Courants électriques

(1)

Courants électriques

14

(2)

Les courants

Courant continu: CC (UK: DC = Direct Current) Courant alternatif: CA (UK: AC)

€

I(t) = dq dt (t)

I G

C

G=Générateur C=Charge

I=Ampèremètre

unité: Ampère A 1 A = 1 C / s

Au niveau microscopique, le courant est dû au mouvement moyen des charges libres (dans un conducteur: les

e

^-).

Convention: le courant va du

+

^au

-

(3)

Volume du segment de fil dV = A dL

Nombre d'électrons dans dV dN = n dV = n (A dL) la charge correspondante est dQ = e dN

Temps pour traverser dL dt = dL / v Le courant vaut

Courant continu

Segment de fil de section A, longueur dL.

On a n électrons de conduction (libres) par unité de volume.

La vitesse de dérive moyenne est v

I = dQ

dt = enAdL

dL /v = enAv

charge de l'électron

dL A

(4)

4

Vitesse de dérive des électrons

Exemple: fil de Cu de 1 mm de rayon parcouru par un courant I = 10 A

masse atomique Cu: 64 uma, masse volumique ρ = 8900 kg/m³ . On suppose 1 e^- de conduction/atome.

n = nombre de charges de conduction/V ≈ N_atomes/V

€

I= dQ

dt = enAdL

dL /v = enAv

€

v = I enA

€

v = 10 C /s

1.6 10⁻¹⁹C× 8.38 10²⁸m⁻³ × π

( )

10⁻³ ²^m² ⁼ ^2.310

−4m/s

Masse d'un atome = m = 64 x 1.66 10^-27 kg = 1.06 10^-²⁵ kg m n = m (N_atomes/V) = (m N_atomes)/V = ρ

donc: n = ρ /m =8900/(1.06 10^-²⁵)= 8.38 10²⁸ m^-³

v ~ 1 m/h !!

(5)

Vitesse de dérive des électrons .2

Dans un câble, les signaux se propagent à des vitesses comparables à celle de la lumière.

Nous avons calculé une vitesse de dérive de l'ordre de 1 m/

heure.

Cela signifie que la vitesse de propagation des signaux électriques est due à un processus similaire aux ondes de pression dans les fluides.

A suivre...

(6)

Résistance électrique

G R

I

V

Les dispositifs qui suivent la loi d'Ohm:

V = R I

sont dit "ohmiques"

TV set 1932

unité de la résistance: le Ohm (Ω)

R = 1 Ω quand à I=1 A correspond une différence de potentiel V=1 V

(7)

Résistance électrique .2

Les contre-exemples,

c.a.d. les dispositifs non ohmiques:

- beaucoup de circuits compliqués (ex une radio) car il y a des éléments non-linéaires à l'intérieur (transistors,...) - les lampes néon (tension d'allumage à ~ 80 V)

- l'air a une résistivité énorme, mais on peut générer des étincelles → foudre: la résistivité tombe rapidement - ...

definition: voir page 8

(8)

Résistance .3

La R d'un conducteur dépend de sa géométrie et de sa composition et aussi de sa température.

On a normalement:

€

R = ρ L A

L

A

La constante de proportionnalité ρ est la résistivité en Ωm Son inverse est la conductivité σ = 1 / ρ

(9)

Résistance .4

Résistivité ρ en (ohm mètre) Ag 1.47 10^-⁸ Cu 1.72 10^-⁸ Al 2.63 10^-⁸ Si 2300

Verre > 10¹⁰

Les fluides physiologiques ont une ρ de l'ordre de 0.1 Ωm

(10)

Résistance .5

I

V R₁R₂

I

R₁R₂

V circuit série

R = R₁ + R₂

circuit parallèle

€

1

R = 1

R₁ + 1 R₂

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

(11)

La puissance

élément de circuit

I

V I

La charge dQ = I dt qui traverse le circuit dans le

temps dt subit un changement d'énergie potentielle

dU = V dQ = V I dt

En égalisant au travail, on a dW = dU = V I dt

et la puissance instantanée est P = dW/dt = VI

(12)

La puissance .2

Dans le cas d'une résistance R, l'énergie fournie par le générateur est dissipée sous forme de chaleur.

Si l'on connaît R, on peut déterminer la puissance reçue et dissipée par R, par la loi d'Ohm:

P = VI = (RI)I = RI²

P = VI = V(V/R) = V²/R

Dans le cas d'un générateur, c'est celui-ci qui fournit

la puissance. Une pile de 1.5 V qui fournit 1 A à un dispositif doit pouvoir travailler à P = VI = 1.5 x 1 = 1.5 W.

(13)

Voltmètres et Ampèremètres

G R

I

V

La mesure de V et I se fait par des dispositifs électriques ou électroniques qui doivent perturber de façon minime le circuit.

Idéalement, l'ampèremètre doit avoir une résistance R_A = 0

et le voltmètre R_V = infini. Sinon, la situation réelle est donnée par le circuit équivalent:

I

R V R_A

R_V

(14)

Les instruments

Ampèremètre à cadran mobile (1932)

Multimètre digital

Pour mesurer un courant électrique, on utilise les "ampèremètres"

(15)

Les instruments .2

Un ampèremètre est constitué par une résistance R_s de faible

valeur (shunt) et un "galvanomètre" G qui permet de mesurer les faibles courants.

Le galvanomètre classique (non digital) utilise la force électromagnétique pour dévier une aiguille d'un angle

proportionnel au courant I_g qui le traverse. La résistance interne de G (R_g) est de l'ordre de centaines ou milliers de Ω.

R_s G

A

≡

I_g I-I_g I

R = R I /(I-I ) R_g

(16)

Les instruments .3

Pour mesurer une tension électrique, on utilise les "voltmètres".

Il s'agit de soustraire au circuit un petite courant I_v, de la mesurer avec un galvanomètre et de tirer V par la loi d'Ohm.

G R_s

R_g

circuit à mesurer

voltmètre I_v

V

V = (R_s+R_g)I_v = R_vI_v

Pour que I_v soit négligeable, il faut que R_v soit grand.

(17)

Les instruments .4

Les instruments électroniques modernes remplacent les galvanomètres classiques par des systèmes à transistors à faible bruit et très grande résistance d'entrée.

La lecture se fait par des échelles à lecture digitale.

P. ex, les voltmètres peuvent avoir une résistance d'entrée de l'ordre du MΩ ou plus.

(18)

Théorie microscopique de la résistance

Le courant dans un conducteur est dû au mouvement moyen des électrons qui se déplacent entre les atomes.

En l'absence de champ électrique, le mouvement est

"thermique" avec vitesse moyenne

u

qui dépend de la température

u = u

(T).

Les e^- font fréquemment des collisions sur les

atomes, avec un libre parcours moyen indiqué par λ.

λ En présence d'un champ E, donc d'une force électrique, les trajectoires sont légèrement

modifiées, ce qui, macroscopiquement, produit un courant.

E δx

y x

(19)

19

Théorie microscopique de la résistance .2

On applique une différence de potentiel V aux extrémités d'un fil de longueur L. On suppose le champ uniforme le long du fil:

E = V/L

V L'accélération sur un e^- vaut a = F/m = eE/m = eV/Lm Si δt est le temps moyen entre deux collisions,

la vitesse v de dérive moyenne vaut:

v = (0 +

a

δt)/2 =

a

δt / 2

On peut estimer δt = λ/u, où u est la vitesse

thermique moyenne et λ le libre parcours moyen.

Donc, la vitesse de dérive vaut:

v = eV Lm

1 2

λ u

E

(20)

20

Théorie microscopique de la résistance .3

Si le fil a une section A et qu'il y a n e^- par m³, le courant I vaut:

€

I = envA = en eV Lm

1 2

λ

u A = 1

2 n e² Lm

λ

u AV

On a donc la proportionnalité I-V, comme indiqué par la loi d'Ohm.

€

V = RI ⇒ R = 2Lmu ne²λA

€

R = ρL /A ⇒ ρ = 2mu ne²λ et

(21)

Théorie microscopique de la résistance .4

€

ρ = 2mu ne

²

λ

Notre prédiction sur la résistivité

indique que le passage du courant est favorisé quand il y a beaucoup d'e^- libres, c. à d. n grand.

Idem pour le libre parcours moyen λ.

De plus, l'augmentation de la température augmente la résistivité car u augmente. De plus l'agitation thermique du réseau diminue λ, ce qui augmente aussi la fréquence des chocs.

(22)

Circuits RC

Ce sont des circuits avec résistances et condensateurs.

Au moment où l'interrupteur I est fermé, un courant circule à travers R pour amener des

charges sur le condensateur C.

Le courant s'arrête quand la capacité C est chargée à un voltage qui est égal à celui de la batterie:

R C

+ -

I

V_g

Si C était initialement déchargé, la quantité de charge à apporter sera Q = CV_g au total.

R C

+

- V=V_g

V_g

- + situation à t=∞

(23)

23

Circuits RC .2

A un temps t quelconque, on a la situation suivante:

I

R C

+

- V_C

V_g

- + V_R

I, V_R et V_C sont des fonctions de t et on a V_R(t) + V_C(t) = V_g

€

V_g = RI(t) + Q(t) C

d'où on tire: où Q(t) est la charge

accumulée dans C

Un changement dQ de la charge dans C, en un temps dt, est dû à un courant I(t) = dQ/dt, d'où l'équation différentielle:

V_g = R dQ

dt + Q C

supposé constante

(24)

24

Circuits RC .3

€

Q

C + R dQ

dt −V_g = 0 Q

RC + dQ

dt − V_g

R = 0 la solution est du type

€

Q(t) = ae^bt + k

€

dQ /dt = abe^bt on remplace

€

a

RCe^bt + k

RC + abe^bt − V_g

R = 0

on égalise les termes qui ne dépendent pas de t:

€

k

RC − V_g

R = 0 ⇒ k = CV_g

... et les termes qui dépendent de t:

€

a

RC e^bt + abe^bt = 0 ⇒ b = − 1 RC d'où

a, b, k constantes à déterminer

(25)

Circuits RC .4

€

Q(t) = ae⁻^{t / RC} + CV_g

Conditions limites:

pour t = 0 la charge doit être nulle

€

Q(0) = ae^{−0 / RC} + CV_g = a + CV_g = 0 ⇒ a = −CV_g Q(t) = CV_g

(

1− e⁻^{t / RC}

)

En conclusion:

(26)

Circuits RC .5

€

Q(t) = CV_g

(

1− e⁻^{t / RC}

)

La charge dans C au cours du temps vaut donc:

On peut aussi tirer I(t)=dQ/dt

€

I(t) = V_g

R e⁻^{t / RC} = I₀e⁻^{t / RC} ici I₀ représente le courant au temps t=0

Q(t) Exemple C=1 I(t) V_g=2, R=3

CV_g V_g/R

t t