MPSI B Corrigé du DM 04 2008-2009 29 juin 2019
1. a. D'après les propriétés usuelles du produit scalaire : P(−→a⊥)∩ P(−→
b⊥) =D(−→a⊥∧−→ b⊥) De plus ici −→c = −−→a −−→
b donc tout vecteur orthogonal à −→a et −→
b est aussi orthogonal à−→c ce qui se traduit par :
P(−→a⊥)∩ P(−→
b⊥)⊂ P(−→c⊥) P(−→a⊥)∩ P(−→
b⊥)∩ P(−→c⊥) =P(−→a⊥)∩ P(−→
b⊥) =D(−→a⊥∧−→ b⊥) b. Équation normale du planP(−→a ,−→
b):
−
→u ∈ P(−→a ,−→
b)⇔(−→u /−→a ∧−→ b) = 0 On en déduit d'après le cours :
d(M,P(−→a ,−→ b)) =
(−→u /−→a ∧−→ b)
−
→a ∧−→ b
2. Plans hauteurs .
a. Le plan hauteur issu de−→u est orthogonal àP(−→v ,−→w)c'est à dire qu'il contient le vecteur−→v ∧ −→w. Il doit aussi contenir−→u. Un vecteur orthogonal au plan hauteur issu de−→u est donc
(−→v ∧ −→w)∧ −→u b. Preuve de l'identité de Jacobi.
Les termes se simplient deux à deux en sommant les doubles produits vectoriels : (−→u ∧ −→v)∧ −→w = (−→u /−→w)−→v
−(−→v /−→w)−→u
N
(−→v ∧ −→w)∧ −→u = (−→v /−→u)−→w
−(−→w /−→u)−→v
(−→w∧ −→u)∧ −→v = (−→w /−→v)−→u
N
−(−→u /−→v)−→w
Chacun des trois vecteurs de l'identité de Jacobi est orthogonal à un des plans hauteurs. La question 1. montre alors que l'intersection des trois plans est la droite Dh dirigée par le vecteur
((−→u ∧ −→v)∧ −→w)∧((−→v ∧ −→w)∧ −→u)
3. Plans bissecteurs .
a. En utilisant les équations normale et le résultat de cours donnant la distance d'un point à un plan, on obtient que le pointM est équidistant deP(−→u ,−→v)et P(−→w ,−→u)si et seulement si :
|(−→m/−→u ∧ −→v)|
k−→u ∧ −→vk = |(−→m/−→w∧ −→u)|
k−→w∧ −→uk ou encore, pourε∈ {−1,+1}:
(−→m/−→u ∧ −→v)
k−→u ∧ −→vk =ε(−→m/−→w ∧ −→u) k−→w ∧ −→uk Ce qui s'écrit
(−→m/−→αε) = 0 avec −→αε= 1 k−→u ∧ −→vk
−
→u ∧ −→v + ε k−→w∧ −→uk
−
→w∧ −→u
On obtient donc deux plans bissecteurs respectivement orthogonaux à−→α1et−→α−1
b. Calculons les produits scalaires : (−→αε/−→v) = ε
k−→w ∧ −→uk(−→w∧ −→u /−→v) =εdet(−→u ,−→v ,−→w) k−→w ∧ −→uk (−→αε/−→w) = ε
k−→u ∧ −→vk(−→u ∧ −→v /−→w) =det(−→u ,−→v ,−→w) k−→w ∧ −→uk
Ces deux produits scalaires sont donc de signe opposés uniquement pour
−
→a =−→α−1= 1 k−→u ∧ −→vk
−
→u ∧ −→v − 1 k−→w∧ −→uk
−
→w∧ −→u
c. On déduit les autres vecteurs orthogonaux aux plans bissecteurs en permutant les lettres. Ils se simplient deux par deux dans la sommation :
−
→a = 1 k−→u ∧ −→vk
−
→u ∧ −→v
− 1 k−→w∧ −→uk
−
→w ∧ −→u
N
−
→b = 1 k−→v ∧ −→wk
−
→v ∧ −→w
− 1 k−→u ∧ −→vk
−
→u ∧ −→v
−
→c = 1 k−→w∧ −→uk
−
→w ∧ −→u
N
− 1 k−→v ∧ −→wk
−
→v ∧ −→w
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
1 Rémy Nicolai M0804C
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La question 1. montre ici que l'intersection des trois plans bissecteurs (intérieurs) est une droiteDb dirigée par :
1
k−→u ∧ −→vk
−
→u ∧ −→v − 1 k−→w ∧ −→uk
−
→w∧ −→u
∧
1
k−→v ∧ −→wk
−
→v ∧ −→w − 1 k−→u ∧ −→vk
−
→u ∧ −→v
4. Plans médiateurs .
a. En décomposant à l'aide du projeté orthogonal, on obtient que
k−→mk2=d(M,D(−→v))2+d(M,P(−→v⊥))2=d(M,D(−→w))2+d(M,P(−→w⊥))2 On en déduit qu'un point est à égale distance des droites si et seulement si il est à égale distance des plans.
b. Écrivons qu'un point M est à égale distance des droites en écrivant qu'il est à égale distance des plans (avec les équations normales) :
|(−→m/−→v)|
kvk = |(−→m/−→w)|
kwk ce qui s'écrit encore, avecε∈ {−1,+1},
(−→m/−→αε) = 0 avec −→αε= 1 k−→vk
−
→v + ε k−→wk
−
→w
On obtient donc deux plans médiateurs associés aux deux vecteurs orthogonaux
−
→α−1 et−→α1.
c. Exprimons les produits scalaires avec descos: (−→αε/−→v) =k−→vk+ε(−→w /−→v)
k−→wk =k−→vk(1 +εcosδ) =k−→vkε(ε+ cosδ) oùδest l'écart angulaire entre−→v et −→w. De même
(−→αε/−→w) =k−→vk(ε+ cosδ)
On en déduit que l'unique vecteur pour lequel les produits scalaires sont de signe opposés est
−
→a =−→α−1= 1 k−→vk
−
→v − 1 k−→wk
−
→w
d. Les vecteurs−→
b et −→c s'obtiennent par permutation circulaire. Les termes se sim- plient deux par deux lorsque l'on somme les trois. L'intersection des plans mé- diateurs est donc une droiteDmdirigée par
1
k−→vk
−
→v − 1 k−→wk
−
→w
∧
1
k−→wk
−
→w − 1 k−→uk
−
→u
5. Expression des vecteurs directeurs des droites.
Plans hauteurs. Avec des doubles produits vectoriels, et après avoir mis en facteur (−→u /−→w)(−→v /−→u)(−→w /−→v)
on trouve : −→u ∧ −→v
−
→u .−→v +
−
→v ∧ −→w
−
→v .−→w +
−
→w∧ −→u
−
→w .−→u
Plans bissecteurs. En utilisant la linéarité du produit vectoriel et après avoir multiplié par
k−→u ∧ −→vkk−→v ∧ −→wkk−→w∧ −→uk et mis en facteur
det(−→u ,−→v ,−→w) on trouve
k−→v ∧ −→wk−→u +k−→w∧ −→uk−→v +k−→u ∧ −→vk−→w
Plans médiateurs. En utilisant la linéarité du produit vectoriel, on obtient directe- ment :
1 k−→ukk−→vk
−
→u ∧ −→v + 1 k−→vkk−→wk
−
→v ∧ −→w+ 1 k−→wkk−→uk
−
→w ∧ −→u
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
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