à fréquence élevée et faible sévérité ;
2. Pour des risques similaires, il sera d’un montant plus élevé si les contrats sont de longue durée que s’ils sont de courte durée : à risques similaires, les contrats à duration plus longue doivent induire un RA plus élevé ;
3. Il sera d’un montant plus élevé si la distribution de probabilité des risques est large que si elle est étroite : le RA doit être croissant en fonction de l’épaisseur de la queue de distribution des risques sous-jacents ;
4. Il sera d’un montant d’autant plus élevé que l’estimation est à jour : moins il y a d’information disponible sur l’estimation des engagements et d’éventuelles tendances sous- jacentes, plus le RA doit être important ;
5. L’acquisition progressive d’informations permet de réduire l’incertitude sur les montants et dates de versement des flux futurs. Le RA doit être décroissant en conséquence.
Figure I.4 – Caractéristiques de valorisation du RA
En général, d’autres considérations importantes sont pertinentes quant à la façon dont l’entité détermine sa méthode d’estimation de l’ajustement pour risque :
• la cohérence avec la méthode employée par l’assureur pour évaluer le risque du point de vue de l’exécution du contrat ;
1. IFRS 17 Contrats d’assurance
2. cf. annexe B91 de la norme IFRS 17, paragraphe 37
• le caractère pratique de la mise en œuvre et de la réévaluation continue du risque sous- jacent et du RA ;
• la conversion de l’ajustement pour risque à des fins de publication d’un niveau de confiance équivalent pour une question de comparabilité. Notre étude se concentrera sur ce dernier point.
Par conséquent, un éventail de méthodes pourrait être conçu, même si leur utilisation finale dépendra de la mesure dans laquelle elles satisferont les critères susmentionnés, compte tenu des particularités de l’assureur. Ces méthodes comprennent, entre autres, les approches quantiles comme le niveau de confiance ou les techniques de coût du capital (voir Chapitre 2).
Enfin, deux problématiques majeures se posent aux acteurs de marché qui structurent actuel- lement leurs méthodologies d’estimation du RA.
– Quelle est l’approche offrant la plus grande capacité de pilotage du résultat IFRS 17 ? – Comment exploiter les calculs Solvabilité II afin d’éviter de démultiplier les travaux de
production IFRS 17 et Solvabilité II ?
I.2.2. Enjeux actuels et futurs de l’ajustement pour risque
La détermination des profits futurs est conditionnée par le calcul de RA. Il constitue donc un élément structurant dans le pilotage du résultat. Plusieurs impacts du RA sont à relevés notamment :
Impact opérationnel : le RA impacte mécaniquement l’évaluation des profits futurs et le résultat IFRS des contrats en portefeuille. En tant que quantité couvrant les incertitudes associées aux risques d’assurance, le RA doit également refléter les bénéfices de diversifi- cation sous-jacents.
Il est donc nécessaire de disposer d’une vision consolidée du RA à l’échelle de l’entité d’assurance, ce qui revient à capter les phénomènes de diversification entre les risques ainsi qu’entre l’ensemble des portefeuilles et groupes de contrats d’un assureur.
Communication actuarielle : l’ajustement pour risque vise à refléter la valeur de l’incerti- tude inhérente aux flux de trésorerie d’assurance des contrats sous-jacents. On s’attend à ce que des données actuarielles quantitatives et qualitatives, soient disponibles, afin de comprendre et d’évaluer l’aversion de l’entité au risque. Bien que IFRS 17 n’énonce pas d’exigence selon laquelle l’ajustement pour risque serait déterminé par un actuaire, il est fort probable que les travaux et les informations provenant des actuaires seront utilisés pour élaborer, examiner et mettre à jour les valeurs d’ajustement au titre du risque. Un objectif important de la communication de l’actuaire sera d’aider l’entité à structurer les informations à fournir en réponse aux attentes d’IFRS 17.
Réassurance : le RA doit être publier par l’entité dans le passif en vision brute de réassurance.
Si l’entité détient des contrats de réassurance, elle doit publié séparément le RA associé à la réassurance détenue. L’estimation de niveaux de confiance distincts (brut et net de réassurance) à des fins de publication doit correspondre à l’ajustement brut pour risque (passif) et à l’ajustement pour risque détenu en réassurance (actif). Toutefois, cette information duale peut présenter des contraintes opérationnelles importantes et ne pas fournir d’information pertinente.
Levier de pilotage : l’évaluation du RA doit offrir aux entités d’assurance de véritables
I.3. Analogie RA IFRS 17- RM Solvabilité II
leviers de pilotage de performance IFRS 17 tout en évitant de démultiplier les travaux de production afin de limiter les charges opérationnelles. Le pilotage de performance par le RA soulève différentes problématiques :
• la définition préalable d’indicateurs de pilotage reposant sur différentes dimensions : business, rentabilité, solvabilité, risque et volatilité ;
• la contribution du RA dans le calibrage des profits futurs attendus ;
• permettre un pilotage ciblé à un niveau plus granulaire.
I.3. Analogie RA IFRS 17- RM Solvabilité II
Bien que le RA sous IFRS 17 soit conceptuellement proche de la Marge pour Risque (RM) en environnement Solvabilité II, des différences existent au niveau du calcul de ces éléments, notamment :
– Sous IFRS 17, le RA est défini dans une perspective de risque contrairement à la Marge pour Risque en Solvabilité II ;
– Sous IFRS 17, la méthode de calcul du RA (ainsi que sa conversion en niveau de confiance) n’est pas défini.
Le tableau ci-dessous restitue les principales différences.
Table I.1 – Tableau de comparaison de la RM et du RA
Sujet RM-Solvabilité II RA-IFRS 17
Concept Vue externe : Mesure de la marge de prudence requise dans le but d’un transfert de portefeuille.
Vue interne : Compensation attendue face à l’incertitude des flux futurs rela- tive aux risques non financiers.
Méthodologie générale Méthode du coût du capital - Aucune méthode prescrite
- Besoin de communiquer le niveau de quantile correspondant au RA.
Calibrage
Coût d’opportunité paramétré à 6% et appliqué à la valeur actuelle nette des SCR
Les paramètres sont définis en fonction de la méthode choisie par l’entité.
prospectifs sous jacents au calcul.
Horizon de risque Vision à un an Prend en compte la durée des engage- ments sous-jacents
Diversification
Reflète le niveau de
diversification des assureurs au sein de l’entité.
Possibilité de prendre en compte la di- versification au niveau du groupe.
Périmètre de risque
- Risque de souscription ; - Risque de contrepartie ; - Risque opérationnel.
- Risques non financiers relatifs aux contrats d’assurances ; - Exclusion des risques opération-
nels.
Frontière de contrats Projection des primes futures jusqu’à la date à partir de
laquelle l’assureur a la possibilité unilatérale de résilier le contrat sous-jacent.
Projection des primes futures dès lors que l’entité d’assurance peut exiger le paiement de la prime ou qu’elle est dans l’obligation de délivrer le service sous- jacent.
Granularité Ligne d’activité Groupe de contrats
Remember that all models are wrong ; the practical question is how wrong do they have to be to not be useful.1 (George Box)
1. « Rappelez-vous que tout modèle est faux. Concrètement, il s’agit de savoir s’il est faux au point de devenir inexploitable »
Chapitre II
Modélisation de l’ajustement pour risque
Comme évoqué dans le chapitre précédent, la norme IFRS 17 ne prescrit pas de méthode spécifique d’évaluation du RA. Néanmoins les entités d’assurance ayant développé leur propre technique de calcul du RA, en ayant recours à une méthode ne faisant pas intervenir le niveau de confiance, sont tenues de convertir ce RA en seuil de confiance2.
Les techniques utilisées pour le calcul du RA sont présentées dans la première partie de ce chapitre. La seconde partie est destinée à étudier les méthodes de conversion d’un montant de RA en quantile.
II.1. Méthodes de calcul de l’ajustement pour risque
II.1.1. Méthodes quantiles
Le risque peut être représenté mathématiquement en utilisant plusieurs mesures probabilistes et statistiques. Un quantile fait référence à une mesure de fréquence relative à des résultats incertains, basés sur une probabilité mesurée en pourcentage. Le principal avantage d’une technique reposant sur un quantile pour calculer le RA est qu’elle satisfera directement aux exigences d’information d’IFRS 17 concernant le niveau de confiance correspondant au RA.
II.1.1.1. Value at Risk (VaR)
L’approche Value at Risk est utilisée dans le calcul du capital de Solvabilité requis selon la formule standard sous Solvabilité II. Elle a également été utilisée par de nombreuses entreprises dans leurs modèles internes sous Solvabilité II. Ces mesures de capital couvrent généralement tous les risques qui peuvent être atténués par la détention de capital, et pas seulement les risques non financiers.
Pour un horizon de temps donné, la VaR correspond au montant de perte potentielle sur une période de temps fixée qui sera dépassée uniquement dans α% des cas. Dans le cadre de l’ajustement pour risque sous IFRS 17, l’horizon de temps est la durée de couverture du contrat et le seuil de confiance α est le reflet de l’aversion au risque de l’assureur. Mathématiquement, la VaR de niveau de confiance α associée au risque X est donnée par la fonction :
V aRα(X) =inf(x | P(X ≤x)≥α)
2. (cf. annexe B92 de la norme IFRS 17, paragraphe 37)
C’est donc le plus petit des x tel que P(X ≤x) = α, ce qui donne : V aRα(X) =FX−1(α)
oùFX est la fonction de répartition de X.
Sixest le montant de sinistres généré par le risque X avec une probabilitéα , alors laV aRα(X) correspond au montant qu’il faudrait mettre de côté pour couvrir le risque X. Autrement dit, une société supportant le risque et disposant un montant de V aRα(X) a une probabilité de ruine de 1−α, s’écrit :
P(X ≥V aRα(X)) = 1−α
Une entité voulant calculer son RA en utilisant la méthode de la VaR aura besoin de calculer la valeur actualisée des flux futurs de son « Best Estimate » (BE) selon différents scénarios (où chacun tient compte de l’incertitude résultant des risques non financiers) pour produire une répartition du risque. De plus, elle doit fixer le niveau de confiance αapproprié à ses activités.
Le RA est donc obtenu par différence entre la V aRα(X) et la valeur actualisée des flux futurs de son Best Estimate.
RA=V aRα%(X)−BE en fixant un niveau de confianceα.
Le graphe suivant illustre la représentation du RA pour α = 99,5% , selon la méthode VaR, lorsque la répartition du risque suit une loi normale centrée réduite :
FigureII.1 – Représentation du RA pourα= 99,5% d’une loi normale centrée réduite calculé avec la méthode VaR
II.1.1.2. Tail Value at Risk (TVaR)
La mesure de risque Tail Value at Risk (TVaR) est également calculée en référence à un niveau de confiance précis et découle de la VaR. Il s’agit du montant moyen des sinistres sachant que X est supérieur à cette dernière. Sa définition est la suivante :
V aRα(X) = 1 1−α
Z 1 α
V aRp(X)dp
Cette mesure de risque peut s’exprimer explicitement en fonction de la VaR : T V aRα(X) = V aRα(X) + 1
1−αE(X−V aRα(X))+
II.1. Méthodes de calcul de l’ajustement pour risque
Le terme E(X−V aRα(X))+, appelé expected shorfall de niveau de probabiltéα, représente la perte moyenne au-delà de la VaR au niveau α.
Le RA se calcule avec la TVaR de la même façon qu’avec la VaR.
Le graphe suivant représente le RA correspondant à un niveau α = 99,5%, selon la méthode TVaR, lorsque la répartition du risque suit une loi normale centrée réduite :
FigureII.2 – Représentation du RA pourα= 99,5% d’une loi normale centrée réduite calculé avec la méthode TVaR
On constate alors que le RA calculé avec la méthode TVAR est plus grand que le RA calculé avec la méthode VaR. La méthode TVAR est donc plus prudente que celle de VAR pour le calcul de RA. Aussi, on visualise graphiquement que la méthode TVAR est plus adaptée pour les distributions à queue épaisse que la celle de la VaR.
II.1.1.3. Proportional Hazard Transform (PHT)
La mesure de risque dite "Proportional Hazard-mean" est une mesure de risque de Wang. Il sera alors présenté dans un premier temps la mesure de Wang puis la mesure Proportional hazard-mean.
a) Mesure de Wang
La mesure de Wang consiste à utiliser l’opérateur "espérance" appliquée à des transfor- mations de la distribution de la variable aléatoire d’intérêt. L’idée derrière cette méthode est d’alourdir la queue de distribution initiale, ce qui permettra une meilleure prise en compte du risque en étant prudent.
Soit la fonction g : [0,1] → [0,1] une fonction de distorsion non décroissante telle que g(0) = 0 et g(1) = 1. La mesure de risque de Wang ρg issue de la fonction de distorsion g, par rapport à une variable aléatoireX est définie par :
ρg(X) = Z +∞
O
g(SX(x))dx oùSX(x) = P(X > x).
Cette mesure de risque peut elle aussi s’exprimer en fonction de la VaR :
ρg(X) = Z 1
0
V aR1−α(X)dg(α)
En effet, puisque g(0) = 0, il est à noter que
g( ¯FX(x) =
Z F¯X(x) 0
dg(α)
et donc que
ρg(X) = Z +∞
0
Z 1 0
1α≤F¯X(x)dg(α)dx
Or, les applications x 7−→ 1 et x 7−→ 1α≤F¯X(x) sont mesurables par rapport à la mesure de Lebesgue et donc, par application du théorème de Fubini-Tonelli :
ρg(X) = Z +∞
0
Z 1 0
1α≤F¯X(x)dg(α)dx= Z 1
0
V aR1−α(X)dg(α)
b) Proportional hazard-mean (Ph-mean)
La méthode Proportional Hazard Transform est l’application de la PH-mean sur la dis- tribution des sinistres. Cette approche est une mesure de Wang prenant en compte la fonction de distorsion g : x 7−→ xr où 0 < r ≤ 1. La mesure du risque PH-mean est l’espérance Hr de cette transformation :
Hr(X) = Z +∞
0
[SX(u)]rdu,0< r≤1
Le paramètrer sera à calibrer en fonction du profil de risque de l’assureur, au même titre que le niveau de confiance α avec la VaR ou la TVaR.
L’approche de la transformation de Wang pourrait apporter plus de cohérence dans la vision des risques en liant la compensation pour la prise de risque aux approches de tarification couramment utilisées.
Tout comme les deux autres méthodes, le RA se calcule par différence entre laHr(X)et le Best Estimate de l’assureur.
II.1.2. Méthode non quantiles
Les trois méthodes quantiles pré-citées sont liées et nécessitent toutes le même profil de risque (distribution des réserves). Ce dernier n’étant pas toujours défini, l’entité pourra toujours recourir à des méthodes dites non quantiles.
II.1.2.1. Approche du Coût du Capital (CoC)
La technique du « coût du capital » se base sur la détermination d’une société d’assurance de son appétance au risque en fonction de la sélection par la société d’un montant de capital adapté aux risques liés aux objectifs d’évaluation de la norme IFRS 17.
