Lois générales du courant continu

Les signaux transitant dans les circuits électroniques sont généralement la superposition de deux types de grandeurs :

-un signal continu, désigné par une lettre majuscule, appelé dans certains cas grandeur de polarisation ou encore valeur moyenne suivant son rôle

-un signal variable, désigné par une lettre minuscule.

t

V

v t

t

= +

~

v~_

v~_ V v

~

Figure 1 : décomposition d'un signal quelconque

L'étude du circuit suppose donc dans un premier temps la connaissance des lois régissant les systèmes continus. Nous étudierons d'abord les éléments fournissant l'énergie électrique (générateur ou source), puis les éléments la consommant et enfin les lois permettant les calculs. Dans tout ce qui va suivre nous supposerons les éléments linéaires.

1. Générateurs

Par convention ces composants fournissent un courant et une tension de sens identique. Ils sont de deux types

1.1. Source de tension

C'est le générateur le plus fréquent qui peut être réalisé à partir du réseau de distribution E.D.F.

(après traitement) ou simplement avec une pile ou accumulateur.

On le trouvera sous de formes très différentes :

batterie

Piles et accumulateurs alimentation stabilisée de laboratoire

La différence de potentielle (ou tension) entre les deux bornes est alors imposée par le générateur et reste constante (dans le cas d'un générateur parfait, ce qui n'est jamais la réalité) - figure 2- quelle que soit la charge (récepteur).

U

I E0

(V)

0 (A)

Figure 2 : caractéristique du générateur

Le symbole de cet élément est donné figure 3 où la tension aux bornes est représentée par une flèche indiquant le sens.

E0 + _

E0 + _

Figure 3 : nouveau et ancien symboles

Les valeurs couramment rencontrées en électronique pour les alimentations sont de l'ordre de 5 à 15 volts, les valeurs pouvant être positives ou négatives (l’évolution des composants électroniques conduit cependant maintenant à des valeurs plus faibles, de l’ordre de 2,7 V) .C'est ce genre de source qui sert à l'alimentation en énergie des composants électroniques. On se contente alors, afin de simplifier les schémas de représenter le générateur par un symbole de masse (zéro volt) et un trait avec la valeur du second potentiel -figure 4-.

.

+

_ 5 V

< > =

5 V

Figure 4 : représentation d'une alimentation

Le placement de la masse est purement arbitraire et de ce placement dépendra les valeurs (relativement à la masse) des tensions d'alimentation.

+ _

+ _

+ _

+ _

=

< >

5 V

10 V - 5 V 5 V

5 V

5 V

=

< >

5 V 5 V

Figure 5 : placement de la masse

Une source de tension est aussi appelée force électromotrice (fem).

1.2. Source de courant

C'est le composant dual du précédent. Beaucoup moins fréquent, sa réalisation doit se faire à l'aide de composants semi-conducteur. Il intervient souvent dans la modélisation mathématique des transistors.

u

i (V)

0 (A)

I₀

Figure 6 : caractéristique du générateur

I0

+ _

I0

+

_

Figure 7 : nouveau et ancien symboles

Les ordres de grandeur couramment utilisés en électronique varient de 0,1 mA à 100 mA.

2. Récepteurs

Les conventions de sens de courant et tension prise pour les générateurs imposent les conventions inverses pour les récepteurs -figure 8-, courant et tension seront donc de sens opposés pour ces éléments.

E₀ +

I

_

E₀ R

Figure 8 : association générateur et récepteur

2.1. Résistance

C'est un élément dont la résistance au passage du courant électrique est exprimée en Ohm (symbole Ω).

Les résistances utilisées en électronique prennent différentes formes suivant l’utilisation (et la puissance) :

La loi (appelée loi d'Ohm) qui relie la tension U à ces bornes et le courant I traversant l'élément s'écrit alors si la valeur de la résistance est R :

U = R I

La caractéristique tension en fonction du courant d'une résistance est donc une droite.

U

I (V)

0 (A)

pente R

Figure 9 : caractéristique d'une résistance

Les deux cas extrêmes de résistance sont le court-circuit ou conducteur parfait (résistance nulle) et le circuit ouvert ou isolant parfait (résistance infinie). Hormis ces valeurs, les ordres de grandeurs de résistance utilisés couramment en électronique varie de 50 Ω à 1 MΩ.

Une résistance absorbe de l'énergie électrique et la restitue sous forme de chaleur. La puissance dissipée s'exprime en Watt (W) et s'écrit :

P = U I ou encore, d'après la loi d'Ohm :

P = R I² = U² / R

Les puissances maximales admissibles par les résistances utilisées couramment en électronique sont de un quart ou un demi-Watt.

2.2. Condensateur

C'est un dipôle formé par deux conducteurs (3) séparés par un isolant (2) :

Il est caractérisé par sa capacité exprimée en Farads (F). Tension à ses bornes et courant dans le circuit sont lié par la relation :

i C dv= dt

où C est la valeur de la capacité et t la variable temps. Pour des grandeurs continues (constantes), la seule possibilité de vérifier l'équation est :

I = 0

Un condensateur se comporte donc comme un circuit ouvert en régime continu.

2.3. Bobine (self)

C'est le composant dual du condensateur qui se présente comme un dipôle formé d'une bobine de conducteur caractérisée par son inductance exprimée en Henry (H) :

Tension et courant sont lié par la relation : u L di= dt

où L est la valeur de l'inductance. La seule possibilité de vérifier l'équation en continu est : U = 0

Une bobine se comporte donc comme un court-circuit en régime continu.

3. Lois et théorèmes

3.1. Loi des mailles

La somme algébrique des tensions dans une maille est nulle.

I₃

V R₁

V R2

1

2 R3

V₄ +

_

_ +

+ 3 _

R R₁

R2 I₃ I₁

I₂ I₁

I₂

V + R I - R I + V - R I + V = 0_{1 1 1 3 3 4 2 2 2}

Figure 11 : loi des mailles

Pour déterminer l'équation de la maille, il suffit de se fixer arbitrairement un sens de rotation et de faire un tour complet en comptant positives les tensions dont la flèche est dans ce sens et négatives les autres. L'autre membre de l'équation est zéro.

3.2. Loi des nœuds

La somme des courants arrivant à un nœud est égale à la somme des courants en sortant

I₃ I + I + I = I

I₂

I₁ I

1 2 3

Figure 12 : loi des nœuds

A partir de ces deux lois et de la loi d'Ohm, il est possible de faire tous les calculs en continu.

Ce qui va suivre maintenant en découle et est simplement destiné à simplifier les calculs.

3.3. Association de résistances en série

La résistance équivalente à une association série de résistances est la somme des valeurs de ces résistances :

R_EQ=

∑

R2 ...

R₁ R3

Rn

Figure 13 : association série

3.4. Association parallèle

L'inverse de la résistance équivalente (ou admittance équivalente, en Siemens -S-) à une association parallèle de résistances est la somme de l'inverse des valeurs de ces résistances (ou la somme des admittances) :

1 1 1 1 1

1 1 2

R_EQ ⁱ R_i R R R

i n

=

∑

R2

... R₃ R₁ Rn

Figure 14 : association parallèle

3.5. Diviseur de tension

Sur le schéma de la figure 15 la tension de sortie du diviseur de tension vaut :

U R

R R U

S= 1+² 2 E

E

R2 R₁ U

U_S

Figure 15 : diviseur de tension

3.6. Diviseur de courant

Sur la figure 16 nous avons la relation suivante entre les deux courants :

I R

R R I

2 1

1 2

= +

R2 I₂

I R₁

Figure 16 : diviseur de courant

3.7. Théorème de superposition

L'effet sur un circuit électrique de n générateurs est égal à la somme des effets de chaque générateur, les autres sources de tension étant remplacées par un court-circuit, les autres sources de courant par un circuit ouvert.

Ce théorème simplifie énormément les calculs car il permet de décomposer un circuit compliqué en plusieurs circuits simples.

3.8. Théorème de Millman

C’est une conséquence du théorème de superposition. Considérons le schéma de la figure 17.

V

R_{1 2 n}

X

V R

V R V

1 2 n

...

... X

Figure 17 : théorème de Millman

La tension au point X vaut :

V

V R R

V R

V R

V R

R R R

X

i i i i n

i i i n

n n n

= = + + +

+ + +

=

=

=

=

∑

∑

1 1

1 1

2 2

1 2

1 1 1 1

...

...

La connaissance de ce théorème évite également de long et laborieux calculs.

Les deux théorèmes qui vont suivre maintenant sont de moins en moins utilisé dans l'électronique moderne grâce en particulier à l'utilisation des amplificateurs opérationnels. Leur connaissance reste cependant importante.

3.9. Théorème de Thévenin

Lorsque nous avons vu les sources de tension, nous les avons considérées comme parfaites.

Hors une source de tension (E₀ sur la figure 18) présente toujours une résistance en série (r sur la figure 18), ne serait-ce que la résistance de la connexion au reste du circuit.

E0 r + _

VS I

charge S

Figure 18 : générateur réel

La tension de sortie dépend donc du courant absorbé par la résistance de charge, la caractéristique de sortie est modifiée et suit la loi :

S 0

S E rI

V = −

V

I E0

(V)

0 E / r (A)

0 S

S

Figure 19 : caractéristique de sortie

Le théorème de Thévenin nous dit que n'importe quel ensemble de composants peut être mis sous la forme d'un générateur de tension parfait en série avec une résistance.

La source de tension interne E₀ se détermine en calculant la tension à vide (sans autre charge que les éléments du circuit considéré) entre les bornes de sortie du générateur.

La résistance interne r se détermine en calculant la résistance vue des bornes de sortie du

Il est donc primordial lorsque l’on calcule le générateur de Thévenin équivalent, de savoir exactement quels éléments sont pris en compte, et entre quels points est vu le générateur.

3.10. Théorème de Norton

Il s'agit du théorème de Thévenin appliqué au générateur de courant. N'importe quel ensemble de composants peut être mis sous la forme d'un générateur de courant parfait (I₀ sur la figure 20) en parallèle avec une résistance (r sur la figure 20), une charge éventuelle étant placée aux bornes de cet ensemble.

I0 + _

VS I

charge r

S

Figure 20 : générateur de Norton

La source de courant interne I₀ se détermine en calculant le courant dans un court-circuit entre les bornes de sortie du générateur.

La résistance interne r se détermine, comme pour Thévenin en calculant la résistance vue des bornes de sortie du générateur à vide, les sources de tension étant mise en court circuit, les sources de courant en circuit ouvert.

On peut remarquer sur la figure 21 que les caractéristiques du générateur de Norton et de Thévenin sont identiques, seuls les éléments de modélisation changent.

La remarque faite pour le générateur de Thévenin, concernant les éléments pris en compte et le points de sortie reste valable.

V

I (V)

0 I (A)

r I

0 0

S

S

Figure 21 : caractéristique du générateur de Norton

Analogie

C’est classiquement le circuit hydraulique qui présente la meilleure analogie avec un circuit électrique :Une réserve d’eau en hauteur va présenter une différence de pression (différence de potentiel ou tension) par rapport à la hauteur de référence (la masse électrique) ; .si on ouvre la vanne (interrupteur), il y aura un débit d’eau (courant) plus ou moins important suivant l’ouverture du robinet (résistance réglable).

Une pompe permet de remplir la cure au fur et à mesure qu’elle se vide, l’ensemble cuve et pompe formant un générateur de pression (générateur de tension). Sans la pompe, nous aurions une simple réserve d’eau (condensateur).

pompe

différence de pression

(différence de potentiel)

plan de référence

(masse) débit (courant) électrovanne

(interrupteur)

robinet (résistance

réglable) générateur

U

I

R

Si on place plusieurs robinets en parallèle (résistances en parallèle) le débit (courant) augmente. Des robinets en série (résistances en série), diminueraient le débit (courant) sous réserve que la section des tuyaux présente un effet négligeable ; l’analogie est ici moins évidente.

4 Puissance et énergie

L’énergie est la grandeur physique qui permet de produire un travail : - déplacer une masse,

- faire tourner une roue,

- produire de la chaleur ou de la lumière etc…

Plus cette production de travail sera longue, plus il faudra d’énergie :

- il faut plus d’essence à une automobile pour parcourir 100 km qu’un seul,

- la facture de chauffage est plus importante si l’hiver dure 6 mois que s’il en dure deux.

Un appareil puissant fournira beaucoup d’énergie en peu de temps :

- avec une voiture puissante, on se rend plus rapidement d’un endroit à l’autre (en dehors des considérations de limite de vitesse et de sécurité) ;

- avec un radiateur puissant on élève plus rapidement la température d’une pièce.

Pourtant, en dehors des considérations de rendement et pertes diverses, l’énergie à fournir est théoriquement la même dans le deux cas de figure des exemples précédents.

En conséquence, dans l’hypothèse d’un travail constant sur la durée, l’énergie est donc fonction de la puissance et du temps d’application :

W = P . T W en joules (J)

P en watts (W) T en secondes (s)

Dans la « vie courante », l’énergie est ce que l’on paye à l’utilisation (l’essence de la voiture, la facture d’électricité etc…), tandis que la puissance se paye à l’achat de l’appareil :

- une voiture puissance est plus chère,

- un radiateur de 1500 W est plus cher qu’un de 1000 W.

On notera que sur une facture d’électricité EDF, la consommation d’énergie est notée en kW.h, ce qui est équivalent à la consommation d’un kW pendant une heure, soit 3600 J. On retrouve bien cette notion d’énergie produit de la puissance et du temps.

D’un point de vue électrique, on conçoit aisément que la puissance est proportionnelle à la tension et au courant :

P = U . I W = P . T = U . I . T

W en joules (J), P en watts (W) U en volts (V), I en ampères (A)

T en secondes (s) pour des signaux

continus