Élec 2 Circuits résistifs et générateurs

Lycée Vauvenargues - Physique-Chimie - PTSI 2 - 2021-2022

Contenu du programme officiel :

Notions et contenus Capacités exigibles

Dipôles : résistances, sources décrites par un modèle linéaire.

Utiliser les relations entre l’intensité et la tension.

Citer des ordres de grandeurs des composants R.

Exprimer la puissance dissipée par effet Joule dans une résistance.

Modéliser une source en utilisant la représentation de Thévenin.

Association de deux résistances. Remplacer une association série ou parallèle de deux résistances par une résistance équivalente.

Établir et exploiter les relations des diviseurs de tension ou de courant.

Résistance de sortie, résistance d’entrée. Évaluer une résistance d’entrée ou de sortie à l’aide d’une notice ou d’un appareil afin d’appréhender les conséquences de leurs valeurs sur le fonctionnement d’un circuit.

Étudier l’influence des résistances d’entrée ou de sortie sur le signal délivré par un GBF, sur la mesure effectuée par un oscil- loscope ou un multimètre.

En gras les points devant faire l’objet d’une approche expérimentale.

Table des matières

1 Les résistances 1

1.1 La loi d’Ohm et l’effet Joule. . . 1

1.2 Associations de résistances . . . 2

1.3 Les ponts diviseurs . . . 3

1.4 Le théorème de Millmann (hors programme) . . . 5

1.5 Résistance d’entrée d’un appareil de mesure . . . 6

2 Les générateurs de tension et de courant 7 2.1 Le générateur de tension. . . 7

2.2 Le générateur de courant . . . 9

1 Les résistances

1.1 La loi d’Ohm et l’effet Joule

Lorsqu’un courant circule dans un matériau conducteur, les électrons sont « freinés » par les atomes de celui-ci. Ce freinage traduit une perte de tension. Cet effet est maximal dans certains dipôles que l’on appellera « résistances ».

Définition. Dans une résistance, lorsque courant et tension sont en convention récepteur, laloi d’Ohm est vérifiée et indique que

U =Ri

avec R la valeur de la résistance en Ohm (W).

R i U

Fig. 1 – Une résistance en convention récepteur Remarque : On définit aussi la grandeurG= 1/R la conductance qui s’exprime en Siemens (S).

Calculons la puissance reçue par une résistance. On a, en convention récepteur,P_reçue=U i. On applique la loi d’Ohm et il vient la propriété suivante.

Propriété.La puissance dissipée par une résistance vaut P_dissipée=Ri² = U²

R >0 .

Cette puissance est toujours positive, la résistance est donc toujours un récepteur de courant. Cette puissance est dissipée dans le matériau sous forme de chaleur et entraîne une hausse de température. On parle de pertes par effet Joule.

Une résistance étant toujours réceptrice de puissance, il faudra toujours orienter son courant et sa tension en convention récepteur.

Une résistance est toujours une source de perte d’énergie. Comme l’écrasante majorité des matériaux conducteurs ont un caractère résistif, tous les circuits électriques réels dissipent de l’énergie en chauffant.

ILe fil électrique

Un fil électrique est un cylindre très fin de conducteur ohmique. Ainsi, il a les mêmes propriétés qu’une résistance mais sa résistance est numériquement très faible (généralement inférieure à un ohm par mètre).

Définition. Un fil électrique est un dipôle ohmique modélisé par une résistance nulle.

En appliquant la loi d’ohm, il vient donc u=Ri= 0.

Propriété.Quelle que soit l’intensité du courant traversant un fil, la tension aux bornes d’un fil est toujours nulle.

Toutefois, si les fils du circuits commencent à être très long, la résistance augmente et le modèle n’est plus valable. Il faut tenir compte de la résistance des fils.

Ainsi, mettre un fil aux bornes d’un dipôle quelconque impose une différence de potentiel nulle aux bornes du dipôle. On parle alors de dipôle en court circuit, le dipôle en court circuit n’aura aucune influence sur le montage électrique car le courant passera par le fil, et non pas à travers le dipôle.

IL’interrupteur ouvert

Un interrupteur ouvert modélise une portion de circuit présentant une discontinuité de milieu conduc- teur. Autrement dit, cette portion du circuit est ouverte, les charges ne peuvent plus passer. Pour passer, le courant doit alors traverser l’air ambiant, qui peut être modélisé par un conducteur ohmique de résistance très importante.

Définition. Un interrupteur ouvert est un dipôle modélisé par une résistance infinie.

Fig. 2 – Un interrupteur ouvert.

En appliquant la loi d’Ohm, on a i=u/R= 0.

Propriété.Quelle que soit la tension aux bornes d’un interrupteur ouvert, le courant le traversant est nul.

Cette propriété renvoie à la définition de la tension. Une différence de potentiel électrique entre deux points peut exister sans chemin physique entre ces deux points, et donc sans courant.

Remarque :Si la tension aux bornes d’un interrupteur dépasse un certain seuil, l’air devient conducteur et un arc électrique apparaît. C’est le même type de phénomène que l’apparition des éclairs ou que pour la machine de Wimshurst. C’est un phénomène que l’on cherche géné- ralement à éviter.

1.2 Associations de résistances IAssociation en série

Considérons deux résistancesR1 etR2 en série, donc parcourues par un même couranti. On noteU la tension aux bornes des deux résistances.

R₁

i R₂

U₁ U₂

U

⇔

R_eq

i

U

On a par la loi d’Ohm U1=R1ietU2=R2i. Par ailleurs, par définition, il vient U =U1+U2 et donc on aU = (R₁+R₂)i. Tout se passe donc comme siU était la tension aux bornes d’une résistance équivalente R_eq.

Propriété.En série, les résistances s’ajoutent

R_eq =R₁+R₂ . IAssociation en parallèle

Considérons deux résistances R₁ et R₂ en parallèles, donc ayant une même tension U à leurs bornes.

On note ile courant total parcourant le dispositif.

R1

R2

U

i i₁

i2

⇔

Req

i U

On a par la loi d’Ohm U =R₁i₁ et U = R₂i₂. Par ailleurs, par la loi des nœuds, il vient i = i₁+i₂ = 1

R₁ + 1 R₂

U. Tout se passe donc comme si U était la tension aux bornes d’une résistance équivalente Req.

Propriété.En parallèle, les inverses des résistances s’ajoutent 1

R_eq = 1 R₁ + 1

R₂ .

Remarque :À l’aide des conductances, on remarqueG_eq =G₁+G₂. IRecherche de résistances équivalentes

Application 1 : Deux résistances de 10 kW sont disponibles, comment les associer pour avoir une résistance équivalente de 20 kW ou de 5 kW ?

Application 2 : Quelle est la résistance équivalente pour chacun des circuits ? R₁

R2

R1

R₁ R₂

R1

1.3 Les ponts diviseurs

Les ponts diviseurs sont des relations permettant de trouver des courants ou des tensions sans poser les lois de Kirchhoff dans certains cas particuliers.

ILe pont diviseur de tension

On est confronté à la situation de la figure 3 oùU,R₁ etR₂ sont connus et on cherche U₂ (ouU₁). Les deux résistances sont en série, on a donc U = (R₁+R₂)iet de mêmeU₂ =R₂i. Ainsi,i= U

R₁+R₂ = U₂ R₂. Autrement dit, la tension se distribue proportionnellement sur les résistances.

Propriété.Lepont diviseur de tensionindique que U₁= R₁

R₁+R₂U et U₂= R₂ R₁+R₂U . R₁

i R₂

U₁ U₂

U

Fig. 3– Le pont diviseur de tension.

Remarque : Il faut bien retenir cette configuration. En particulier, les résistances sont en série. Dans la formule, la résistance sur laquelle est la tension recherchée est au numérateur.

Application 3 : Combien vaut la tensionU dans le circuit ci-dessous ?

10 kΩ 5 kΩ

U 1 V

Application 4 : Combien vaut la tensionU dans le circuit ci-dessous ?

10 kΩ 5 kΩ

10 kΩ

U 1 V

ILe pont diviseur de courant

On est confronté à la situation de la figure 4 où i,R₁ etR₂ sont connus et on cherchei₂ (oui₁). Les deux résistances sont en parallèle, on a donc U =R_eqi avec R_eq = R₁R₂

R₁+R₂ et de même U =R₂i₂. Ainsi, U = R₁R₂

R1+R2

i=R₂i₂.

Autrement dit, le courant se distribue proportionnellement sur les conductances (soit inversement pro- portionnellement aux résistances).

Propriété.Lepont diviseur de courant indique que i1 = R2

R1+R2

i et i2 = R1

R1+R2

i .

R₁

R2

U

i i₁

i₂

Fig. 4 – Le pont diviseur de courant.

Remarque : Il faut bien retenir cette configuration. En particulier, les résistances sont en parallèles. Dans la formule, la résistance qui n’est pas traversée par le courant recherché est au numérateur.

À l’aide des conductances, on remarque par contrei₁= G₁ G1+G2

i. Application 5 : Combien vaut le courantidans le circuit ci-dessous ?

5 kΩ

15 kΩ 1 mA

i

Application 6 : Combien vaut le courantidans le circuit ci-dessous ? 5 kΩ 10 kΩ

15 kΩ 10 kΩ 10 kΩ 1 mA

i

1.4 Le théorème de Millmann (hors programme)

On cherche le potentiel électrique V à un nœud du circuit comme sur le schéma ci-dessous.

R₃

V3

R₄

V4

R₁ V1

R2

V2

V

Les potentiels affichées correspondent aux tensions par rapport à la masse du système.

On applique la loi d’Ohm sur chaque résistance. D’où, en prenant comme convention que les courants se dirige vers le nœud, il vienti_k= (V_k−V)/R_k pour k= 1,2,3,4.

On part ensuite de la loi des nœuds ^P4k=1i_k = 0 avec la définition des courants donnée à la question précédente. Il vient la loi des nœuds en tension

V −V1

R₁ +V −V2

R₂ +V −V3

R₃ +V −V4

R₄ = 0. On isole ensuiteV dans l’expression précédente

V

4

X

k=1

1 R_k −

4

X

k=1

V_k R_k = 0 d’où le théorème de Millmann

U = P4

k=1

V_k R_k P4

k=1

1 R_k

.

Ce théorème est très utile en électronique. Toutefois, il n’est pas au programme, son utilisation nécessite donc de reproduire les étapes de démonstration explicitées ci-dessus.

Ce théorème se généralise à un nombre quelconque de dipôles.

Remarque :Dans le cas de deux résistances, on a(G1+G2)U =G1V1+G2V2 en exprimant le théorème à l’aide des condutances que l’on peut écrire(G₁+G₂)(U −V₁) =G₂(V₂−V₁).

En remarquant que la tension aux bornes de la première résistance vautV1−U tandis que la tension aux bornes de l’ensemble vautV₁−V₂, on retrouve le pont diviseur de tension.

1.5 Résistance d’entrée d’un appareil de mesure

Tous les appareils de mesures de tensions, comme les voltmètres ou les oscilloscopes, doivent être placés en parallèles de la tension à mesurer. Idéalement, il faut que leur résistance soit infinie. En effet, dans ce cas, aucun courant ne passe dans l’appareil de mesure qui ne perturbe ainsi pas le montage électrique.

En réalité, tous les appareils de mesures ont une résistance interne R_int. La situation réelle est donc celle de la figure 5.

R i

U V

R_int Voltmètre réel

Fig. 5 – Situation dans une mesure de tensionU. La résistance interne influe sur le circuit.

Dans ce cas, la tension U est imposée par le courant i imposé par le reste du circuit mais aussi par la présence de la résistance interne R_int. La tension U vaut alors U = RR_int

R+R_inti . Pour que l’appareil de mesure ne perturbe pas la tension et le circuit, il faut doncRRint.

Comme on peut le voir figure 6, c’est pour cette raison que les résistances d’entrée des multimètres sont très élevées, ici de l’ordre de 10 MW.

Fig. 6 – Extrait de la notice d’un multimètre numérique. La résistance interne est dans la partie « Input Impedance ».

2 Les générateurs de tension et de courant

2.1 Le générateur de tension

Un générateur de tension est alimenté par une source d’énergie extérieure au circuit, qui peut venir du secteur EDF ou d’autres sources (comme l’énergie chimique pour les piles). Il apporte une tension au système et ainsi fournit de l’énergie. Il se symbolise comme ci-dessous. Il doit toujours être dessiné en convention générateur. Si la tension est imposé par le générateur, le courant débité est lui imposé par le reste du circuit électrique.

E₀ i

Fig. 7 – Un générateur idéal de tensionE₀. Le courant est imposé par le reste du circuit.

ICaractéristique d’un générateur

Un générateur est dit idéal s’il n’est pas perturbé par une résistance interne. Dans ce cas, la tension débitée est constante quelle que soit le courant. Dans un générateur réel, il y a toujours des effets résistifs qui font que la tension et le courant débité sont liés. La relation entre tension et courant est appelée caractéristique.

i U

E₀

Fig. 8 – Caractéristique d’un générateur de tension idéal délivrant la tensionE₀ quel que soit le courant.

i U

Fig. 9 – Caractéristique d’un générateur de tension réel, la tension délivrée dépend du courant.

Remarque :La caractéristique d’un fil idéal est celle d’un générateur idéal de tension imposant une tension nulle à ses bornes.

IReprésentation de Thevenin d’un générateur réel La présence d’une résistance interne impose que la caractéristique 9 est décrite par la relation linéaire

U =E0−ri

avecE₀ la tension délivrée en courant nulle, appelée force électromotrice (fém), etr la résistance interne du générateur.

Un générateur réel est donc modélisé par un gé- nérateur de Thévenin modélisé par le circuit de la figure 10.

r

E0

i ri

U =E0−ri

Fig. 10– Le générateur de Thévenin. La tension réel- lement délivrée est la tensionU =E₀−ri. Le symbole générateur fait référence à un générateur idéal de fém E0.

IRésistance de sortie

Prenons un générateur réel pour alimenter une résistanceR, on noteU la tension à ses bornes. La tension commandée est la tensionE0. La résistance interner est appeléerésistance de sortiedu générateur. Par définition du générateur de tension, on souhaite que U et E₀ soient identiques. Or, on remarque que la résistancerinflue sur la tensionU. En effet, avec un pont diviseur de tension, on constate queU = R

R+rE₀. La résistance de sortie d’un générateur peut donc perturber le circuit. On s’arrange généralement pour que toutes les résistances sur lesquelles débitent le générateur soit bien plus importantes que la résistance interne. Généralement, on a r≈50 Ω.

r

E₀

R i

Générateur réel

U

Remarque :En séance de TP, lorsque nous utiliserons les GBF en mode créneau, si le créneau observé sur l’oscilloscope n’est pas parfaitement carré, cela signifie souvent que la résistance globale du circuit est plus faible ou de l’ordre de la résistance de sortie.

ILe point de fonctionnement d’un circuit

Nous avons indiqué précédemment que, pour un générateur réel, le courant et la tension délivré sont imposés par le reste du circuit. Pour trouver rapidement ce courant et cette tension réellement présents dans le circuit, on peut soit résoudre analytiquement les équations, soit faire un tracé graphique.

E0

i R

U

Fig. 11 – Un générateur et une résistance sont placés dans la même maille qu’une diode de caractéristique U =f(i).

Prenons par exemple le circuit de la figure 11. Un générateur et une résistance sont parcourues par le courant i et ont la tension U à leurs bornes, donnés par la relation U =E₀−Ri. Ce circuit est branché sur une diode. La caractéristique d’une diode est une certaine fonction f telle que U =f(i). Pour trouver rapidement la valeur de U et de idans le circuit, on trace les deux caractéristiques.

i U

U =E0−Ri

U =f(i)

•

Point de fonctionnement

i_f U_f

Fig. 12– Superposition des caractéristiques des deux parties du circuit de la figure 11. Le point de fonctionne- ment de coordonnées(U_f, i_f) donne la tension et le courant dans le circuit.

Méthode pour rechercher une intensité dans un circuit résistif alimenté par un générateur de tension :Prenons un générateur de tension qui alimente une série de résistance. Pour trouver l’intensité du courant sortant du générateur, on cherche le point de fonctionnement du circuit. Pour cela :

1. calculer la résistance équivalente du circuit résistif ; 2. appliquer la loi d’Ohm.

Application 7 : Combien vaut le courantidans le circuit ci-dessous ?

10 kΩ 5 kΩ

1 V i

10 kΩ

2.2 Le générateur de courant

Un générateur de courant impose un certain courant I dans le circuit. Tout comme le générateur de tension, il doit être représenté en convention générateur. S’il est supposé idéal, ce courant est indépendant de la tension aux bornes du générateur. En réalité, les générateurs réels possèdent une résistance interne qui rend le courant délivré dépendant de la tension aux bornes du générateur imposée par le circuit.

I0

U

Fig. 13 – Un générateur idéal de courantI₀. La tension est imposée par le reste du circuit.

i U

I₀

Fig. 14 – Caractéristique d’un générateur de courant idéal délivrant le courantI₀ quelle que soit la tension.

i U

I₀

Fig. 15– Caractéristique d’un générateur de courant réel, le courant délivré dépend de la tension.

Remarque : La caractéristique d’un interrupteur ouvert est celle d’un générateur idéal de courant délivrant un courant nul.

Propriété.Les représentations des générateurs réels (avec résistance) sont équivalentes. Un générateur réel peut toujours être modélisé par un générateur de Thévenin.