Chapitre 6 MOD 3
Courbe de Bezier
À la fin de ce chapitre, vous devez être capable de :
• Étudier et construire une courbe de Bézier définie par vecteurs et contraintes.
• Définir (sous forme paramétrique), étudier et construire une courbe de Bé- zier définies par des points de contrôle.
• Construire un point de la courbe par barycentres successifs.
• Déterminer un vecteur tangent en un point d’une courbe de Bézier.
Introduction.
6.1
Í
Courbes définies par barycentres successifs.« L’industrie crée des objets dont il faut définir la forme, plane ou dans l’espace : au- tomobiles, avions, électroménager. . .Jusqu’à il y a une trentaine d’années, on créait des maquettes, à une échelle donnée de l’objet. Les modifications obligeaient à en créer plu- sieurs, ce qui entraînait des problèmes de coût et de durée. Et l’informatique arriva. . .et fit appel aux mathématiques.
C’est dans les bureaux d’études de constructeurs automobiles ou aéronautiques que furent inventés les modèles mathématiques capables de favoriser la création et la modélisation des formes. »
J.-P. Pouget, dans Repères IREM, no14 Nous allons étudier un modèle créé vers 1962 par Pierre Bézier, ingénieur chez Renault.
Ce type de modèle est à la base de la Conception Assistée par Ordinateur (CAO). L’enjeu est de pouvoir créer des courbes répondant à certaines contraintes de façon simple.
Partie A – Construction d’un segment À l’aide du logiciel Geogebra :
1. Placer 2 points A et B.
2. Créer un curseur t allant de 0 à 1, et ce de 0,01 en 0,01.
3. Créer le point M, barycentre de (A, t) et B(1−t). (Dans la barre de saisie, entrer la commande : M=barycentre[{A,B},{t,1-t}]).
4. Activer la trace du point M, puis modifier la valeur de t à l’aide du curseur.
Quel est l’ensemble décrit par le point M lorsque t varie entre 0 et 1 ? Partie B – Construction d’un arc de parabole
À l’aide du logiciel Geogebra, sur une nouvelle figure : 1. Placer 3 points A, B et C.
2. Créer un curseur t allant de 0 à 1, et ce de 0,01 en 0,01.
3. Créer les barycentres suivants :
• N1, barycentre de (A, t) et B(1−t).
• N2, barycentre de (B, t) et C(1−t).
• M, barycentre de (N1, t) et N2(1−t).
4. Activer la trace du point M, puis modifier la valeur de t à l’aide du curseur.
Observer et compléter les remarques suivantes :
• Les pointsM(t) décrivent une courbe de degré . . .qui commence en . . .et se finit en . . ..
• La courbe a pour tangente initiale la droite . . .et pour tangente finale la droite . . ..
• Plus genéralement, en tout point M, la tangente à la courbe est le segment . . .
• Le pointM(t) se situe sur le segment [. . . .] à la même proportion queN1 par rapport au segment [. . . .] ou N2 par rapport au segment [. . . .]
5. Désactiver la trace deM et utiliser la commandelieu[M,t] pour afficher la position de tous les points M lorsque t varie entre 0 et 1.
Déplacer le point B et observer les effets sur la courbe.
Partie C – Construction d’un arc de cubique
À l’aide du logiciel Geogebra, sur une nouvelle figure, placer 4 points A, B, C, et D: 1. Placer les barycentres M1, M2, M3, N1,N2 et M définis par le schéma suivant :
D C B A
M1(t)
M2(t)
M3(t)
N1(t)
N2(t)
M(t)
1−t
t
1−t
t
1−t
t
1−t
t
1−t
t
1− t
t
2. Créer le lieu de points M lorsque t varie entre 0 et 1 avec la commande lieu(M,t) 3. Compléter :
Les points M(t) décrivent une courbe de degré . . .qui commence en . . .et se finit en . . ..
La courbe a pour tangente initiale la droite . . .et pour tangente finale la droite . . ..
4. Déplacer les 4 points A, B, C et D pour former :
• une courbe ressemblant à la courbe de la fonction x3;
• une courbe ressemblant à la lettre α;
• une courbe avec un point de rebroussement (comme le point médian dans le chiffre 3).
Partie D – Paramétrisation des courbes
À l’aide du logiciel Xcas :
1. Définir les points A:= [−2,2],B := [2,−2] et M :=t×A+ (1−t)×B.
2. Tracer la courbe des pointsM avec la commande paramplot(M[0]+i×M[1],t=0..1) et vérifier que l’on obtient bien le segment [AB].
3. Adapter la feuille de calcul pour avoir la courbe de Bézier associée aux points A:= [−2,2], B := [2,−2] et C := [3,5].
4. En utilisant l’arbre donné dans la partie C, trouver un moyen pour obtenir le point M directement à partir des pointsA, B, C etD.
Remarques : voir Wikipedia pour les multiples applications des courbes de Bezier.
6.2 Modèle Barycentrique.
Dans un repère orthonormé, on considère les points A(1; 3), B(3; 6), et C(7; 9).
1. Soit t un nombre compris entre 0 et 1. On considère le point N1(t) barycentre de (A; 1−t) et (B;t) et le point N2(t) barycentre de (B; 1−t) et (C;t).
a. Montrer que le point N1(t) a pour coordonnées (1 + 2t ; 3 + 3t).
b. Montrer que le point N2(t) a pour coordonnées (3 + 4t ; 6 + 3t).
2. Soit t un nombre compris entre 0 et 1. On considère le point M(t) barycentre de (N1(t); 1−t) et (N2(t);t).
a. Montrer que le point M(t) a pour coordonnées (2t2+ 4t+ 1 ; 3 + 6t).
b. Dresser le tableau des variations conjointes de x(t) et y(t).
c. Tracer la courbe C de l’ensemble des points M(t) obtenus lorsque t parcourt l’intervalle [0 ; 1].
d. Vérifier que :
i. la courbe commence en Aet fini en C; ii. la droite (AB) est tangente à C en A iii. la droite (BC) est tangente àC en C;
iv. la droite (N1(t)N2(t)) est tangente à C en M(t).
6.3 Modèle par vecteurs et contraintes.
Le plan est muni d’un repère orthonormal (O;~i,~j).
On considère les vecteurs
−→
V0 1 3
!
; −V→1 2 3
!
et −V→2 4 3
!
On admet que la courbe de Bézier C définie par contrainte des trois vecteurs −V→0, −V→1, et
−→
V2 a pour représentation paramétrique
−−−−−−−→
OM(t) =−V→0+ (−t2+ 2t)−V→1+t2−V→2. où le nombre réel t varie dans [0; 1].
1. Exprimer, en fonction de t, les coordonnéesx(t) et y(t) de M(t).
2. Vérifier que : a. −OM−−−−−−→(0) =−V→0
b. −OM−−−−−−→(1) =−V→0+−V→1+−V→2
c. le vecteur −V→1 est un vecteur directeur de la tangente à la courbe enM(0).
d. le vecteur −V→2 est un vecteur directeur de la tangente à la courbe enM(1).
3. Lien avec le modèle Barycentrique.
a. Vérifier que la courbe définie dans cet exercice est identique à celle obtenue dans l’exercice précédent.
b. En reprenant les points A,B etC définis dans l’exercice précédent, vérifier que l’on a :
i. −OA−−−−→=−V→0 ii. −AB−−−−→=−V→1 iii. −BC−−−−→=−V→2
Remarque : Le lien entre approche par vecteurs et contraintes d’une part et par points de contrôle d’autre part n’est pas particulier à cet exercice mais valable d’une façon générale.
Étude de courbes de Bézier
6.4 Polynômes de Berstein.
On rappelle que les polynômes de Bernstein de degré 3 sont les fonctions polynômes définies par :
Bi,3(t) = 3!
i!(3−i)!ti(1−t)3−i 1. Développer et réduire les polynômes de Berstein :
B0,3(t) ; B1,3(t) ; B2,3(t) et B3,3(t) 2. Vérifier que
3
X
i=0
Bi,3(t) = 1.
6.5 On considère les pointsP0(0; 0),P1(1; 2),P2(2; 0) etP3(−1; 0) et on noteC la courbe de Bézier associée à ces 4 points de contrôle.
On rappelle que la courbe de Bézier associée aux points de définition Pi(0 6 i 6 3) est l’ensemble des points M(t) tels que :
−−−−−−−−−−−−−→
OM(t) =
3
X
i=0
Bi, 3(t)−OP−−−−−→i oùBi, 3(t) = Ci3ti(1−t)3−i.
1. Montrer queC admet pour représentation paramétrique :
( x(t) = −4t3+ 3t y(t) = 6t3−12t2+ 6t 2. Établir le tableau des variations conjointes.
3. Dans le repère orthonormal (O;~i,~j) placer les points M(12) et M(13) et leurs tan- gentes respectives, puis construire la courbe C.
4. Vérifier que la droite (P0P1) est tangente à C en P0 et que la droite (P2P3) est tangente àC en P3.
6.6 Le plan est muni d’un repère (O;~i,~j).
On considère les points P0(0; 0), P1(1; 2),P2(3; 2) etP3(4; 0).
1. Déterminer une représentation paramétrique de la courbeC de Bézier associée aux 4 points de contrôle P0, P1, P2 et P3.
2. Établir le tableau des variations conjointes.
3. Préciser les points où la tangente est parallèle à l’un des axes du repère.
4. Tracer la courbe de Bézier dans le repère (O;~i,~j).
5. Reprendre les questions précédentes avec : a. P0(0; 0), P1(−1; 2), P2(3; 1) et P3(0; 0).
b. P0(0; 0), P1(2; 2), P2(0; 2) et P3(2; 0).
6.7 Raccordement de deux courbes.
On considère les points P0(0; 0), P1(1; 1),P2(3; 0), P3(5;−1) etP4(1;−1).
Le plan est rapporté à un repère (O;~i,~j).
1. Soit C1 la courbe de Bézier associée à P0,P1 et P2. a. Déterminer une représentation paramétrique de C :
( x = f1(t) y = g1(t) b. Établir le tableau des variations conjointes de f1 etg1.
c. Tracer C1.
2. Soit C2 la courbe de Bézier associée à P2,P3 et P4. a. Déterminer une représentation paramétrique de C2 :
( x = f2(t) y = g2(t) b. Établir le tableau des variations conjointes de f2 etg2.
c. Tracer C2 dans le même repère que précédemment.
3. Vérifier qu’en P2,C1 et C2 ont la même tangente.
Annales
6.8 France 2014 CPI
Dans le repère (O;~i,~j), on se donne les points O, A, B, C et F de coordonnées : O(0 ; 0),A(−5 ; 3),B(−2 ; 4),C(−4 ; −5) et F2 ; 5
2
. Le point E est le symétrique du point C par rapport au point O.
La courbe de Bézier C1 est obtenue à partir des quatre points, de définition A, B, C et O dans cet ordre.
La courbe de Bézier C2 est obtenue à partir des quatre points de définition O, E, A et F dans cet ordre.
Partie A – Tracé de l’arc de courbeC1.
1. Sur le graphique ci-dessous, placer les points A, B, C et O puis les tangentes à la courbe C1 aux points A et O.
2. Pour tout t appartenant à l’intervalle [0 ; 1], on note M1(t) le point de paramètre t de la courbe C1. Sur le graphique, les points M114 et M112 sont déjà placés.
Pour chaque valeur de t ∈ [0 ; 1], l’algorithme de construction par barycentres successifs (appelé algorithme de De Casteljau) permet de construire le pointM1(t).
Utiliser cet algorithme pour construire M1(t).On laissera apparents les traits de construction.
3. À l’aide des éléments construits, tracer l’allure de la courbe C1.
1 2 3 4 5
−1
−2
−3
−4
−5
1 2 3 4 5 6 7 8 9
−1
−2
−3
−4
−5
−6
−7
−8
−9
b b
M1(1/4)
M1(1/2)
Partie B – Étude et tracé de l’arc de courbeC2.
Pour tout t appartenant à l’intervalle [0 ; 1], on note M2(t) le point de paramètre t défi- nissant la courbe de Bézier C2.
On rappelle que les polynômes de Bernstein Bi,3 de degré 3, pour iprenant les valeurs 0, 1, 2 ou 3, sont définis pour tout t appartenant à l’intervalle [0 ; 1] par :
Bi,3(t) = 3!
i!(3−i)!ti(1−t)3−i.
Comme l’origine du repère est un des points de définition les points M2(t) sont donc définis, par la relation vectorielle simplifiée :
−−−−−−−−−−−−−−−→
OM2(t) =B1,3(t)−OE +−−−→ B2,3(t)−OA +−−−→ B3,3(t)−OF,−−−→ pourt ∈[0 ; 1].
1. Déterminer les coordonnées du point E. Placer les points E et F sur le graphique de la partie A.
2. Développer, réduire et ordonner le polynôme B2,3(t).
3. On admet que, pour tout t appartenant à l’intervalle [0 ; 1], on a : B0,3(t) = −t3+ 3t2 −3t+ 1
B1,3(t) = 3t3 −6t2+ 3t B3,3(t) = t3.
Montrer que l’abscisse x du point M2(t) de la courbeC2 admet pour expression : x=f(t) = 29t3−39t2+ 12t, pourt∈[0 ; 1].
4. a. Calculer f′(t) où, f′ est la dérivée de la fonctionf, définie sur l’intervalle [0 ; 1]
par f(t) = 29t3−39t2+ 12t. On admet que la fonction f est dérivable.
b. Résoudre l’équation f′(t) = 0 sur l’intervalle [0 ; 1]. Donner une valeur appro- chée à 10−2 près des deux solutions que l’on nommera t1 et t2 avec t1 < t2. c. On admet que l’ordonnée y du pointM2(t) de la courbeC2 a pour expression :
y=g(t) = 8,5t3−21t2+ 15tpourt∈[0 ; 1].
On admet également que la fonction g ainsi définie est strictement croissante sur l’intervalle [0 ; α[, décroissante sur l’intervalle [α ; 1], où α ≈ 0,52, que f(α)≈ −0,23, et que g(α)≈3,32 à 10−2 près.
Dresser le tableau des variations conjointes des fonctions f et g sur l’intervalle [0 ; 1].
5. À l’aide du tableau des variations conjointes précédent, préciser le ou les points de la courbe C2 où la tangente est parallèle à l’axe des abscisses.
Préciser également le ou les points de la courbe C2 où la tangente est parallèle à l’axe des ordonnées.
6. Compléter le tableau de valeurs des fonctionsf etg donné ci-dessous. Les résultats seront donnés à 10−2 près.
t 0 0,10 0,20 0,30 0,52 0,70 0,80 0,90 1
f(t) 0 −0,23
g(t) 0 3,32
7. Tracer les tangentes à la courbe C2, aux points M2(0), M2(t1), M2(α), M2(t2) et M2(1), puis tracer la courbe C2 ,sur la figure de la partie A.
Partie C – Étude de la réunion des deux courbes
1. Les deux courbesC1etC2 se raccordent en O. Montrer qu’elles ont même tangente en ce point
2. Si on change les coordonnées de l’un des points de définition autre que le point O d’une des deux courbes, les courbes C1 etC2 ont-elles toujours même tangente au point O ? Justifier votre réponse.
3. La boucle de la lettre « v » minuscule ne satisfait pas au concepteur. Pour remédier à cela, il décide de déplacer le point F en F′(2 ; 2) sans bouger les autres points de définition.
Indiquer l’impact que ce déplacement a sur la taille de la boucle du « v » minuscule.
On ne fera aucun calcul pour répondre à cette question.
6.9 France 2013 CPI
Soit m un réel strictement positif dont on ne connait pas la valeur.
On considère les points P0(0 ; 0), P1(1 ; m) et P2(3 ; 0) dans un repère orthogonal (O;~u, ~v) d’unité graphique 4 cm sur l’axe des abscisses et 2 cm sur l’axe des ordonnées.
On remarque que P0 est égal à O, origine du repère.
On considère la courbe de Bézier définie par les points de définition P0, P1, P2. Soit t un réel variant entre 0 et 1.
On pose B0,2(t) = (1−t)2, B1, 2(t) = 2t(1−t) et B2, 2(t) =t2.
On rappelle que la courbe de Bézier définie par trois points de définition P0, P1, P2 est décrite par le point M(t) qui satisfait à l’égalité vectorielle
−−−−−−−→
OM(t) =
2
X
i=0
Bi,2(t)−OP−−−−−→i.
Comme m est variable on a une famille de courbes de Bézier de paramètre m.
On note Γm la courbe de Bézier associée au paramètre m.
Partie A – Travail graphique
1. On prend m= 8. Placer les points P0, P1 et P2 sur le graphique donné plus bas.
2. Quels sont les éléments géométriques que vous pouvez déjà donner pour la construc- tion de la courbe de Bézier définie par ces trois points de contrôle ?
3. Construire graphiquement (par la méthode des barycentres ou par toute autre méthode) le point M12
de cette courbe.
4. À l’aide des questions 2. et 3. tracer l’allure de Γ8, la courbe de Bézier correspondant à m= 8.
5. On prend maintenantm= 1,5. Placer, sur le même graphique, les nouveaux points P1 et M12 correspondant à cette valeur de m.
6. Tracer l’allure de Γ1,5.
1 2 3 4 5 6 7 8
−1
0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5
m = 8
Partie B – Travail numérique
Soit le point A(1 ; 2). On se demande s’il existe une courbe de la famille de courbes Γm
qui passe par le point A.
1. Placer le point A sur le graphique. Au vu des deux courbes tracées dans la partie A, que peut-on supposer sur la valeur de m?
2. Démontrer que les coordonnées de M(t) parcourant Γm sont :
( x(t) = t2 + 2t
y(t) = m×2t(1−t) On remarque que l’ordonnée de M(t) dépend de t et de m.
3. Justifier que l’on est conduit à résoudre le système de deux équations à deux inconnues t etm suivant :
( t2+ 2t−1 = 0 (1) 2mt(1−t) = 2 (2)
4. On calcule d’abord les valeurs de t possibles. Pour cela, résoudre l’équation (1) pour t variant dans [0 ; 1].
En déduire qu’il existe une unique solutiont0 dont on donnera la valeur exacte.
5. Remplacer t par t0 dans l’équation (2). En déduire qu’il existe une seule valeur de m possible que l’on notera m0. En déterminer une valeur approchée à 10−3 près.
6. Y a-t-il une courbe de la famille Γm qui passe par le point A ? Si oui, laquelle ?
Partie C – Vérification
Pour la suite de l’exercice, on choisit pour mla valeur m0 = 4,12. On considère la courbe de Bézier Γm0.
1. Un tableau de valeurs (t, x(t), y(t)), établi pour la valeur m = m0, est proposé ci-dessous.
Compléter ce tableau à l’aide de la calculatrice. Donner les résultats arrondis à 10−2.
On ne demande pas d’étudier les variations conjointes de x(t) et y(t).
A B C
2 0 0 0
3 0,1 0,21 0,74
4 0,2 0,44 1,32
5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
2. Tracer Γm0 avec soin dans le repère donné ci-dessous.
1 2 3 4 5 6 7
−1 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0
m
0= 4, 12
6.10 France 2012 CPI
Partie A
Dans le repère orthonormal (O;~i,~j) d’unité graphique 1 cm, on considère les courbes de Bézier C1 définie par les 3 points de définition P0, P1 et P2 avec P0(0 ; 0), P1(4 ; 4) et P2(8 ; 0) etC2 définie par les 3 points de définitionP3, P4 etP5 avec P3(4 ; 0), P4(8 ; 4) et P5(12 ; 0) (voir graphique).
On rappelle que la courbe de Bézier C définie par 3 points de définition P0, P1 et P2 est l’ensemble des points M tels que −OM−−−−−−−−−−−(t) =−→
i=2
X
i=0
Bi,2
−−−−−−→
OPi, t∈[0 ; 1] où : B0,2(t) = (1−t)2, B1,2(t) = 2t(1−t), B2,2(t) =t2.
1. Utiliser la méthode barycentrique pour construire avec soin, en laissant les traits de construction, le pointM1
1 3
point deC1 de paramètre t= 1
3 sur le graphique ci-dessous.
1 2 3 4 5
−1
−2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
−1
+ + + +
+ +
P0
P1
P2 P3
P4
P5
2. Démontrer que, pour t∈[0 ; 1], un système d’équations paramétriques de C1 est :
( x1(t) = 8t y1(t) = 8t−8t2
3. Étudier les variations de x1 et y1 sur [0 ; 1] et rassembler les résultats dans un tableau unique.
4. a. À l’aide de votre calculatrice, compléter le tableau de valeurs donné ci-dessous.
t 0 0,2 0,4 0,6 0,75 0,8 0,9 1
x1(t) y1(t)
b. Compléter le tracé de C1 sur le graphique de la question 1.
Pour la suite de l’exercice, on admet que pour t ∈ [0 ; 1], un système d’équations para- métriques de C2 est :
( x2(t) = 4 + 8t y2(t) = 8t−8t2
On note I le point d’intersection de C1 etC2, de coordonnées 6 ; 3 2
.
5. a. Placer le point I sur le graphique. Déterminer par le calcul le paramètre corres- pondant à I sur C1.
b. On considère maintenant C2. Déterminer par le calcul le paramètre correspon- dant à I sur C2.
Partie B
On considère la courbe C1 de la partie A dont une représentation paramétrique est .
( x = 8t y = 8t−8t2 pour t appartenant à [0 ; 1].
1. a. Montrer que : y1(t) =x1(t)− 1
8(x1(t))2. b. L’arc C1 est-il un arc de parabole ? Justifier.
2. On pose f(x) =x−1 8x2. a. Soit J =Z 8
6 f(x) dx. Calculer la valeur exacte de J.
b. Interpréter J à l’aide de l’aire d’une partie de plan à préciser
c. En déduire, en cm2 l’aire du domaine hachuré sur le graphique donné à la question 1. (on pourra utiliser la symétrie de C1 et C2 par rapport à la droite d’équation x= 6).
Partie C
Un mobile M a pour trajectoire, entre les instants t = 0 et t = 1, un arc C dont une représentation paramétrique dans un repère orthonormal est
( x(t) = 8t y(t) = 8t−8t2
On note −V−−−−−(t) le vecteur vitesse de−→ M à l’instant t, c’est-à-dire le vecteur −V−−−−−(t) de coor-−→ données (x′(t), y′(t)) où x′ et x′ sont les fonctions dérivées de x et de y sur l’intervalle [0 ; 1].
1. a. Justifier que −V−−−−−(t)−→ 8 8−16t
!
. b. Montrer que
−−−−−−−→
V(t)
2
= 128×(2t2−2t+ 1).
2. On considère la fonction f définie sur [0 ; 1] par f(t) = 128×(2t2−2t+ 1).
Établir son tableau de variation,
3. Déterminer le minimum de f sur [0 ; 1] et la valeur de t correspondante.
4. En déduire à quel instant t la vitesse du mobile, c’est-à-dire
−−−−−−−→
V(t)
, est minimale et déterminer cette vitesse minimale.
