Thème 10 – Compléments sur les calculs de dérivée

Terminale S Dérivation 2

Thème 10 – Compléments sur les calculs de dérivée

Proposition 1 : Dérivation de fonctions composées : Cas particuliers

Dans le tableau ci-dessous, la fonction u est définie et dérivable sur un intervalle I de R et on suppose que les fonctions mentionées sont bien définies.

Fonction Fonction dérivée

e^u u^′e^u

ln(u) u^′

u uⁿ avec n∈Z^⋆ nu^′uⁿ⁻¹

√u u^′

2√ u

Exercice résolu 1 :

Déterminer la dérivée de chacune des fonctions suivantes : 1. f1(x) =e^−2x+3

2. f2(x) = ln(5x+ 10) sur ]−2; +∞[ 3. f3(x) = (2x+ 3)⁶

4. f4(x) =√

2x+ 1 sur ]−2; +∞[ 5. f5(x) = e^(2x+3)4

Solution :

1. f₁^′(x) =−2e^−2x+3. 2. f₂^′(x) = 5

5x+ 10 = 1 x+ 2.

3. f₃^′(x) = 6×2×(2x+ 3)⁵= 12(2x+ 3)⁵. 4. f4(x) = 2

2√

2x+ 1 = 1

√2x+ 1. 5. f5(x) = 4×2×(2x+ 3)³×e^(2x+3)4

Proposition 2 : Fonctions composées de la formef(ax+b)

Soientf est une fonction définie et dérivable sur un intervalle I de R. Siaetb sont deux réels tels que la fonction x 7→ f(ax+b) soit bien définie, alors la fonction dérivée de cette fonction est la fonction

x7→af^′(ax+b).

Exemples :

• On admet que la dérivée de la fonction sinus est la fonction cosinus.

Soitf la fonction définie surRparf(x) = sin(2t+^π₃) (oscillateur harmonique).

On a alorsf^′(x) = 2 cos(2t+^π₃).

• Soitf la fonction définie surRparf(x) =xe^x. Sa fonction dérivée est définie parf^′(x) =e^x+xe^x. Par conséquent, la fonction dérivée de la fonctiongdéfinie par g(x) =f(2x−1) = (2x−1)e^2x−1 est définie parg^′(x) = 2 e^2x−1+ (2x−1)e^2x−1

.

Théorème 1 : Formule générale

Soientf etudeux fonctions définies et dérivables telle que la fonction composéex7→f(u(x))existe.

La dérivée de cette fonction est la fonction

x7→u^′(x)×f^′(u(x)).

Remarque : Cette formule permet de retrouver toutes les formules du chapitre.