Groupes et géométrie, feuille 3
N. Perrin
À rendre le mardi 02.03.2021 Correction le mardi 09.03.2021
Exercice 1 (10 Points) Le groupe(Q,+) est-t-il monogène ? Exercice 2 (10 + 10 = 20 Points) Soitnun entier non nul.
• Donner tous les morphismes de groupesZ/nZ→Z.
• Donner tous les morphismes de groupesZ→Z/nZ.
Exercice 3 (10 + 10 = 20 Points) SoitGun groupe.
(i) Montrer que siGest cyclique, tout sous-groupeH deGest aussi cyclique.
(ii) Si tout sous-groupeH deGest cyclique, le groupeGest-il cyclique ? Exercice 4 (3×10 = 30 Points) On rappelle que le centre d’un groupeGest défini parZ(G) ={g∈G|gh=hgpour touth∈H}. On rappelle également queSn est le groupe des permutations de l’ensemble[1, n] ={1,· · · , n}.
(i) DéterminerZ(S1)etZ(S2).
(ii) On suppose quen≥3. Soitσ∈Sn tel queσ6= Id et soienti, j ∈[1, n]
tels queσ(i) =j 6=i. Soit k∈ [1, n]\ {i, j} (c’est posible car n≥3) et soit τi,k la transposition qui échange i et k (c’est la bijection de [1, n]
dans lui-même qui échangeietket laisse tous les autres éléments fixes).
Calculerσ(τi,k(i))et τi,k(σ(i)).
(iii) Montrer que sin≥3, alorsZ(Sn) ={Id}. Exercice 5 (10 + 10 = 20 Points)
(i) Déterminer tous les groupes d’ordre inférieur ou égal à5. En déduire qu’un groupe non commutatif possède au moins6éléments.
(ii) Donner un exemple de groupe ayant6éléments et non commutatif (on pourra s’aider de l’Exercice4).
1
