Temps de parcours

(1)

GML6201A –

Techniques g´ eophysiques de haute r´ esolution –

Radar g´ eologique (incomplet)

Bernard Giroux

giroux@geo.polymtl.ca

Ecole Polytechnique de Montr´ ´ eal

(2)

Principes et théorie générale

●Introduction

●Principe g´en´eral

●Propagation des ondes EM

●Courants de d´eplacements

●Param`etres effectifs

●Vitesse et att´enuation

●Transition

diffusion–propagation

●Impédance électromagnétique Propriétés des ondes EM Propriétés des matériaux Instrumentation

Planification des levés radar Références

Principes et th´ eorie g´ en´ erale

(3)

●Introduction

●Transition

Introduction

■ Que voit le radar g´eologique (ou g´eoradar) ?

◆ Des ondes électromagnétiques (EM) réfléchies par des

structures présentant un contraste de permittivité diélectrique.

■ Radar g´eologique et g´enie :

◆ hydrog´eologie ;

◆ d´etection de cavit´es ;

◆ d´etection de tuyaux et bidons ;

◆ inspection des ouvrages d’art ;

◆ arch´eologie ;

◆ glaciologie et permafrost ;

◆ d´etection de zones de roc fractur´e ;

◆ ´etude stratigraphique du Quaternaire.

(4)

●Introduction

●Transition

Principe g´ en´ eral

■ Une impulsion EM de haute fr´equence est ´emise par une antenne ;

■ Cette impulsion induit une onde EM qui se propage dans le sol ;

■ L’énergie réfléchie et réfractée est enregistrée à une antenne réceptrice ;

■ La mesure de cette onde permet de construire une image du sous-sol.

Position

Te m ps de par cours

(5)

●Introduction

●Transition

Propagation des ondes EM

■ La propagation des ondes électromagnétiques est régie par les

´equations de Maxwell :

∇ × E = − ∂ B

∂t (1)

et

∇ × H = ∂ D

∂t + J , (2)

o` u

◆ E est le champ ´electrique ;

◆ H est le champ magn´etique ;

◆ D est la densit´e de flux ´electrique ;

◆ B est la densit´e de flux magn´etique ;

◆ J est la densit´e de courant.

(6)

●Introduction

●Transition

Propagation des ondes EM

■ Les flux et champs sont reliés aux propriétés physiques par les

´equations constitutives :

D = E , (3)

B = µ H , (4)

ainsi que la loi d’Ohm (courants de conduction)

J _c = σ E , (5) o` u

◆ est le tenseur de permittivit´e di´electrique ;

◆ µ est le tenseur de perméabilité magnétique ;

◆ σ est le tenseur de conductivit´e ´electrique.

■ Dans un milieu isotrope, , µ et σ sont scalaires (, µ et σ).

■ , µ et σ peuvent ˆetre des grandeurs complexes.

(7)

●Introduction

●Transition

Courants de d´ eplacements

■ Si la densité de flux électrique D varie, les charges liées d’un diélectrique se déplacent ;

- +

∂ D/ ∂ t

Densité de flux D constante

Densité de flux variable

Variation de D terminée

■ A ce déplacement de charge correspond ce qu’on a nommé le ` courant de déplacement ;

■ Aux fr´equences radar, ces courant dominent ;

■ Le courant de déplacement est proportionnel à la permittivité et au taux de variation du champ électrique ;

J _d = ∂ D

∂t = ∂ E

∂t . (6)

(8)

●Introduction

●Transition

Param` etres effectifs

■ Le courant total dans le sol est la somme des courants de conduction et de d´eplacement :

J = J _c + J _d = σ E + ∂ E

∂t . (7)

■ Dans le domaine de Fourier, on a

J = (σ + iω) E . (8)

■ De fa¸con générale, σ et sont des variables complexes et sont fonctions de la fréquence f (ω = 2πf ) :

◆ σ = σ ⁰ + iσ ⁰⁰ ; = ⁰ − i ⁰⁰ .

■ En introduisant ces d´efinitions dans (8), on trouve

J = (σ _e + iω _e ) E (9)

◆ σ _e = σ ⁰ + ω ⁰⁰ ; _e = ⁰ + σ ⁰⁰ /ω.

■ σ _e et _e sont les param`etres effectifs, ce que l’on mesure en labo.

(9)

●Introduction

●Transition

Vitesse et att´ enuation

■ Les équations de Maxwell peuvent se récrire sous la forme de l’équation d’onde

∇ ² E = − k ² E , (10) o` u k est le nombre d’onde

k ² = ω ² µ − iωµσ. (11)

■ Le terme k, qui décrit la vitesse et l’atténuation de l’onde, peut être récrit pour isoler ces deux caractéristiques :

k = β − iα, (12)

o` u β est la phase et α est l’att´enuation.

(10)

●Introduction

●Transition

Vitesse et att´ enuation

■ Les termes α et β peuvent s’´ecrire en fonction des param`etres effectifs

α = ω



 _e µ

2 

 s

1 +

σ _e ω _e

²

− 1









1 / 2

, (13)

β = ω



 _e µ

2 

 s

1 +

σ _e ω _e

²

+ 1









1 / 2

. (14)

■ Notons que l’onde EM se d´eplace avec une vitesse de phase v = ω

β . (15)

(11)

●Introduction

●Transition

Vitesse et att´ enuation

■ Sous certaines conditions, les relations (13) et (15) se simplifient ;

■ Il faut que l’angle de perte tan δ soit faible tan δ = σ _e

ω _e 1, (16)

ce qui est g´en´eralement le cas.

■ La vitesse de phase devient

v = 3 × 10 ⁸

√ κ [m/s], (17)

o` u κ = / ⁰ , ⁰ ´etant la permittivit´e du vide.

■ L’att´enuation devient

α = 1.69 σ

√ κ [dB/m], (18)

(12)

●Introduction

●Transition

Transition diffusion–propagation

■ Les ´equations de Maxwell d´ecrivent un couple de champs

´electrique et magn´etique qui varient dans le temps ;

■ La variation de l’un entraˆıne la variation de l’autre et ainsi de suite ;

■ Cette succession répétée fait que les champs se déplacent dans l’espace ;

■ Selon l’importance des pertes, les champs se d´eplaceront

◆ en mode diffusif (pertes non n´egligeables, J _c dominant) ;

◆ en mode propagatif (faibles pertes, J _d dominant) ;

◆ g´eoradar = mode propagatif.

■ On d´efini la transition au point o` u J _c = J _d .

f _t ωµσ

2 κ σ

propagation non dispersif diffusion

dispersif

log fréquence

lo g a tt é nua tion

f _t 2ω µσ

κ c

propagation non dispersif diffusion

dispersif

log fréquence

lo g vit esse

µ ₀

ε ₀

1

2

(13)

●Introduction

●Transition

Transition diffusion–propagation

■ La transition se fait à une fréquence qui est fonction des propriétés du sol.

Sol ou roche κ σ [mS/m] f t [MHz]

4 0.1 0.45

Sol sec 4 1 4.5

4 10 45

25 0.1 0.71

Sol humide 25 1 7.1

25 10 71

Granite 6 0.1 0.3

Calcaire 6 1 3

Glace 3.2 0.01 0.06

(14)

●Introduction

●Transition

Imp´ edance ´ electromagn´ etique

■ L’impédance électromagnétique est utilisée pour décrire le milieu dans lequel se propage l’onde EM ;

■ L’impédance électromagnétique Z est définie comme le rapport du champ électrique au champ magnétique :

Z = E

H . (19)

■ Elle est liée aux propriétés du milieu par Z =

r µ

+ i ^σ _ω . (20)

■ L’admittance est l’inverse de l’imp´edance

Y =

s + i _ω ^σ

µ . (21)

(15)

Propri´et´es des ondes EM

●Généralités

●Loi de Snell-Descartes

●Coefficient de r´eflexion

●R´esolution et d´etection

●R´eflexion d’une couche mince

●Réflexion et réfraction Propriétés des matériaux Instrumentation

Propri´ et´ es des ondes EM

(16)

G´ en´ eralit´ es

■ En mode propagatif, les champs EM se propagent comme des ondes, et peuvent ˆetre d´ecrits par

◆ un front d’onde (surface sur laquelle le champ est en phase) ;

◆ un rai (perpendiculaire au front d’onde, repr´esente le parcours de l’onde entre deux points).

source

rai front d'onde

■ L’approximation du rai est tr`es utile pour illustrer les concepts de

r´eflexion et r´efraction.

(17)

Loi de Snell-Descartes

■ Si l’onde radar rencontre une interface

◆ une partie de l’énergie est réfléchie ;

◆ une partie est r´efract´ee.

V ₁

V ₂

θ _r θ _i θ _i

rai incident rai réfléchi

rai réfracté

■ La loi de Snell-Descartes stipule que sin θ _i

sin θ _r = v ¹

v ² . (22)

■ Toute l’énergie est réfractée si l’angle est supérieur à θ _c = arcsin ^v _v ¹

2 .

(18)

Coefficient de r´ eflexion

■ Pour une incidente normale à l’interface entre deux unités, l’amplitude de l’onde réfléchie est donnée par le coefficient de réflexion

R = Z ¹ − Z ²

Z ¹ + Z ² . (23)

■ Pour diff´erents mat´eriaux :

Interface κ ¹ κ ² Z ¹ Z ² R

Air-sol sec 1 4 377 188 - 0.05

Air-sol humide 1 25 377 75 - 0.67

Sol sec - sol humide 4 25 188 75 - 0.43

Sol sec - rock 4 6 188 154 - 0.01

Sol humide - rock 25 6 75 154 + 0.34

Glace - eau 3.2 81 210 42 - 0.67

Sol humide - eau 9 81 126 42 - 0.5

Sol humide - air 9 1 126 377 + 0.5

Sol - M´ etal 9 126 ∞ 0 - 1

(19)

R´ esolution et d´ etection

■ Pouvoir de r´esolution

◆ capacit´e de s´eparer en profondeur deux horizons ;

◆ de l’ordre de λ/4 `a λ/2 selon la largeur de bande et le niveau de bruit.

■ Pouvoir de d´etection

◆ la plus petite couche qui puisse donner naissance `a une r´eflexion ;

◆ se situe entre λ/30 et λ/10.

■ R´esolution lat´erale

◆ capacit´e d’individualiser

latéralement deux événements ;

◆ reli´ee `a la zone de Fresnel ;

Zone de Fresnel

λ/4

■ Bref : plus la longueur d’onde est courte (et la fréquence élevée),

meilleure est la r´esolution.

(20)

R´ eflexion d’une couche mince

■ La réflexion causée par une couche mince déforme l’ondelette incidente ;

■ Soit le cas suivant

Sol 1

Sol 2

Sol 1

d

■ Si l’épaisseur d est inférieur à la longueur d’onde dans la couche mince

d λ ² ;

■ On peut montrer que le coefficient de r´eflexion vaut (Annan, 2001) R(ω) = iω

− R ¹² 1 − R ² 12

2d v ²

S (ω ) = iωCS (ω) (24)

o` u S(ω) est le spectre de la source (l’onde incidente).

(21)

R´ eflexion d’une couche mince

■ Dans le domaine du temps, on a ainsi que r(t) = C d

dt s(t); (25)

c’est-à-dire que l’onde réfléchie est la dérivée de l’onde incidente.

Onde incidente Onde réfléchie

(22)

R´ eflexion et r´ efraction

■ Soit un sol 2 couches, avec une antenne ´emettrice et une

antenne r´eceptrice en surface ;

■ La vitesse dans l’air est plus

élevée que la vitesse dans le sol (contrairement à ce qu’on

observe en sismique) ;

■ La vitesse dans la couche

vadose est plus élevée que dans la couche saturée ;

■ Selon la distance entre les antennes, on mesurera

◆ une onde a´erienne ;

◆ une onde directe ;

◆ une onde r´efl´echie ;

◆ une onde réfléchie et réfractée en surface.

onde aérienne

onde aérienne réfractée

onde réfléchie

onde directe

θ_c

temps

distance xc

onde aérienne (t - x/c)

onde aérienne réfractée (t - x/c + constante) onde directe

(t = x/v) onde réfléchie (t = (x²+4d²)^1/2/v)

d

couche 1 couche 2 air (v₀ = 0.3 m/ns)

sin θ_c = v₁/v₀

(23)

Principes et théorie générale Propriétés des ondes EM

Propriétés des matériaux

●Paramètres prépondérants

●Valeurs typiques

●Port´ee Instrumentation

Propri´ et´ es des mat´ eriaux

(24)

●Valeurs typiques

Param` etres pr´ epond´ erants

■ On a vu que l’angle de perte tan δ conditionne le mode de d´eplacement des champs EM ;

■ Les propri´et´es physiques qui influence l’angle de perte sont

◆ la permittivit´e di´electrique ;

◆ la conductivit´e ´electrique.

■ Ces deux paramètres sont très fortement influencés par la quantité d’eau contenu dans le sol.

■ En introduction du cours, on a vu que

◆ la formule d’Archie décrit la conductivité d’un milieu poreux imbibé d’eau ;

◆ l’´equation de Topp et al. ou le mod`ele CRIM permet que

calculer la permittivit´e effective d’un m´elange eau-solide.

(25)

●Valeurs typiques

Valeurs typiques

Mat´ eriau κ σ [mS/m] v [m/ns] α (dB/m)

Air 1 0 0.30 0

Eau distill´ ee 80 0.01 0.033 2xl0 ⁻ ³

Eau douce 80 0.5 0.033 0.1

Eau de mer 80 3xl0 ³ 0.01 103

Sable sec 3-5 0.01 0.15 0.01

Sable satur´ e 20-30 0.1-1.0 0.06 0.03-0.3

Calcaire 4-8 0.5-2 0.12 0.4-1

Schiste argileux 5-15 1-100 0.09 1-100

Silts 5-30 1-100 0.07 1-100

Argile 5-40 2-1000 0.06 1-300

Granite 4-6 0.01-1 0.13 0.01-1

Sel sec 5-6 0.01-1 0.13 0.01-1

Glace 3-4 0.01 0.16 0.01

(26)

●Valeurs typiques

Port´ ee

■ L’att´enuation est principalement fonction de la conductivit´e ;

■ L’atténuation conditionne la profondeur de pénétration admissible.

(27)

●Valeurs typiques

Port´ ee

■ Utilisation de l’att´enuation pour suivre un contaminant conducteur

(28)

Principes et théorie générale Propriétés des ondes EM Propriétés des matériaux

Instrumentation

●Composantes d’un syst`eme radar

●Caract´eristiques d’un syst`eme radar

●Facteur de performance

●Fr´equence centrale et largeur de bande

●Rayonnement des antennes

●Principaux fabricants Planification des levés radar Références

Instrumentation

(29)

Instrumentation

Composantes d’un syst` eme radar

■ Unit´e de synchronisation ;

■ Emetteur et son antenne ; ´

■ R´ecepteur et son antenne ;

■ Unit´e d’enregistrement et de visualisation.

visualisation

enregistrement

synchronisation

émetteur

antenne

récepteur

antenne

(30)

Instrumentation

Caract´ eristiques d’un syst` eme radar

■ Plusieurs param`etres influence la performance d’un syst`eme radar ;

■ Les principaux sont :

1. le facteur de performance ;

2. la fr´equence centrale de l’ondelette ; 3. la largeur de bande ;

4. la traitement du signal ;

5. le diagramme de rayonnement des antennes.

■ Certains de ces param`etres sont influenc´es par les conditions de terrain ;

■ Ces param`etres ont une incidence sur l’interpr´etation qu’il sera

possible de faire `a partir des mesures radar.

(31)

Instrumentation

Facteur de performance

■ Le facteur de performance du syst`eme, Q, est d´efini Q = 10 log 10

Puissance de la source

Puissance du bruit au r´ecepteur

dB Q = 20 log 10

Voltage à l’émetteur Voltage au récepteur

dB (26)

■ C’est le facteur prépondérant dans la détermination de la portée

du syst`eme radar.

(32)

Instrumentation

Facteur de performance

■ Influence du facteur de performance sur la port´ee, en fonction de

l’att´enuation

(33)

Instrumentation

Fr´ equence centrale et largeur de bande

0 5 10 15 20

0 0.5 1 1.5

Enveloppe spatiale

0 50 100 150 200

−1.5

−1

−0.5 0 0.5 1 1.5

Signal

0 100 200 300 400 500 10⁻¹⁵

10⁻¹⁰ 10⁻⁵

Spectre de puissance

0 5 10 15 20

0 0.5 1 1.5

Distance

0 50 100 150 200

−1.5

−1

−0.5 0 0.5 1 1.5

Temps

0 100 200 300 400 500 10⁻¹⁵

10⁻¹⁰ 10⁻⁵

Frequence

fc

B

■ D´efinition : R = _f ^B

c .

(34)

Instrumentation

Fr´ equence centrale et largeur de bande

■ On sait que plus la fréquence est élevée, meilleure est la résolution ;

■ On sait aussi que plus la fréquence est faible, meilleure est la pénétration ;

■ Le choix de la fréquence est dicté par la cible recherchée et les conditions de terrain ;

■ A une fréquence centrale donnée est associée une largeur de ` bande ;

■ Id´ealement, on souhaite la largeur de bande la plus large possible ;

◆ dans la pratique, on travaille avec R = 1.

■ R´esolution en fonction de la largeur de bande, pour un milieu o` u κ = 9 :

Fr´ equence Largeur de Dur´ ee de R´ esolution centrale [MHz] bande [MHz] l’ondelette [ns] [m]

200 200 5 0.25

100 100 10 0.5

50 50 20 1.0

(35)

Instrumentation

Rayonnement des antennes

■ Dipˆole `a la surface du sol (Lampe et coll., 2003) :

(36)

Instrumentation

Rayonnement des antennes

■ Les antennes n’´emettent pas avec la mˆeme amplitude dans toutes les directions ;

■ Le diagramme des antennes indique dans quelle direction le syst`eme est le plus sensible ;

■ L’énergie mesurée au récepteur peut provenir d’un réflecteur qui

n’est pas situ´e verticalement sous les antennes.

(37)

Instrumentation

Principaux fabricants

■ Principaux fabricants distribu´es en Am´erique du nord

◆ Sensors & Software ;

◆ Mal˚ a Geoscience ;

◆ Geophysical Survey Systems, Inc. (GSSI).

(38)

Principes et théorie générale Propriétés des ondes EM Propriétés des matériaux Instrumentation

Planification des lev´es radar

●Le radar est-il appropri´e pour le probl`eme ?

●RRE (Radar Range Equation)

●Mod´elisation num´erique

●Question 1 – port´ee

●Question 2 – caract´eristiques de la cible

●Question 3 – conditions de terrain

●Choix de la fréquence Références

Planification des lev´ es radar

(39)

Le radar est-il appropri´ e pour le probl` eme ?

■ R´epondre `a cette question n’est pas toujours facile ;

■ Deux outils pour y r´epondre :

◆ Radar Range Equation – RRE ;

◆ mod´elisation num´erique.

■ Trois questions sp´ecifiques `a se poser

1. est-ce que la cible se trouve à l’intérieur de la portée du système, sans considérer ses propres caractéristiques ? 2. est-ce que la cible peut générer une réponse détectable,

sup´erieur au bruit ?

3. est-ce que les conditions de terrain sont favorables ?

(40)

RRE (Radar Range Equation)

Puissance transmise à l'électronique du récepteur

P₈ = ξ_RxP₇ Puissance de

la source P₀

Puissance irradiée P₁ = ξ_TxP₀

Puissance irradiée en direction de la cible

P₂ = G_TxP₁

Puissance qui atteint la cible P₃ = e-2αL_Tx

P₂ 4πL²

Puissance réfléchie par la cible

P₄ = ΣP₃

Puissance reçue P₇ = G_RxP₆A

Puissance au récepteur P₆ = e-2αL_Rx

P₅ 4πL²

Puissance réfléchie en direction du récepteur

P₅ = gP₄

ξ_Rx ξ_Tx G_Rx G_Tx L_Rx L_Tx A c f g

Efficacité de l'antenne réceptrice Efficacité de l'antenne émettrice Gain de l'antenne réceptrice Gain de l'antenne émettrice Distance entre Rx et la cible Distance entre Tx et la cible Surface effective de Rx (=c²/(4πf²))

Gain réflectif de la cible

Vitesse de propagation du milieu Fréquence du signal

Σ α

Surface de réflexion de la cible Coefficient d'atténuation

(41)

Mod´ elisation num´ erique

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24

X1 (m)

-3 -4 -1 -2 1 0 3 2 4

2 X (m )

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 X 3 (m)

Anhydrite Gypsum Overburden

Gypsum "blocks"

A

Profile P1

Synthetic radar profile P1

0

50

100

150

Two-way traveltime (ns)

(42)

Question 1 – port´ ee

■ Il faut d´eterminer/estimer l’att´enuation dans le milieu encaissant

■ Règle de pouce : la profondeur de pénétration P P = 35

σ [m] (27)

o` u la conductivit´e σ est en mS/m.

■ La profondeur de la cible doit donc être inférieure à P .

(43)

Question 2 – caract´ eristiques de la cible

■ La puissance réfléchie peut être estimée par P _r =

√ κ _e − √ κ _c

√ κ _e + √ κ _c ²

, (28)

o` u κ _e est la cte di´electrique de l’encaissant, et κ _c la cte di´electrique de la cible.

■ R`egles de pouce :

1. il faut que P _r soit au moins 0.01 ;

2. la taille de la cible doit ˆetre plus grande que la longueur d’onde.

(44)

Question 3 – conditions de terrain

■ Facteurs limitatifs

◆ proximit´e d’antennes radio (saturation du r´ecepteur) ;

◆ milieu confiné (tunnel) contenant des objets métalliques (réverbérations).

■ Idéalement, un test préliminaire sur le site devrait pouvoir être fait.

(45)

Choix de la fr´ equence

■ Trois paramètres à considérer : 1. la résolution spatiale voulue ;

2. la r´eduction des r´eflexions parasites ;

3. la profondeur `a atteindre.

(46)

R´ef´erences

●Travaux

●R´ef´erences

R´ ef´ erences

(47)

R´ef´erences

●Travaux

●R´ef´erences

Travaux

■ Article `a r´esumer

◆ Annan, A. P., Davis, J. L., et Gendzwill, D. (1988). Radar

sounding in potash mines, Saskatchewan, Canada. Geophysics,

53(12) :1556–1564 ;

(48)

R´ef´erences

●Travaux

●R´ef´erences

Temps de parcours

GML6201A –

Techniques g´ eophysiques de haute r´ esolution –

Radar g´ eologique (incomplet)

Bernard Giroux

giroux@geo.polymtl.ca

Ecole Polytechnique de Montr´ ´ eal

Principes et th´ eorie g´ en´ erale

Introduction

■ Que voit le radar g´eologique (ou g´eoradar) ?

◆ Des ondes électromagnétiques (EM) réfléchies par des

structures présentant un contraste de permittivité diélectrique.

■ Radar g´eologique et g´enie :

◆ hydrog´eologie ;

◆ d´etection de cavit´es ;

◆ d´etection de tuyaux et bidons ;

◆ inspection des ouvrages d’art ;

◆ arch´eologie ;

◆ glaciologie et permafrost ;

◆ d´etection de zones de roc fractur´e ;

◆ ´etude stratigraphique du Quaternaire.

Principe g´ en´ eral

■ Une impulsion EM de haute fr´equence est ´emise par une antenne ;

■ Cette impulsion induit une onde EM qui se propage dans le sol ;

■ L’énergie réfléchie et réfractée est enregistrée à une antenne réceptrice ;

■ La mesure de cette onde permet de construire une image du sous-sol.

Position

Te m ps de par cours

Propagation des ondes EM

■ La propagation des ondes électromagnétiques est régie par les

´equations de Maxwell :

∇ × E = − ∂ B

∂t (1)

et

∇ × H = ∂ D

∂t + J , (2)

o` u

◆ E est le champ ´electrique ;

◆ H est le champ magn´etique ;

◆ D est la densit´e de flux ´electrique ;

◆ B est la densit´e de flux magn´etique ;

◆ J est la densit´e de courant.

Propagation des ondes EM

■ Les flux et champs sont reliés aux propriétés physiques par les

´equations constitutives :

D = E , (3)

B = µ H , (4)

ainsi que la loi d’Ohm (courants de conduction)

J c = σ E , (5) o` u

◆ est le tenseur de permittivit´e di´electrique ;

◆ µ est le tenseur de perméabilité magnétique ;

◆ σ est le tenseur de conductivit´e ´electrique.

■ Dans un milieu isotrope, , µ et σ sont scalaires (, µ et σ).

■ , µ et σ peuvent ˆetre des grandeurs complexes.

Courants de d´ eplacements

■ Si la densité de flux électrique D varie, les charges liées d’un diélectrique se déplacent ;

- +

- +

- +

∂ D/ ∂ t

Densité de flux D constante

Densité de flux variable

Variation de D terminée

■ A ce déplacement de charge correspond ce qu’on a nommé le ` courant de déplacement ;

■ Aux fr´equences radar, ces courant dominent ;

■ Le courant de déplacement est proportionnel à la permittivité et au taux de variation du champ électrique ;

J d = ∂ D

∂t = ∂ E

∂t . (6)

Param` etres effectifs

■ Le courant total dans le sol est la somme des courants de conduction et de d´eplacement :

J = J c + J d = σ E + ∂ E

∂t . (7)

■ Dans le domaine de Fourier, on a

J = (σ + iω) E . (8)

■ De fa¸con générale, σ et sont des variables complexes et sont fonctions de la fréquence f (ω = 2πf ) :

◆ σ = σ 0 + iσ 00 ; = 0 − i 00 .

■ En introduisant ces d´efinitions dans (8), on trouve

J = (σ e + iω e ) E (9)

◆ σ e = σ 0 + ω 00 ; e = 0 + σ 00 /ω.

J _c = σ E , (5) o` u

J _d = ∂ D

J = J _c + J _d = σ E + ∂ E

◆ σ = σ ⁰ + iσ ⁰⁰ ; = ⁰ − i ⁰⁰ .

J = (σ _e + iω _e ) E (9)

◆ σ _e = σ ⁰ + ω ⁰⁰ ; _e = ⁰ + σ ⁰⁰ /ω.

■ σ _e et _e sont les param`etres effectifs, ce que l’on mesure en labo.

∇ ² E = − k ² E , (10) o` u k est le nombre d’onde

k ² = ω ² µ − iωµσ. (11)

 _e µ

σ _e ω _e

²

 _e µ

σ _e ω _e

²

■ Il faut que l’angle de perte tan δ soit faible tan δ = σ _e

ω _e 1, (16)

v = 3 × 10 ⁸

o` u κ = / ⁰ , ⁰ ´etant la permittivit´e du vide.

◆ en mode diffusif (pertes non n´egligeables, J _c dominant) ;

◆ en mode propagatif (faibles pertes, J _d dominant) ;

■ On d´efini la transition au point o` u J _c = J _d .

f _t ωµσ