Comparaison de lois de commande. Régulation numérique de courant dans l association convertisseur-machine

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Submitted on 1 Jan 1991

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Comparaison de lois de commande. Régulation numérique de courant dans l’association

convertisseur-machine

D. Kalinowski, C. Bergmann

To cite this version:

D. Kalinowski, C. Bergmann. Comparaison de lois de commande. Régulation numérique de courant

dans l’association convertisseur-machine. Journal de Physique III, EDP Sciences, 1991, 1 (5), pp.777-

800. �10.1051/jp3:1991156�. �jpa-00248617�

Classification Phv.<ics Ab£tracts 80.00

Conlparaison de iris de commande. Rkgulation numkrique

de courant dans l'association convertisseur-machine

D. Kalinowski et C.

Bergnlann

Laboratoire d'Electricitb,

Signaux

et

Robotique (L.E.SI.R.),

Unitb de recherche assoc16e _au C.N.RIS.

(D1375),

E-N-S- Cachan, 61 _av. du Prbsidentwilson, 94236 Cachan Cedex, France

(Reptt

le J~~jttin J990, rdvisd le 20 novembre J990,

acceptJ

le J7 janvier

J99J)

Rksumk. Cet article prdsente diffdrentes

stratdgies

de commande, _{sur un} critdre de

rapiditd/robustesse,

_pour une

rdgulation numdrique

du courant dans _un servo-moteur I courant

coniinu. _Le convertisseur de

puissance,

I la base de la structure, est constitub d'interrupteurs hi- directionnels et rdalise l'alimentation directe de la

charge

I _{travers un} rdseau

triphasd.

Les simulations, confrontbes _aux rdsultats

expdrimentaux,

montrent la irks nette

ddpendance

des

caractdristiques dynamiques

finales vis-I-vis des dldments

perturbateurs

I savoir la variation des

paramdtres

constituants le moddle, les non-lindaritds des convertisseurs et les saturations

numdriques.

Abstract. This article deals with _a

comparison

of different numerical conimand laws, _as

regards dynamical

characteristics and robustness, for direct current motor control. The _power converter, which _uses hi-directional switches, connect directly the

three-phase

source to the servo-motor-

Simulations,

compared

with

experimental

results, show the variations of the

dynamical

characteristics

regarding

perturbations, that is to say model parameters are not constant, the converter is not linear, and there _are numerical saturations.

1. Introduction.

La conduite d'un processus industriel _en

dlectrotechnique

fait

largement appel aujourd'hui

aux

techniques numdriques (cf. [1-5]).

Elles interviennent dans l'ordonnancement des diffbrentes tiches affbrentes _aux nombreuses couches matdrielles constituant le

squelette

d'un

processus, mais aussi dans le contrble

prbcis

de

chaque

actionneur I la base d'une architecture. Cela sous-entend _une

organisation distinguant

les fonctions

d'administration,

de

communication,

de sbcuritb et de commandabilitb. Ce dernier

concept

nous intkresse

plus particulidrement puisqu'il

inclut les

rbgulations

des

parties opbratives

de bas niveau I savoir

l'association convertisseur-machine.

Nous aliens dbcrire la mise _{en ceuvre} de diffbrents

outils,

faisant

appel

_aux asservissements bchantillonnks

(cf. [6-9]),

en vue du contrble de l'intensith d'un servo-moteur I _courant continu.

L'originalitk

de la structure rkside dans l'alimentation directe du

convertisseur,

entidrement rkversible _et fonctionnant I _une

frkquence subsonique, lequel pulse

_son

knergie

dans _son rkseau

triphask.

Nous simulerons et

expbrimenterons

_sur notre structure des correcteurs

numkriques

faisant

appel

_aux mbthodes de

placement

de

pbles (rbglages classiques),

ainsi _que d'autres

permettant

l'obtention d'un comportement dkterministe _par des critdres

temporels (temps

de

rkponse fini).

La notion de robustesse dkcoule de _ce

qui prkcdde, puisqu'elle qualifie

la sensibilitk de la correction

apportbe

vis-h-vis d'klkments

perturbants

tels _{que :} les saturations

numkriques,

les variations

dynamiques

des variables

internes,

le

point

de

fonctionnement, l'imprkcision

_sur la dktermination des constituants du meddle du processus, ^etc. Ce concept

fondamental conditionnera done l'intervalle de confiance _sur la stabilitk de la boucle de

rkgulation.

2.

Description

de la sbwctvre.

Le

principe

de la conversion

d'knergie

directe h l'aide d'une structure I six

interrupteurs

idkaux est

appliquk

I notre association convertisseur-moteur. Ce

prockdk

est contrblk par une

boucle de

rbgulation numbrique

du courant du _moteur. Le

synoptique

est

reprbsentb

_sur la

figure1.

Convertisseur Bid;rectionnel

-»

-w

- .J.

>3

R@scan

j~,

Servo

T~iphas@ ^~~

J~

~

~

~'°~~~~

-j->. -j-w _-j->6

~ ~ l~esure

3

CDMMANDE CAN

Rapprochke

8bits MLI

~'"~~~

Rbgutat;on Numbr;que

Fig. I.

Synoptique gbnbral

du processus.

[General synoptic

of the

system.]

L'analyse systkmique

de la

partie

commande

numkrique

_{permet un}

dbcoupage

_en trois modules distincts _:

I)

Chaine d'instrumentation industrielle

classique

_{comprenant :}

. Le capteur et conditionneur

(Sonde

I effiet

Hall).

. Un

amplificateur

diffbrentiel _{assurant une} bonne

rhjection

des

parasites

issus du convertisseur

statique.

. Un convertisseur

Analogique/l4umkrique rapide.

2) Organe

de traitement du

signal

_comprenant : . Des

entrbes/sorties numkriques.

. Un

micro-processeur prkcis (16/32 bits)

et

rapide.

3)

Commande

rapprochke

incluant _:

. Un

gbnbrateur

^de modulation de

largeur d'impulsion numbrique (M.L.I.).

. Un

sbquenceur synchrone

du rbseau

triphasb aiguillant

la M.L.I, sur les

interrupteurs

bi- directionnels.

En _ce

qui

_concerne la fonction du convertisseur de

puissance,

tout ce passe comme si it btait

constitub d'un redresseur h

pant

^{mixte associb h} un

hacheur,

_ce demier recevant l'ordre de conduction _en M-L-I- L'ensemble des deux ktant consid6r6s _comme r6versibles. Ce

type

d'association _ne permet pas le

filtrage

de l'ondulation r6siduelle d'une

fr6quence kgale

h six fois la

pkriode

du

rkseau,

_ce

qui implique

_une modulation

implicite

du

gain Equivalent

du

convertisseur.

Le schkma

Equivalent

de l'association convertisseur-machine utilisk _pour la modklisation est le suivant _:

c L Urn

k~,N

Fig.

2. Schbma

bquivalent

de l'association..

[Equivalent

representation of the

process.]

avec :

E : source de tension

(rbversible) kquivalente

h la sortie d'un redresseur

triphask.

K commande _en M-L-I- de

chaque interrupteur

du hacheur fictif de

rapport cyclique

_a.

3. Muddle kchanfillonnk de la boucle de

rkgulafion.

Les

techniques

actuelles de modklisation permettent de traiter les

systdmes

linkaires _{ou non} linbaires kchantillonnbs. Dans le

premier

_cas, la

technique

consiste _{en une} mise _en

Equation

du

systdme

continu par la transformke de

Laplace.

La fonction de transfert est ensuite retranscrite h l'aide de la transformbe _{en z}

(cf. [10-13]).

Dans le deuxidme _{cas, une} mbthode _a btb

dbveloppbe permettant

l'obtention d'un meddle

«petites

variations _». II

s'agit

d'bcrire

l'bquation

_aux diffbrences et de la linbariser par dkrivation

(cf. [14-17]).

Ce meddle tenant

compte ^{h la} fois du

point

de fonctionnement et du

comportement dynamique

devient

parfois

trds difficile h

manipuler.

II est

possible

de

dkcoupler

les

rkgimes statique

et

dynamique,

_en faisant _une raise _en

Equation

_par la mkthode de l'kchantillonneur

Equivalent (cf. [16, 17]).

C'est la

technique

_que

nous avons utiliske. Le meddle s'obtient _par

superposition

_au

rkgime d'hquilibre,

^dbfini _par

une Etude de

type

valeur _{moyenne sur une}

pkriode

de

commande,

d'une

perturbation

(traduisant

dans notre _cas la variation du

temps

de conduction des semi-condUcteurs

dr).

Le meddle

dynamique, reprksentk

sous la forme d'une

Equation

d'ktat

(cf. [18-20]),

est

ensuite discrktis6 _{en tenant} compte ^du meddle de

perturbation.

Soit

I(t)

la variable d'ktat du

systdme.

Le

rkgime

_permanent est dkfini _par le _courant moyen I

qui

s'kcrit _:

~

(2a -1).E-k,tl

R

En admettant _que la force contre-klectromotrice du moteur soit considkrbe _{comme une}

perturbation supposbe

lentement variable h l'kchelle de la

pbriode

de commande T, l'bcriture de

l'kquation

d'btat _pour le moteur donne _:

~

I(t)

=

~

I(t)

₊

U(t)

_avec

U(t)

= ± E.

Soit da

o, une

perturbation

du rapport

cyclique

de la commande h l'instant t

=

0. Elle est

supposbe petite

devant la valeur de _ao

(valeur

de

a entre t ₌ o et t

=

l~.

Cette

perturbation

provoque au

temps

t

= ao. T

(voir figure ci-dessous)

_une variation du temps ^de conduction

dr(o)

= da

o.

T,

et de la tension

dU(t)

_aux bornes du moteur.

U(t)

+E

o

«oT

(«o+d«o)T

T+«iT t

-E

dU(t)

^{~"°°~ ~"~°~}

+E

o

«oT T «iT ~

Fig.

3. Moddle de variatibn.

[Dynamical model.]

Le meddle

dynamique

^de

dU(t) _peut

s'kcrire _en utilisant la transformke de

Laplace,

I savoir :

(1 ~-dr(o).p) dU~p)

~

= 2 E

e~~°'

^'~

P Soit _par la transformke de

Laplace

inverse £~

£~

~(dU~p))

=

dU(t)

# 2 E. dT

(0).

8

(t

_ao

T)

car on a

supposk dr(0)

_{~K r}

(0)

= ao T.

Pour _un instant _t

= n. T

quelconque, l'expression

devient _:

£~

~(dU~p))

=

dU(t)

= 2 E. dr

(nT).

⁸

(t

_a~ T

nT).

La discrktisation de

l'kquation

d'ktat entre _un instant n. T et

(n

₊ I

)

Ten

remplapant dU(t)

donne alors _:

-~T

j~ ^.(n+I)T

_~((n+I)T-x)

~~

~~ ~

~~

_~ ^~ ~

~~~~

_~ ~

~

~~

~~~~ nT

~ ~

~

x

8(x- (a~+n).T).dx.

Pour _une fonction

g(x)

continue _{en xJ, on}

peut

^dcrire :

jg(x).8(x-x~).dx=g(x~)

(n+I)T -(j(n+I)T-x) -((I-a~).T

~ e

8(x-(a~+n)T).dx=e

nT

L'bquation

de rbcurrence relative _au courant s'bcrit alors

-~T

j~

-~(l-a~).T

I(n+I)=e

^~

I(n)+2-dr(n)e

^~

L

II _est ensuite aisb d'obtenir la fonction de transfert kchantillonnke

(variable

_en

z)

du

systdme

_en fonction du

rapport cyclique

en

rbgime permanent

a

-((I-a).T

I(z)

= 2 ~ _~

~

dr

(z)

L __T

z-e ~

Dans notre

application,

le

temps

^{de calcul de la commande} est

supbrieur

I la

pkriode

de

hachage (T

=

50

~s),

_ce

qui implique

une notion de

sous-bchantillonnage,

dent la

pbriode

T~ ^est'un

multiple

entier M de la

pkriode

T. Cela revient I considbrer

qu'entre

les deux

instants _t

=

nT~

et t

=

(n+ I) T~,

it y a M

perturbations

_ayant la mdme nature que

prkckdemment,

et ddcalkes les _unes des autres de T.

L'expression

de

dU(t)

devient _:

M-i

dU(t)=2E.dr(nT~). £ 8(t-a~T~-nT~-iT).

,=o

Aprds

avoir calculb la nouvelle

Equation

de

rbcurrence,

la fonction de transfert obtenue _en utilisant la transformbe _en z~ est la suivante

1(z~

_~)

=

~ _~

dr

(z~ ')

I

.z~~

avec : p ~ ~- ^MT/q

~

~~°~

^~~

~~~'"~~'i~~ '"~=2)~£~e~(~~~+ji)MT/&

,=o ,~~

et _:

To

₌

L/R

= constante de

temps blectrique

du moteur E

=

tension _moyenne instantanbe I l'entrbe du hacheur fictif

a =

rapport cydique

il est h remarquer que l'on rencontre souvent

l'hypothdse

du

pble

dominant

(ici

To)

grand

devant la

pbriode d'bchantillonnage (id

_T~

= M.

l~.

Cela permet ^la

simplification

du

gain

k afin d'obtenir _une valeur constante-peu diffibrente de M. 2

E/L.

Cette

approche simpliste

est source d'erreurs dans la _mesure off actuellement les constantes de temps

blectriques

des servo-moteurs, souvent trds faibles

(qq ms),

sent assez voisines des temps ^de calculs des

micro-processeurs

16 bits

proposks

sur les cartes industrielles les

plus rbpandues (qq

100

~s).

A mains de

posskder

_un calculateur trds

rapide

de type ^DSP

(Digital Sijnal Processor),

nous voyons que la _nature kchantillonnhe de la boucle fait intervenir _un

gain

_non ^linhaire

qui

sera fonction du

rapport cyclique

_a et done du

point

de fonctionnement _en

rbgime statique.

D'autre

part

ce mdme

gain

est

sujet

h la fluctuation

intrinsdque

de la tension du rbseau

redressbe,

dent _{on a}

pris

la valeur moyenne E entre deux

pbriodes

de commande. Cette

variation _est

rapide (300 Hz)

et non linkaire

(nature

sinusoidale du

rkseai).

Il _va de soi _que la dktermination des klkments constituant le moteur

(ici

R et

L)

est dklicate.

Ces derniers sent

sujets

aux variations de

grandeurs physiques

telles que l'intensitk du courant,

tempbrature

du

moteur, influenpant

ainsi la

qualitb

du meddle.

4. Mkthodes de correction.

Avant le choix et le calcul d'un correcteur

C,

il _est I noter que

l'adjonction

de _ce dernier dans la boucle introduit _un retard _pur. Cela

correspond

_{au temps} de calcul de

l'algorithme

de

correction,

_ce

qui

dklimite la valeur maximale de la

frkquence d'kchantillonnage.

La fonction de transfert _en boucle ouverte s'kcrit _:

H(z~

_{~) =}

C(z-

_~)

^~~~

~

z- =

C

(z-

_~) ^~

^z-~

r

dT(Z~ )

I p. Z

Le choix du correcteur

numbrique impose

la connaissance du

comportement

du

systdme

_en

boucle

fermbe,

cela btant laissb _au libre choix du

concepteur. Gdnbralement,

afin de maitriser totalement l'bvolution du courant

dins

_une machine

~paramdtre critique

_car

destructeur),

il est admis _que l'erreur de

position

due I _une

consigne

_en forme d'kchelon doit dtre nulle. Cela

donne _un comportement

intkgral (au

_sens des

systdmes continus) Equivalent

_aux correcteurs

analogiques

de

type

PI _».

4.I MtTHODE DES POLES _DOMINANTS. Cette mdthode est baske _sur la

compensation

des

pbles dominants,

kventuellement des

zbros,

situks h l'intbrieur du aerate unitb du

plan

_z. On

s'assure que le nombre de

pbles

h _z

= I est

bgal

_au nombre

d'intbgrations

souhaitbes afin d'assurer la

prbcision

de la

rbgulation.

De

plus,

afin d'obtenir _un

degrb

de libertb _sur le

rbgiage

de la

stabilitb,

_un

gain ajustable

est nbcessaire.

Pour notre

application,

le correcteur s'bcrit _:

~(~-I)_~,l-p.Z

I-Z~ j

L'bcriture de la boucle ouverte donne alors

2

H(z-

_~)

= k k' ^~

l z~

Le calcul de k' s'obtient en bcrivant

l'bquation caractbristique

.du

systdme

et en la factorisant _en faisant

apparaitre

deux racines

complexes conjugubes

k

(I

_~PI Z

~)(l

_PI

Z ~)

fl (I

_{~Pk Z ~)}

Les racines p~ ^sent les rbsidus des

pbles

_non

compensbs

_par le _{correcteur et sent} considbrbes

comme non dominantes _{et par} suite

nbgligeables

vis-h-vis de pi ^et

pi.

^Le comportement en

chaine fermke est done celui d'un

systdme

d'ordre deux.

Nous bcrivons ainsi _:

H(z~ ')

₊

=

0

1-z-~+k,k'z-~= _(l -piz-~) (l -piz-~)

=

l

~Pi+fli)z-t+pi .fliz~~

Le

pble

_{pi peut} s'bcrire

~ ~ ~~~j~~

et done:

pj,pj=e~~~=k,k'

Pi +

Pi

= 2 e~~cos

(Y)

=

1.

On obtient

l'expression

du

gain

du correcteur

k'

= ~ avec x =

In

(2,

cos

(y))

4,k,cos

(y)

Il est constatb que l'attribution de _x,

significatif

de

dynamique rapide

du

systdme (temps

de

rbponse),

fixe le coefficient _{y ou encore} le rapport x sur y,

reprbsentatif

du coefficient d'arnortissement de la

rlponse.

On rencontre souvent _un critdre de choix bask _sur l'amortissement relatif

optimal

obtenu

pour x = y. La rbsolution des deux

Equations prbcbdentes

conduit alors I _:

x =

0,54

et kl.=

0,34/k.

Note _: On remarquera que pour la valeur extrdme _y

=

0, l'bquation caractbristique possdde

une racine double et la

rbponse

I _un Echelon de

consigne

est absente de

dkpassement.

On _a alors _:

x ₌ In

(2)

et k'

=

I/4

k.

La

figure

4 donne les rksultats obtenus _pour diffikrentes valeurs de _y. On notera que le

compromis

_x

= y amdne _un

dbpassement

de

4,5

fb _au bout de 6

pbriodes d'kchantillonnage,

ce

qui

constitue _une

rbponse

trds

acceptable.

*- x = 1.?4

- x = 1.s4

- x= I

I

i zi

(a)

/x"%?~

li<

#

~

q5m+=2Te

(b)

Fig.

4.

Rdponse

indicielle du courant

(±

I

A), (A)

Simulation,

(B) Expbrimentations.

[Step

_responses of the

close-loop

_system vith

simple pole placement.]

L'implantation

de

l'algorithme numbrique

dans le calculateur s'obtient _par bcriture de

l'bquation

de rbcurrence relative _{au correcteur comme} suit

Y(z~

_~)

=

Y(z~

_{~) z +}

X(z~ ~).

k' X

(z~

_~) k' p z

Y~= Y~_j +k'.X~-k'.p.X~_j.

On remarquera la

simplicitk

extrdme d'un tel calcul comprenant deux

multiplications

et deux additions.

4.2 EXTENSION DE LA MtTHODE _DES POLES _DOMINANTS. II est

imaginable,

_en

complexi-

fiant la structure du correcteur, de

pouvoir rbgler indbpendamment

les constituantes _{x et y} des

pbles

dominants du

systdme corrigk.

Nous

rajoutons

alors _un

pble supplbmentaire

au correcteur

qui

devient :

C

(z~

_~)

= k' ~ ~

l-z~

~l-p'.z~

La nouvelle

Equation caractkristique

_{a pour}

expression

_:

(1-z~~)(I -p'z~~)+k.k'z~~=0

=1-

~pj +pj)z~~+pj.pjz~~

Cela conduit h

pi+fli=i+p' PiPi=k.k'+P"

Soit pour k' et

p',

_en

adoptant

la mdme

symbolique qu'au paragraphe prkckdent

_:

P'=2.e-xcos (y)-

i k'

"

(~~~~ ~p')/k.

L'bquation

de rbcurrence du correcteur s'bcrit alors _:

Y~= (I+p'). Y~_j -p'. Y~_~+k'.X~-k'.p.X~_j.

Il est ainsi

possible

h amortissement constant, ^de

rbgier

la

dynamique

_en

ajustant

le coefficient _x. Nous _avons choisi

d'opter

_pour l'amortissement relatif

optimal (x

=

y)

_{aux vues}

de la simulation

prbcbdente,

et

prksentons

_sur la

figure

5 les rksultats

paramktrbs

_pour

dir§brentes

valeurs de _{x ou} y.

Les rbsultats

expbrimentaux

montrent _une dbstabilisation de la

rbponse

indicielle

lorsque

la

dynamique

demandbe est

trap rapide.

Cela

provient

de l'existence d'une non-linbaritb _{au passage par} zbro du courant

qui

influence

l'algorithme

de correction

qui,

_pour le

couple

_{x, y} demandk

(gain important),

est trds sensible I _une variation _non linkaire du meddle.

4.3 MtTHODE TEMPORELLE. Cette deuxidme

synthdse s'appuie

sur la mdthode de

conception

des filtres

numkriques

_par invariance de la

rkponse

indicielle. On suppose connue

l'excitation _sur la

consigne (Echelon

de

courant),

et le concepteur se fixe _une

rbponse temporelle

_en chaine fermbe. La

simplicitb

de

l'expression

du correcteur est fonction de la

compacitb

de la

reprksentation mathkmatique (transformke

_en

z)

de la sortie dksirke.

*- x= q= I

~-* x= q=%.s4

- x = q=1.3

zi

(a)

X"Y=I

~"Y"0,3

1~_~

@,

q5»s~2fi

(b)

Fig.

5.

Rdponse

indicielle du courant (amorfissement relatif

optimal). (A) Simulation,

_(B)

Exp6ri-

mentations.

[Step

_responses of current. Complete

pole placement.]

On souhaite obtenir _un

systdme

h

temps

de

rkponse

fini _{et sans erreur}

statique.

La

simplicith

de la

reprksentation

_{en z}

_permet

l'obtention

rapide

de

l'expression

de la fonction de transfert _en boucle fermde

F(z~

~). Soit le schbma fonctionnel de la

figure

6.

Pour _un kchelon de

consigne I(z~

_~) ^de la

f6rme, 1(z~~)

= = l ₊ z~ ₊

z~~

+

z~~

₊

I _z~ ,

CORRECTEUR PROCESSUS

(z'~)

_S

tz'~)

n>0 tz'~) tz'~)

CHAiNE FERAItE

tz-i)

_F

tz-i) stz-1)

Fig.

6. Schdma bloc du

systdme

boudk.

[Block diagram

of the

close-loop.]

sachant que la chaine directe

comporte

un retard pur ^et que l'on souhaite _un

systdme

I temps de

rbponse fini,

la sortie

S(z~

_~)

_peut

s'dcrire

S(z~~)=k~.z~~+k~.z~~+. _+k~.z~~+. +z~'+z~~'+~)+.

Le coefficient k~

indique

la valeur de la sortie h la n-idme

pbriode d'bchantillonnage.

La valeur finale ktant atteinte _au

temps

I _x

T~.

La dbfinition de

I(z~

_~) et de

S(z~

_{~) nous} donne la structure

gbnbrale

de

F(z~

~) :

F(Z~

_~)

"

S(z~ ~)iI(z~

_~)

=

(l

z~

~). S(z~

_~)

F(z~~) =k~.z~~+ (k~-k~).z~~+.

₊

_(I -k;_i).z-'

Dans le _cas

particulier

de la

rkponse

h temps ^de

rkponse

fini minimal

absolu,

les

expressions

de la sortie

S(z-

~) et de la boucle fermbe

F(z-

_~) deviennent :

S(z-~)=z-~+z~3+.

+z-~+.

F(z-~)

=

z~~

La structure du correcteur

C(z-

_~) ^s'obtient _en

exprimant

la fonction de transfert de la

chaine fermke

F(z-

_{~) en} faisant intervenir les constituantes internes de la boucle _:

C(z~

_~)

H(z~

~)

~~~

~ l ₊ C

(z~

_~)

H(z~

_~)

Ce

qui

amdne h

l'expression

du correcteur _;

~

~~-

i~ _~

F(z~

_~) l

~

F(z~

_~) l -P z '

l

-F(z-~)H(z~~)

I

-F(z-~) k.z-~

De _ce

qui prbcdde,

il est

possible

de concevoir _une infinitb de

corrections,

en btant limitb toutefois _au nombre de

points

constituant la

rbponse

afin de _{ne pas} alourdir l'architecture du

correcteur. Nous donnons

ci-aprds

les

algorithmes

de correction

respectivement

pour des

rbponses

en

2,

3 et 4

pbriodes

»

L

"

L

2 +

j _lXn

p X

n

II (~iponse

_«

pile »)

~n

_"

~I ~'n

-2 +

(1 kI) ~n

3 +

+

lkl xn

+

((1~ kl)

_~p

.kl) .xn-1~ (i ~kI)

_.p

Xn-21 Yn"kI° Yn-2+ (k2~kI)° Yn=3+ (i~k2)° Yn-4+

+

lkl°xn+ ((k2~kI)~p°kI)°Xn-I

+

((1~ k2)

_~P

(k2 kI)) .Xn-2 (l k2)

_.P

Xn-31.

Ce

type

^de

synthdse

est limitb dans la mesute off seuls les

points

_aux instants

d'kchantillonnages

sont connus. Des oscillations peuvent

apparaitre

_avec d'autant

plus d'ampleur

_que le nombre de

points

dbfinissant la

rbponse

est peu klevb. Il est

parfois impossible

d'utiliser cette mkthode de correction seule.

L'ajout

d'un filtre

numbrique supplkmentaire

stabilisateur _est

nkcessaire,

_ce

qui

rend le correcteur trds

complexe

_au

regard

de _ceux dimensionnks _par li mkthode des

placements

de

pbles.

Nous donnons h la

figure

7 les rbsultats pour le correcteur le

plus rapide.

Comme pour la mkthode

prbchdente,

la

dynamique

btant trds

rapide,

la

rkponse

expbrimentale

est trds

dbgradbe

h _cause de la non-linbaritb.

5.

Conlparaison

des nlkthodes. Robustesse.

Nous _avons, pour

chaque

type ^de correcteur, kvaluk la sensibilitk de la

rkponse

_en chaine

fermke _aux variations des

paramdtres

du moddle h savoir p :

pble

dominant

k _:

gain

du processus.

La variation du

premier peut

^{dtre due h} une erreur sur la dbtermination de la constante de temps

blectrique L/R

du moteur. Cela revient I faire _une

compensation

_non

parfaite

du

pble

dominant _par le zkro du correcteur.

En _ce

qui

conceme le

gain,

il

s'agit

d'une fluctuation

dynamique

de la tension

d'alimentation,

associbe I la valeur du

point

de fonctionnement _en

rkgime

permanent

(rapport cyclique).

En _se rbfbrant _aux

expressions

_{de p} et k h savoir

-MT/fi p=e

M-1 ~

_(I-a+jj)MT/fi

~"

i ~£°~

,=0

Effiectuons le calcul des _{erreurs en}

passant

par la dbrivation. Pour _{p ;}

d(In~p))=~~=d(In(e~'~~~))=d(- ~~) ^=~')dTo= ~~~~j

P _o To o o

Pour k _:

dk=~dE+k~'~da+k _£ (I+I-a)~')dTo.

E To

=~

M To

Soit,

_en divisant _par k _:

dk dE MTd~ ^M-i I

MTdTO

I i

^{~ ~}

St

^~

_,~~'

^{~ ~}

k

_{To To}

Les

expressions

finales des _erreurs relatives _{pour p et} k sont

Ap MTATO

I _To

_To

~ ~

~ ~

~(~

~

~) ji~

~

~(~~

0 < < 0 o < o < o 0 o 0 < o o 0 o 0 o

.'.:

%Rmeam.Te

I

i zi

(a)

I~_~

_°

O,5m5~iG

(b)

Fig. 7.

Rdponse

indicielle du courant

(rdponse

_«

pile

»).

(A)

Simulation,

(B) Exlidrimentation.

[Step

with _{a «} Deadbeat _»

response.]

Vis-h-vis du

pble

_p, l'erreur commise _sur la constante de temps dominante To est

faible,

_car elle est attbnube _par le

rapport

entre cette dernidre et la

pbriode d'bchantillonnage (ce qui

habituellement

correspond

h _un facteur

supbrieur

I

5).

Par contre, le

gain possdde

_une nature fluctuante et _se voit modifib directement par les variations

dynamiques

de la valeur moyenne instantanbe

E,

_par

l'imprkcision

_{sur To} et par ld

point

de fonctionnement

statique

considbrb _a.

Pour notre

application

:

T=50~s, To=1,3ms,

M=5

(E)

=

~

#

V~

= 100 V

avec

EM

_{Ax =}

/ _V~

=

104,7

V

,

E ~iN ⁼

/ _V~

=

85,5

V

Pour la dkterrnination des

paramdtres

du

moddle,

il _a ktk considkrk des

petites

^variations

autour d'un

point

de fonctionnement dbfini _{par :}

E

=

(E)

= 100 V

a =

0,5

L'erreur

correspondante

_sur E est de

AE/E

= +

4,7 fb, 14,5

fb.

La

profondeur

de modulation _est de ha

la

= ± 40 fb.

Nous faisons

l'hypothdse

d'une _erreur de

ATO/7~

= ± 25 fb.

Nous obtenons finalement _:

Erreur

Ap/p

= ± 5 fb

Erreur

Ak/k ~pour

_un

AE~

= +

4,7

fb

14,5

^fb

Erreur

Ak/k ~pour

_un ha

)

= ±

0,75

fb

Erreur

Ak/k ~pour

un AT o) = ±

6,15

fb

Erreur totale

Ak/k

= +

II,6

fb

21,4

fb

Il _est h remarquer l'extrdme sensibilitb

quani

aux variations sur le

gain

du moddle interne de la boucle. Nous

prksentons

_aux

figures 8,

9 et 10 les rksultats des simulations _pour les

diffibrents correcteurs btudibs.

Toutes _ces

rkponses

ont des

comportements

sensiblement voisins. La variation de

gain

k

n'agit

_{que sur} l'amortissement relatif de la

rkponse

provoquant ainsi _un

dkpassement

n'exckdant _pas 15 fb. Par contre la variation du

pble

_{a pour}

conskquence

_un net

trainage,

_ce

qui

abaisse les

performances dynamiques

de la

rkgulation.

6. Influence des saturations.

Le

probldme posh

_par des correcteurs

imposant

des transitoires

rapides (rbponse pile »),

est que l'ori demande la conduction maximale pour satisfaire les

exigences

_sur la montbe du

courant. Toute commande

numkrique

inclut des butkes de

sbcuritb,

_ce

qui

_se traduit par un

phbnomdne d'bcrdtage

sur le

temps

^{de conduction} des semi-conducteurs.

La saturation influence le

cqmportement

du

systdme,

et _ce de manidre diffbrente

en

fonction de la

fapon

dont

elie s'opdre.

En effet les

algorithmes

de correction ont une structure

gbnbrale

rbcursive. Ils s'hcrivent _:

~n"£~,°~n-,+£~j°Xn-j.

, j

l'~'~m,,

~~

l'~~*f _{~.''.'. '.'}

'

j /

/

,

.

4

f

-

. - It/t

a)

f

,S-~

~&_

/ _{~ ~ ~ ~}

i --'

,/

Jv /, iJ

I

J/

t i

/

t.

_X«Oj5~

I

I '"'lf/f+Sz

I

+~ lf/f4z l

1~

(b)

Fig.

8.

Rdponse

indicielle

(Dynamique

lente mdthode

4,I). (A)

Variation du

gain,

(B) Vadation du

p61e.

[Step

_responses with

amplification

and pole

influences,

4,I

controller.]

1.5-~Y(1)

j

~

Y

~

/ /~

'

l'

+

x=y« ~

;i ^~* it/t +lh

I _- It/t -16

l lJ

(a)

,T ~~-~

~ ' ' ' $~

(j ~&

f,'

4 I

/

4

~~Y*

G.~ fl/f fly

~ lf/f ~2

~@

(b)

Fig.

9.

Rdponse

indicielle

(Dynamique rapide

_: mdthode

4.2). (A)

Variation du

gain, (B)

Varia- tion du

p61e.

[Step

_responses with

amplification

and pole

influences,

4.2

controller.]

I.§7~(~)

,

~_ _--~--+-~----w--»

' /

wfi

'

-' it/t +iiY

- ivt -ib

j

j 18

(a)

"~©/tlsX --d/t~2

j

j

Fj _(1~(

(b)

Fig.

lo.

Rdponse

indicielle

(Rdponse

_«

pile

_{» ;} mdthode 4.3).

(A)

Variation du

gain, (B)

Variation du

p61e.

[Step

_responses with

amplification

and

pole

influences, 4.3

controller.]

La saturation peut avoir lieu

uniquement

_sur le rdsultat Y~, ou sur les valeurs futures

Y~_~

^de Y~ par rbcursivitk. _Cette deuxidme mdthode est

prdfkrable

dans la _mesure off l'on kvite _une accumulation des

registres Y~_;, qui peut

se traduire par un ddbordement

numkrique

_{provoquant un} mauvais

comportement

en sortie du

rkgime

de saturation. Nous

avons simulk les effiets de _ces limitations pour les trois lois de commande

prkcddentes (voir

Figs. ll,

12

et13).

/ ^{~.~ x =%.}it

I

_{-~ x} = i

/

i

i zi

(a)

x=o

~h

X =O/2

<

z

d

~+

qsm=iTe

(b)

Fig.

ll.

Rdponse

indicielle

(Influence

des saturations, loi 4,I).

(A)

Simulation, (B) Expdrimenta- tions.

[Step

_{_responses} with saturation influences, 4,I

controller.]

- x = q= I -

1

x=7=O,~

~h

x=y= I

~

~t ~_

u

o,sins

=

iTe

(b)

Fig,

12.

Rdponse

indicielle (Influence des saturations, loi §

4.2). (A)

Simulation,

(B) Expdrimenta-

tions.

[Step responses with saturation influences, 4.2

controller.]

- file _ea I.te I

i zi

(a)

#

<

~~_

O,5m§=~Te

(hi

Fig.

13.

Rdponse

indicielle

(Influence

des saturations, loi

4.3). (A)

Simulation,

(B) Expdflmenta-

bon.

[Step

responses with saturation influences, 4.3

controller.]

Les rksultats

prkvisibles

montrent que l'effiet de saturation _est

important

_sur des corrections

posskdant

_une

dynamique rapide.

Elle provoque

globalement

_un ralentissement de la

rkponse

combind h _un fort

trainage,

ce

qui

est h

l'opposb

des

performances

attendues _{par une} boucle de

rkgulation

du courant.

Lorsqu'une grande dynamique

est souhaitke _sur la

commande,

le

phdnomdne

de saturation est

incontournable,

h moins _que l'on _ne dkfinisse _une

rkponse

_en boucle fermke telle _que le

systdme soit, pendant

le

transitoire,

h la limite de la saturation. Cette mkthode fait

appel

h la

synthdse temporelle kvoqube prkckdemment.

Soit le schkma fonctionnel

reprksentk

h la

figure14.

~

CORRECTEUR SATURATION

~

PROCESSUS

~~~+~~Z'~)

^_~~

^{/~° ~/}

^{P tP)}

* /-

MES

ACQUISITION/MESURE

Fig.

14. Schbma fonctionnel _{avec une} saturation.

[Fonctional diagram

with

saturation.]

L'klbment saturant s'intercale entre le _correcteur C

(z-

_~) et la

partie opbrative

P

(z-

~). Soit

S(z-

_{~), la}

sbquence

saturbe. Nous bcrivons

1(Z~

_~)

"

F(Z~

_~)

Iref(Z~

_~)

"

s(Z~ ~).

P

(Z~

_~)

avec le processus :

P(z-~)

=k

~-i =k.z-~(l +p.z-~+p.z-~+. _).

l -p.z-

On

applique

un Echelon de

consigne

_sur l'entrbe _:

1,~~(z-1)

= = i ₊ z- ⁱ + z- ² +

z-

Sachant _que le _correcteur

C(z-~)

contient _un

reiard

_pur

z-~,

_{en reprenant} les rksultats trouvks _par la mkthode de

synthdse temporelle,

la structure de

F(z~

_~) doit dtre de la forme _:

F(z-~) =k~.z-~+ (k~-k~),z-~+.

₊

(l -k~).z-~~+~)

Le

produit I~~i(z- ~). F(z~

_~) est en

z-~,

done

S(z-

_~) est en z~

S(z-~) =si.z~~+s~.z-~+s~.z-~+.

Si _on

appelle

₊

So

et

So

^les bornes de

saturation,

la recherche des coefficients

k;

de la

rkponse

s'effiectue _par identification _et de

fapon

itkrative

jusqu'h

_{ce que} les coefficients s~ deviennent infkrieurs h la valeur absolue de So.

Nous donnons I la

figure

15 la

rkponse typique, compte

tenu des butkes de saturation de la M.L.I. de notre

commande,

obtenue pour la

pleiie dynamique

_sur ^le courant dans le _servo-

moteur.

II est clair que l'annulation des saturations _est

incompatible

_{avec une}

dynamique rapide

du

prockdk.

De

plus,

le nombre de

points

dbfinissant la

rbponse

btant

important,

il n'est pas souhaitable

d'implanter

_un, correcteur construit par la mkthode

temporelle.

Il est

prbfbrable

de

reprendre

_une

synthdse

_par

placement

de

pbles,

_et

d'agir

sur le

paramdtre

de vivacitb afin d'obtenir _une

rbponse

la

plus proche possible

de celle donnant la saturation limite.

'

j

Fig.

15.

Rbponse

indicielle

(Limite

de

saturation).

[Step

_response of the current

loop

with saturation

control.]

7. Conclusion.

A

l'analyse

^{des rbsultats}

expkrimentaux

confrontks _aux diffikrentes

simulations,

il _se

dkgage

de cette Etude trois

points

fondamentaux _:

I) L'expbrience

_a

montrb,

_que les saturations inhkrentes h _un fonctionnement du

procddb

en

grande

variation du courant est extrdmement limitatif. Ce

rbgime

de variation est celui le

plus frkquemment

rencontrk _sur les actionneurs industriels. La recherche de la

rkponse

_en

saturation limite est trds

significative

_pour le choix du correcteur, en

particulier

de _son temps de

rkponse optimum.

2)

La robustesse des

algorithmes

de correction a pu dtre doublement vkrifike d'une part,

h _cause des fluctuations

dynarniques

de la tension rkseau

redresshe,

d'autre

part,

_par la

prbsence

d'une non-linkaritb du convertisseur. Cette dernidre

apparaissant

_{au passage par}

zkro du courant, est

expliqube

_par la

prbsence

de seuils de conduction des

semi-conducteurs,

constituant les

interrupteurs

^idkaux. Cette non-linharitb n'ktant _{pas apparue en} fonctionne- ment

unipolaire (courant positif

_ou

nkgatio,

les

expkrimentations

ont done btk faites dans le

cas le

plus

ddfavorable

(courant positif

et

ndgatio.

3)

L'amklioration de la

dynamique

du

systdme,

et de la

qualitk

du

rkglage,

_{passe par une}

recherche de correcteurs h structure trds

fine,

et par

consbquent,

assez

complexes.

Ces derniers _se rkvdlent dtre finalement moins robustes

(comportement

trds mkdiocre _~sur le

correcteur h

«rhponse pile »).

De

plus,

ils

exigent

un calculateur

rapide,

_ce

qui

_augnlente

notablement le cofit du matkriel.

Les mbthodes de

synthdse dbveloppbes

_{sur un} mdme

critdre,

avaient _pour

objectif

la recherche d'un correcteur

posskdant

des

performances dynamiques

de

plus

_en

plus

blevbes. Il

a btb montrk la faisabilitb d'une telle amblioration _par la voie de la

complexification.

Nbanmoins,

la confrontation

physique

_a fait la preuve

qu'il

_ne

s'agissait

_pas du meilleur critdre _au

regard

des

phknomdnes

trds

perturbants (non-linkaritk,

variation du

moddle, saturations).

La caractkrisation de _ces

derniers,

consiste done _{en une}

ktape fondamentale,

avant le choix dkfinitif d'une loi de commande.

Il est

parfois impossible

d'obtenir _un

compromis rapiditb/robustesse

satisfaisant. Ceci est dfi I la trop

grande

sensibilitb du processus aux variations du

moddle,

I _cause des

multiples perturbations.

Il convient alors de faire

appel

_aux

techniques

de

rkgulations

_non linkaires

[21, 22]

et

auto-adaptatives [23].

Ces mkthodes nkcessitent _une dkmarche _pour la correction bien

diffibrente _: le

plus

souvent, le bloc de

rkgulation

est construit autour d'un correcteur I coefficients

ajustables.

Un calcul _en temps ^{rkel des}

paramdtres

de correction _est effiectuk I

partir

d'une estimation du moddle du processus ^et d'une

stratkgie

de minimisation des _erreurs

vis-h-vis des

performances

souhaitkes. Dans _cette

optique,

_une carte

microprocesseur

industrielle _ne convient

plus

_pour l'asservissement de courant d'une

machine,

_en raison de la

complexitk

de la

rkgulation (nombre d'opkrations importantes).

L'utilisation de calculateurs

rapides (carte

de traitement de

signal D.S.P.),

_permet nkanmoins le

dkveloppement

de _ces nouvelles

techniques

^trds prometteuses.

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