MPSI B Énoncé du DM 1 21 septembre 2019
Exercice 1
1. Calculer les sommes suivantes F =
n
X
k=0
k(k!), B=
n
X
k=0
1 k+ 1
n k
.
2. Pour tout entiern≥1, on note
Pn =
n
Y
k=1
2k−1 2k .
a. Montrer par récurrence que
Pn < 1
√2n+ 1.
b. En remarquant que
Pn =
n
Y
k=1
2k−1 2k ×(2k)
(2k),
exprimerPn uniquement avec des factorielles et une puissance de 2. En déduire une expression dePn faisant intervenir un coecient du binôme.
c. Soit k entier tel que 0 ≤ k < n. Montrer que 2nk
< k+12n
. Que peut-on en déduire pour 2nn
? Montrer que 22n 2n+ 1 ≤
2n n
≤ 22n
√2n+ 1.
Exercice 2 : Addition parallèle
On dénit la somme parallèle1 de deux réels strictement positifs par :
∀(a, b)∈]0,+∞[2, a//b= ab a+b.
1. Cette opération est-elle commutative, associative, admet-elle un élément neutre ? 2. Soitxun réel quelconque. Montrer que
(a//b)x2= inf{ay2+bz2,(y, z)∈R2 tq y+z=x}
Cette borne inférieure est-elle un plus petit élément ?
Si oui, pour quels couples(y0, z0)la relation(a//b)x2=ay20+bz02 est-elle satisfaite ?
1d'après X 99 PC 1
3. Interpréter physiquement les résultats de la question précédente en prenant pouryet z les intensités des courants électriques qui traversent des résistances a et b montées en parallèle.
4. Soita, b,c,ddes réels strictement positifs etxun réel quelconque. Montrer que (a//c)x2+ (b//d)x2≤((a+b)//(c+d))x2.
Interpréter physiquement cette inégalité.
5. Soientα1, α2, . . . , αk et β1, β2, . . . , βk des réels strictement positifs. Montrer que
k
X
i=1
(αi//βi)≤
k
X
i=1
αi
! //
k
X
i=1
βi
! .
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
1 Rémy Nicolai M0201E
