Praktikum Physik Prisma 13GE
PRISMA – VERSUCHSAUSWERTUNG I. THEORETISCHER HINTERGRUND
Trifft Licht auf eine Seite eines Prismas welches sich in Luft befindet, so wird es im Regelfall zweimal gebrochen und tritt somit auf der zweiten Seite in eine neue Richtung aus. Der Winkel zwischen den Richtungen des einfallenden Lichtstrahles und des austretenden Lichtstrahles wird Ablenkungswinkel δ genannt.
Wenn der Strahlengang durch das Prisma symmetrisch ist, dann ist der Ablenkungswinkel minimal (δ =δmin). In diesem Fall gilt die Formel nach Fraunhofer:
α α
γ
δmin (Minimalablenkung)
β β
n=n2
A B
C
n =11
Winkelhalbierende
⎟⎠
⎜ ⎞
⎝
⎛
⎟⎠
⎜ ⎞
⎝
⎛ +
=
sin 2 sin min2
γ γ δ n
Mit dieser Formel kann der Brechungsindex n des Materials aus dem das Prisma besteht bestimmt werden.
γ ist der Prismenwinkel.
Da der Brechungsindex n auch von der Wellenlänge λ des Lichts abhängig ist, kann man die Dispersionskurve des Prismas aufnehmen. Darunter versteht man die graphische Darstellung vom Brechungsindex n als Funktion der Wellenlänge λ.
Ziel des Versuchs ist, die Dispersionskurve des Prismas aufzunehmen.
II. VERSUCHSAUFBAU UND DURCHFÜHRUNG
Leuchtbox
12 V δmin
DIN A3 Blatt
M N
O
Praktikum Physik Prisma 13GE a. Ein DIN A3 Blatt wird quer mit Klebeband am Tisch befestigt. Die Lichtbox wird so
aufgestellt, dass der Strahl parallel zur großen Seite des Blattes verläuft.
b. Der Verlauf des Lichtstrahls wird auf das Blatt eingezeichnet. In Bezug zu diesem Strahl wird später die Minimalablenkung gemessen. Die Leuchtbox darf jetzt nicht mehr verschoben werden.
c. Das Prisma wird wie angegeben auf das Blatt gestellt. Es wird dann am Prisma gedreht, sodass der Ablenkungswinkel minimal wird. Die Position des Prismas wird eingezeichnet. Man kann jetzt ein Farbspektrum beobachten.
d. Man stellt fest, dass violett stärker abgelenkt wird als rot.
e. Wenn man den Strahlengang durch das Prisma beobachtet, kann man feststellen, dass er in Bezug zur Winkelhalbierenden des Prismenwinkels γ symmetrisch ist.
f. Der Strahlenverlauf wird für unterschiedliche Farben (rot, orange, gelb, grün, blau und violett) aufgezeichnet.
g. Die Strecken MN und NO werden für alle Strahlen gemessen. Dabei kann die Strecke MN für alle Strahlen gleich groß gewählt werden!
III. MESSWERTETABELLEN und VERSUCHSAUSWERTUNG (mit Beispielwerten) In einem Versuch wurden die folgenden Werte gemessen (die Wellenlängen können Tabellen entnommen werden):
Rot Gelb Grün Blau Violett λ (nm) 656 589 527 430 396 MN (cm) 18,0 18,0 18,0 18,0 18,0 NO (cm) 44,1 47,2 51,5 67,3 72,7
Durch eine Analyse der Versuchsanordnung stellen wir fest, dass im rechtwinkligen Dreieck MNO die Strecke MN der Ankathete und die Strecke NO der Gegenkathete des Minimalablenkungswinkels δmin entspricht. Dadurch gilt
MN
= NO tanδmin
Dadurch kann der Minimalablenkungswinkel mit der folgenden Formel bestimmt werden:
MN ArctanNO
min = δ
Die Brechzahl für die jeweilige Farbe kann dann mit der Formel nach Fraunhofer bestimmt werden:
⎟⎠
⎜ ⎞
⎝
⎛
⎟⎠
⎜ ⎞
⎝
⎛ +
=
sin 2 sin min2
γ γ δ n
Der Prismenwinkel beträgt bei diesem Versuch γ =60°.
Praktikum Physik Prisma 13GE Wir erhalten daher eine erweiterte Tabelle:
Rot Gelb Grün Blau Violett λ (nm) 656 589 527 430 396 MN (cm) 18,0 18,0 18,0 18,0 18,0 NO (cm) 44,1 47,2 51,5 67,3 72,7 δmin 67,8 69,1 70,7 75,0 76,1 n 1,796 1,806 1,818 1,848 1,855
Mit den grau hinterlegten Werten kann jetzt die Dispersionskurve des Prismas gezeichnet werden. Dabei handelt es sich um die Graphik n = f (λ).
IV. DISPERSIONSKURVE
400 450 500 550 600 650 700
1,79 1,80 1,81 1,82 1,83 1,84 1,85 1,86
Brechzahl
Wellenlänge in nm
Bei der Kurve handelt es sich nicht um eine Gerade, sonderun um eine leicht abfallende Kurve.
V. ANHANG
Die folgende Tabelle gibt den ungefähren Zusammenhang zwischen Farbe und Wellenlänge wieder:
Ultraviolett Violett Blau Grün Gelb Orange Rot Infrarot
15-400 nm 400-420 nm
420-490 nm
490-575 nm
575-585 nm
585-650 nm
650-750 nm
0,75-100 µm
Praktikum Physik Sammellinse 13GE
SAMMELLINSE – VERSUCHSAUSWERTUNG I. VERSUCHSZIEL
Bei Sammellinsen soll
► das Gesetz zum Abbildungsmaßstab experimentell hergeleitet werden,
► die Abbildungsgleichung hergeleitet werden.
II. VERSUCHSAUFBAU UND DURCHFÜHRUNG
Das von einer Lampe beleuchtete Pfeil-Diapositiv soll mit einer Sammellinse abgebildet werden (scharfes Abbild). Der Versuchsaufbau erfolgt nach der untenstehenden Skizze.
g b
G B
Verwendete Größen: g Gegenstandsweite (Distanz zwischen dem abzubildenden Gegenstand un der Linse)
b Bildweite (Distanz zwischen dem Bild und der Linse) G Gegenstandsgröße
B Bildgröße
f Brennweite der Sammellinse
Bildweite und Bildgröße werden für unterschiedliche Gegenstandsweiten bei vorgegebener Bildgröße gemessen. Dabei fällt auf, dass ein scharfes Bild nur dann auf dem Schirm erzeugt werden kann, wenn die Gegenstandsweite größer als die Brennweite der Linse gewählt wird.
Ein reelles Bild kann nur erzeugt werden wenn g > f.
Wenn diese Bedingung nicht erfüllt ist, das heißt, wenn g<f , dann kann man durch die Sammellinse ein virtuelles, vergrößertes Bild des Gegenstandes betrachten. In diesem Fall funktioniert die Sammellinse als Lupe.
Für g =f ist das Bild erst scharf, wenn man den Schirm unendlich weit von der Linse
Praktikum Physik Sammellinse 13GE
III. MESSWERTETABELLEN und VERSUCHSAUSWERTUNG (mit Beispielwerten) In einem Versuch wurden die folgenden Werte für 2 verschiedene Sammellinsen aufgenommen. Die letzten 3 Kolonnen dienen der Versuchsauswertung.
f (cm) g (cm) b (cm) G (cm) B (cm)
g b
G B
g b
1 1+
f 1
10 12 61 2,5 12,3 5,08 4,92 0,100
10 17 23,5 2,5 3,7 1,38 1,48 0,101
10 20 20,4 2,5 2,4 1,02 0,96 0,099
10 25 17,3 2,5 1,7 0,69 0,68 0,098
10 30 14,6 2,5 1,1 0,49 0,44 0,102
0,100
5 6 32 2,5 13 5,33 5,20 0,198
5 8 23,5 2,5 7,1 2,94 2,84 0,168
5 10 9,9 2,5 2,6 0,99 1,04 0,201
5 12 8,7 2,5 1,8 0,73 0,72 0,198
5 15 7,5 2,5 1,2 0,50 0,48 0,200
0,200
Feststellung
► Die Quotienten G
B und g
b sind gleich groß. Wir können daher das Gesetz des
Abbildungsmaßstabes folgendermaßen formulieren:
g Γ b G
B = =
Γ bezeichnet den Abbildungsmaßstab. Er gibt an, wie viel mal das Bild größer ist, als der Gegenstand.
► Die Quotienten f
1 und
g b
1
1+ sind gleich groß. Wir können daher die Abbildungsgleichung:
g b f
1 1 1 = +
Praktikum Physik Sammellinse 13GE Außerdem können wir die Bildeigenschaften in der folgenden Tabelle zusammenfassen:
Gegenstands-
weite g Bildweite b Bildeigenschaften
∞
+ f verkleinert, umgekehrt, reell
+∞
<
<g f
2 f <b<2f verkleinert, umgekehrt, reell
f
2 2f gleich groß, umgekehrt, reell
f g
f < <2 2f <b<+∞ vergrößert, umgekehrt, reell
f +∞ sehr groß, umgekehrt, reell
f
g < −∞<b<0 vergrößert, aufrecht, virtuell
→0
g b→0 gleich groß, aufrecht, virtuell
IV. FEHLERBERECHNUNG
Es soll untersucht werden, wie stark die Größe g b
1
1+ vom Quotienten f
1 abweicht. Da die Brennweite f der Linse vorgegeben ist, bezeichnen wir diese als Angabenwert. Zur Berechnung der Fehler werden die folgenden Formeln benutzt:
absoluter Fehler: ∆x= xAngabe −xMessung relativer Fehler: ∆ = ∆ ⋅100%
Angabe
rel x
x x
Im konkreten Fall benutzen wir daher die folgenden Formeln:
⎟⎟⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛ +
−
⎟=
⎠
⎜ ⎞
⎝
∆⎛
g b f f
1 1 1
1 und 100%
1 1
1 ⎟⋅
⎠
⎜ ⎞
⎝
∆⎛
⎟ =
⎠
⎜ ⎞
⎝
∆⎛
f f f rel
f
1 0,100 0,200
g b
1
1+ 0,100 0,101 0,099 0,098 0,102 0,198 0,168 0,201 0,198 0,200
⎟⎟⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
∆⎛ f
1 0 0,001 0,001 0,002 0,002 0,002 0,032 0,001 0,002 0
f ⎟⎟rel
⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
∆⎛1
0% 1% 1% 2% 2% 1% 16% 0,5% 1% 0%
Praktikum Physik Einfachspalt 13GE
EINFACHSPALT – VERSUCHSAUSWERTUNG I. VERSUCHSZIEL
► Mehrere Beugungsmuster beobachten und aufzeichnen.
► Die Spaltbreite L experimentell bestimmen.
II. VERSUCHSAUFBAU UND DURCHFÜHRUNG
Laserlicht trifft auf einen Spalt. Die Spaltbreite beträgt L. Auf einem Schirm, der sich in der Entfernung D vom Spalt befindet, kann das Beugungsmuster beobachtet werden. αk
bezeichnet den Beugungswinkel, d bezeichnet den Abstand mittleres Intensitätsmaximum - Intensitätsminimum k.-Ordnung.
Das Beugungsmuster wird sorgfältig abgezeichnet.
LASER αk dk
O
Schirm D
Versuchsparameter (Beispielwerte):
Wellenlänge des Laserlichts: λ = 632,8 nm
Spaltbreite: L = 0,12 mm (Angabe des Herstellers) Entfernung Spalt–Schirm: D = 3,15 m
Theorie:
αk L αk
∆s
S1 S2
Das vom Spalt ausgehende Lichtbünbdel wird in 2 gleiche Teile geteilt. Ein Intensitätsminimum entsteht, wenn es für jeden Lichtstrahl S1 aus dem oberen Teilbündel einen Lichtstahl S2 aus dem unteren Teilbündel gibt, für die der Gangunterschied ein ungerades ganzzahliges Vielfaches der halben Wellenlänge ist. In diesem Fall ist der Gangunterschied ∆s der beiden Randstrahlen ein ganzzahliges Vielfaches der Wellenlänge:
λ k s =
∆ Die Figur zeigt:
L k L
s
k
α ∆ = λ
= sin
Für den Fall wo der Beugungswinkel klein ist kann man schreiben:
D dk
k
k ≅ α =
α tan sin
Praktikum Physik Einfachspalt 13GE Daher gilt die Relation:
L k D dk = λ
Und:
L k dk = D⋅λ
III. VERSUCHSAUSWERTUNG
Folgendes Beugungsmuster wird auf Papier abgezeichnet::
Ordnung k: -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
dk
O d4
Die Distanz dk wird für die Ordnungen −5≤k≤5 gemessen und in eine Tabelle (Beispielwerte) eingetragen. Für k <0 wird die Distanz negativ genommen:
k -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
dk (cm) -8,2 -6,6 -4,9 -3,3 -1,6 1,7 3,3 5,0 6,5 8,3
Die Graphik dk =f(k) wird auf Millimeterpapier erstellt (Distanz dk in Abhängigkeit der Ordnung k). Die Graphik ergibt eine Gerade, die durch den Koordinatenursprung geht:
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10
∆x d k (cm)
k
∆y
Praktikum Physik Einfachspalt 13GE Die Steigung B der Geraden entspricht dem Quotienten
L B=D⋅λ.
L k dk D⋅ ⋅
= λ
x B y = ⋅
Die Steigung hat die Dimension einer Länge.
Sie kann graphisch bestimmt werden (auf die Einheit aufpassen!):
m 0166 , 0 cm 66 , ) 1 00 , 5 ( 15 , 4
) 2 , 8 ( 0 , 7
2 2
1
2 = =
−
−
−
= −
−
= −
∆
= ∆
x x
y y x B y
Daher kann man für die Spaltbreite schreiben:
mm 0,1201 m
10 1,201 m
0,0166
m 10 632,8 m
3,15 ⋅ ⋅ 9 = ⋅ 4 =
⋅ =
= − −
B L D λ
Absoluter Fehler: ∆L= LAngabe −LMessung = 0,1200−0,1201mm=0,0001mm Relativer Fehler: 0,00084 0,084%
mm 1201 , 0
mm 0001 ,
0 = =
∆ = L
L
Endresultat:
Spaltbreite: L=(0,1201±0,0001)mm 0,084%) (1
mm 1201 ,
0 ⋅ ±
= L
Praktikum Physik Doppelspalt 13GE
DOPPELSPALT – VERSUCHSAUSWERTUNG I. VERSUCHSZIEL
► Mehrere Beugungsbilder beobachten und aufzeichnen.
► Den Mittenabstand beider Spalte durch Ausmessen der Beugungsfigur bestimmen.
II. VERSUCHSAUFBAU UND DURCHFÜHRUNG
Laserlicht trifft auf einen Doppelspalt. Der Mittenabstand zwischen den Spalten beträgt g.
Die Breite eines Spalts wird mit b bezeichnet. Auf einem Schirm, der sich in der Entfernung D vom Doppelspalt befindet, kann das Beugungsmuster beobachtet werden. φ bezeichnet den Beugungswinkel, x bezeichnet den Abstand mittleres Intensitätsmaximum - Intensitätsmaximum k.-Ordnung.
Das Beugungsbild wird sorgfältig abgezeichnet.
LASER O
Schirm D
φ
x
Versuchsparameter (Beispielwerte):
Wellenlänge des Laserlichts: λ = 632,8 nm
Spaltbreite: b = 0,12 mm (Angabe des Herstellers) Mittenabstand zwischen den Spalten: g = 0,5 mm (Angabe des Herstellers) Entfernung Spalt–Schirm: D = 3,65 m
Theorie (für den Fall b << g):
g φ
∆s φ
Ein Intensitätsmaximum entsteht, wenn der Gangunterschied ∆s der beiden von der Spaltmitte ausgehenden Strahlen ein ganzzahliges Vielfaches der Wellenlänge ist:
λ k s =
∆ Die Figur zeigt:
g k g
s λ
ϕ = ∆ = sin
Praktikum Physik Doppelspalt 13GE
Für den Fall wo der Beugungswinkel klein ist kann man schreiben:
D
= x
≅ ϕ
ϕ tan sin
Daher gilt die Relation:
g k D
x λ
=
Und:
g k
x = D⋅λ k∈Z
In Wirklichkeit überlagert sich das Interferenzbild des Doppelspaltes mit dem Beugungsbild des Einfachspaltes. Im Fall wo die Spaltbreite nicht vernachlässigbar ist, kann es daher vorkommen, dass sich ein Interferenzmaximum des Doppelspalts mit einem Beugungsminimum des Einfachspalts überlagert (→ siehe Figur unten für k = -4 ; 4 und k
= -8 ; 8). In diesem Fall ist das Bild auf dem Schirm dunkel.
(→ siehe Anhang für weitere Details)
III. VERSUCHSAUSWERTUNG
Folgendes Beugungsbild wird auf Papier abgezeichnet:
Ordnung k: 0
x O x7
2 4 6 8 10 -2
-4 -6 -8 -10
Die Distanz x wird für die Ordnungen −9≤k ≤9 gemessen und in eine Tabelle (Beispielwerte) eingetragen. Für k <0 wird die Distanz negativ genommen:
k -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
x (cm) -4,1 -3,7 -3,2 -2,7 -2,3 -1,8 -1,4 -0,9 -0,4
k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
x (cm) 0 0,5 0,9 1,4 1,8 2,3 2,8 3,2 3,7 4,2
Die Graphik x=f(k) wird auf Millimeterpapier erstellt (Distanz x in Abhängigkeit der Ordnung k). Die Graphik ergibt eine Gerade, die durch den Koordinatenursprung geht:
Praktikum Physik Doppelspalt 13GE
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -5
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
∆x
x (cm)
k
∆y
Die Steigung B der Geraden entspricht dem Quotienten
g B D⋅λ
= .
g k x= D⋅λ ⋅
x B y = ⋅
Die Steigung hat die Dimension einer Länge.
Sie kann graphisch bestimmt werden (auf die Einheit aufpassen!):
m 65 004 , 0 cm 465 , ) 0
9 ( 95 , 8
) cm 2 , 4 ( cm 15 , 4
2 2
1
2 = =
−
−
−
= −
−
= −
∆
= ∆
x x
y y x B y
Daher kann man für den Mittenabstand der Spalte schreiben:
mm 7 0,496 m
10 4,967 m
65 0,004
m 10 632,8 m
3,65 9 4
=
⋅
⋅ =
= ⋅
= ⋅ − −
B g D λ
Praktikum Physik Doppelspalt 13GE
Absoluter Fehler: ∆g = gAngabe −gMessung = 0,5000−0,4967mm=0,0033mm Relativer Fehler: 0,00664 0,664%
mm 7 496 , 0
mm 3 003 ,
0 = =
∆ = g
g
Endresultat:
Mittenabstand der Spalte: g =(0,497±0,004)mm 0,67%) (1
mm 497 ,
0 ⋅ ±
= L
Praktikum Physik Doppelspalt 13GE IV. ANHANG – EINFLUSS VON MITTENABSTAND UND SPALTBREITE AUF DAS
BEUGUNGSBILD
Die folgenden Graphiken zeigen die Intenssitätsverteilung beim Doppelspalt in Abhängigkeit vom Sinus des Beugungswinkels.
Gleiche Spaltbreite (b konstant) Steigender Mittenabstand (g variabel)
Gleicher Mittenabstand (g konstant) Steigende Spaltbreite (b variabel)
-0.006-0.004-0.002 0.002 0.004 0.006 sinHjL g=0.050mm, b=0.025mm,l=632.8nm
-0.006-0.004-0.002 0.002 0.004 0.006 sinHjL g=0.100mm, b=0.015mm,l=632.8nm
-0.006-0.004-0.002 0.002 0.004 0.006 sinHjL g=0.100mm, b=0.025mm,l=632.8nm
-0.006-0.004-0.002 0.002 0.004 0.006 sinHjL g=0.100mm, b=0.025mm,l=632.8nm
-0.006-0.004-0.002 0.002 0.004 0.006 sinHjL g=0.200mm, b=0.025mm,l=632.8nm
-0.006-0.004-0.002 0.002 0.004 0.006 sinHjL g=0.100mm, b=0.050mm,l=632.8nm
Durch die Variation des Abstands der Spalte ändert sich die Lage der Minima des Einfachspalts nicht. Die Lage der Minima des Doppelspalts ändert sich jedoch. Je größer die Spaltabstände um so mehr Maxima und Minima des Doppelspalts passen in das nullte Maximum des Einfachspalts.
Nur dort wo bei Durchleuchtung des Einzelspalts Licht hinkommt, kann auch vom Mehrfachspalt Licht hinkommen. Es kann also im Minimum des Einfachspalts kein Lichtmaximum des Doppelspalts sein.
Durch die Variation der Breite des Einfachspalts ändert sich die Lage der Minima des Einfachspalts.
Die Lage der Minima des Doppelspalts ändert sich nicht. Je kleiner die Spaltbreite, um so mehr Maxima und Minima des Doppelspalts passen in das nullte Maximum des Einfachspalts.
Nur dort wo bei Durchleuchtung des Einzelspalts Licht hinkommt, kann auch vom Mehrfachspalt Licht hinkommen. Es kann also im Minimum des Einfachspalts kein Lichtmaximum des Doppelspalts sein.
Beispiel Doppelspalt:
Intensitätsminima
g k
2 ) 1 2
sinα =( + ⋅λ mit k ∈ Z
α α sin tan =
d D g k
g k D d
2 ) 1 2 (
2 ) 1 2 (
⋅
⋅
= +
⋅
= +
λ λ
d D g= k+ ⋅λ⋅
2 1 2
hier besteht keine Proportionalität zwischen g und k !!!
Es ergibt sich also auch „keine“ Gerade wenn man g(d) aufzeichnet !!!
Doppelspalt
-15 -10 -5 0 5 10 15
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
k
d
Trick!!
man setzt:
2 1
' 2 +
= k k
dies bedeutet dass k' = ,....
2 , 7 2 , 5 2 , 3 2
1 ± ± ±
± Nun aber gilt
d k D g= '⋅λ⋅
Dies ist eine Gerade aber die Messwerte müssen nun auch gemäss
k’= ,....
2 , 7 2 , 5 2 , 3 2
1 ± ± ±
±
eingezeichnet werden
Doppelspalt
-15 -10 -5 0 5 10 15
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
k
d
Erklärung zum TP Doppelspalt und Einzelspalt
Beim TP ergeben sich immer wieder Probleme, je nachdem, op Intensitätsmaxima oder Intensitätsminima vermessen werden sollen.
Einzelspalt: Bevorzugt Minima vermessen Laut Script gilt:
Vermisst man nun
1. Minima (destuktive interferenz) dann gilt:
l k λ α = ⋅
sin sowie
D tgα = d
Mit sinα =tgα ergibt sich k l d =λ⋅D
mit k∈Z* Also k = ganze Zahlen ohne die Null trägt man nun d(k) auf, so ergibt sich eine Gerade mit der Steigung
l
⋅D λ
2. Maxima so entsteht die gewünscht Gerade nur durch einen „Trick“
Anstatt der oben genannten Bedingung für konstruktive Interferenz nimmt man einen Wechsel der Konstanten k vor. Man schreibt:
k λl α = '⋅
sin mit ,...
2 , 7 2 , 5 2 , 3
' =0± ± ±
k
Mit sinα =tgα ergibt sich k' l d ⋅D
= λ
mit ,...
2 , 7 2 , 5 2 , 3
' =0± ± ±
k
trägt man nun d(k’) auf, so ergibt sich eine Gerade mit der Steigung l
⋅D λ
Doppelspalt: Bevorzugt Maxima vermessen Laut Script gilt:
Vermisst man nun
1. Maxima (konstruktive Interferenz) dann gilt:
g k λ α = ⋅
sin sowie
D tgα = d
Mit sinα =tgα ergibt sich k g d =λ⋅D
mit k∈Z Also k = ganze Zahlen trägt man nun d(k) auf, so ergibt sich eine Gerade mit der Steigung
g
⋅D λ
2. Minima so entsteht die gewünscht Gerade nur durch einen „Trick“
Anstatt der oben genannten Bedingung für konstruktive Interferenz nimmt man einen Wechsel der Konstanten k vor. Man schreibt:
k λg α = '⋅
sin mit ,...
2 , 7 2 , 5 2 , 3 2
' =±1 ± ± ±
k
Mit sinα =tgα ergibt sich k' g d = λ⋅D
mit ,...
2 , 7 2 , 5 2 , 3 2
' =±1 ± ± ±
k
trägt man nun d(k’) auf, so ergibt sich eine Gerade mit der Steigung l
⋅D λ
Praktikum Physik Strichgitter 13GE
STRICHGITTER – VERSUCHSAUSWERTUNG I. VERSUCHSZIEL
► Wellenlängen für verschiedene Farben eines Halogenlampenspektrums bestimmen (bei bekannter Gitterkonstante).
► Die Gitterkonstante mithilfe von Laserlicht bestimmen (bei bekannter Wellenlänge des Laserlichts).
II. VERSUCHSAUFBAU UND DURCHFÜHRUNG Der Versuchsaufbau erfolgt nach dem folgenden Schema:
O
Schirm D
φ
x
Blende mit einstellbarem
Schlitz
f = 50 mm f = 100 mm
x
Halogen-
lampe Strich-
gitter
Die Linse von 50 mm Brennweite wird so aufgestellt, dass das von der Halogenlampe ausgehende Licht auf den Schlitz gebündelt wird. Die Linse von 100 mm Brennweite und der Schirm (DIN A3 Größe) werden so eingestellt, dass ein scharfes Bild vom Schlitz auf dem Schirm abgebildet wird. Das Strichgitter wird dann vor die 2. Linse gestellt. Falls das Spektrum 1. Ordnung nicht ganz auf den Schirm passt, muss der Abstand Schlitz-Linse- Schirm verändert werden.
Die Breite des Schlitzes soll so gewählt werden, dass das Spektrum einerseits nicht zu dunkel wird, andererseits soll aber soweit abgeblendet werden, dass die Farbübergänge fließend sind.
Das Spektrum wird sauber abgezeichnet (Das Zentrum von 5 bis 6 Farbbereichen markieren). Dann wird die Halogenlampe durch einen Laser ersetzt. Auf dem Schirm werden die Stellen markiert, an denen Laserlicht auftrifft.
Versuchsparameter (Beispielwerte):
Anzahl der Gitterspalte: 600 Spalte pro Millimeter (Angabe des Herstellers) Gitterkonstante: g = 1 / 600 mm = 0,001 667 mm = 1,667 µm
Entfernung Gitter–Schirm: D = 0,60 m
Praktikum Physik Strichgitter 13GE Theorie:
g φ
∆s φ g
g 1
2
3
4
N
Die Figur zeigt ein Beugungsgitter mit N Spalten. Von rechts trifft kohärentes Licht auf das Gitter. Alle Spalte sind Ausgangspunkte von kohärenten Lichtwellen.
In Richtung φ entsteht ein Intensitäts- maximum (konstruktive Interferenz), wenn der Gangunterschied ∆s zwischen 2 Lichtstrahlen, die ihren Ursprung in benachbarten Spalten haben, ein ganzzahliges Vielfaches der Wellenlänge ist:
λ k s =
∆ Die Figur zeigt:
g k g
s λ
ϕ = ∆ = sin
Daher gilt die Beziehung
(Intensitätsmaximum):
g kλ ϕ =
sin (k∈Z)
Wenn x die Distanz zwischen dem Intensitätsmaximum 0.-Ordnung und dem Intensitätsmaximum k.-Ordnung auf dem Schirm darstellt, dann gilt desweiteren die Beziehung:
D
= x ϕ tan
ACHTUNG: Da beim Gitter die Beugungswinkel generell groß sind, gilt:
ϕ ϕ sin tan ≠
Die beim Einfach- und Doppelspalt übliche Vereinfachung darf hier nicht angewandt werden!
III. VERSUCHSAUSWERTUNG
1. Versuchsziel: Bestimmung von Wellenlängen
Es sollen die Wellenlänge der Zentren der unterschiedlichen Farbbänder bestimmt werden. Dazu wird der Abstand des jeweiligen Zentrums vom Intensitätsmaximum 0.- Ordnung bestimmt. Da das Spektrum in Bezug zur 0.-Ordnung symmetrisch ist, kann dieser Abstand 2-mal gemessen werden (x1 und x2) und es wird dann mit dem Mittelwert x weitergearbeitet. Die Wellenlänge kann dann durch Kombination der 2 oben aufgestellten Formeln bestimmt werden:
ϕ
λ =gsin denn k = 1 für das abgebildete Spektrum
und ⎟
⎠
⎜ ⎞
⎝
= ⎛
D Arctan x ϕ
Praktikum Physik Strichgitter 13GE Es kann eine kombinierte Werte- und Auswertungstabelle (hier mit Beispielwerten) angefertigt werden:
Farbe │x1│ (cm) │x2│ (cm) x (m) φ (°) λ (nm)
violett 15,0 15,2 0,1510 14,13 407
blau 18,4 18,5 0,1845 17,09 490
grün 20,0 20,2 0,2010 18,52 529
gelb 22,6 22,4 0,2250 20,56 585
orange 24,5 24,5 0,2450 22,21 630
rot 26,5 26,1 0,2630 23,67 669
2. Versuchsziel: Bestimmung der Gitterkonstante
Bei bekannter Wellenlänge λ des Laserlichts kann der Versuchsaufbau benutzt werden, um die Gitterkonstante g zu bestimmen.
Es gilt:
ϕ λ
= sin
g denn k = 1 für das abgebildete Spektrum
und ⎟
⎠
⎜ ⎞
⎝
= ⎛
D Arctan x ϕ
Beide Formeln können zu einer kombiniert werden:
⎟⎟⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛ ⎟
⎠
⎜ ⎞
⎝
= ⎛
D g x
Arctan sin
λ
Im Beispiel wurde der Abstand Maximum 0.-Ordnung – Maximum 1.-Ordnung zu x = 24,6 cm ermittelt. Die Wellenlänge des Laserlichts beträgt λ = 632,8 nm, der Abstand Gitter- Schirm D = 0,60 m. Dementsprechend beträgt die Gitterkonstante:
m 10 668 , 1 m
60 , 0
m 246 , Arctan 0 sin
m 10 8 ,
632 −9 −6
⋅
=
⎟⎟⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛ ⎟⎟⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛
= ⋅ g
Endresultat:
Gitterkonstante: g =1,668µm
oder: 1 / 0,001 668 = 599,5 Striche pro Millimeter
Praktikum Physik Radioaktivität 13GE
RADIOAKTIVITÄT – VERSUCHSAUSWERTUNG I. VERSUCHSZIEL
► Die Zerfallskurve einer radioaktiven Substanz soll aufgenommen werden.
► Aus dieser Zerfallskurve soll das Gesetz des radioaktiven Zerfalls hergeleitet werden.
► Es sollen die Zerfallskonstante und die Halbwertszeit des verwendeten Radionuklids bestimmt werden.
II. VERSUCHSAUFBAU
Mit Hilfe eines Isotopengenerators wird eine kurzlebige radioaktive Lösung hergestellt und in einem Reagenzglas aufbewahrt. Dabei handelt es sich um das radioaktive Barium- Isotop 137Ba , das unter Emission von Gamma-Strahlung in den stabilen Grundzustand * des Isotops 137Ba zerfällt: *
γ Ba Ba* 13756
137
56 → +
Die Strahlungsaktivität wird mit Hilfe eines Geiger-Müller-Zählrohrs gemessen, das an ein Zählgerät angeschlossen ist, welches die vom Zählrohr registrierte Impulse zählt.
III. VERSUCHSDURCHFÜHRUNG und MESSUNGEN (mit Beispielwerten) 1. Messung der Hintergrundstrahlung
Während mindestens 5 Minuten werden die von der radioaktiven Hintergrundstrahlung (radioaktive Bestandteile der Baumaterialien im Raum, Radon, kosmische Strahlung, etc.) verursachten Impulse gezählt.
Dauer der Messung: t = 5 min = 300 s Anzahl der Impulse: ZH = 104
Daraus kann die von der Hintergrundstrahlung verursachte Nullrate zH, das heißt die von der Hintergrundstrahlung verursachten Impulse pro Sekunde, bestimmt werden:
s 347 Imp.
, s 0 300
Imp.
104 =
=
= t zH ZH
Die Nullrate wird später von der Zählrate abgezogen.
2. Aufnehmen der Zerfallskurve
Die radioaktive Lösung wird vor das Zählrohr gestellt (Achtung: ab jetzt weder die Position des Zählrohrs noch die des Reagenzglases verändern!). Die Messung wird am Zählgerät gestartet, gleichzeitig wird eine Stoppuhr gestartet.
Alle 30 Sekunden, zu den Zeitpunkten tn, werden die gezählten Impulse Z rasch abgelesen und notiert. Nach ungefähr 10 Minuten kann die Messung beendet werden.
Praktikum Physik Radioaktivität 13GE
Messwertetabelle mit Beispielwerten:
tn (s) 0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 Z 0 993 1870 2670 3350 3940 4415 4850 5205 5560 5858 tn (s) x 330 360 390 420 450 480 510 540 570 600 Z x 6112 6325 6505 6672 6832 6970 7092 7195 7286 7369
IV. VERSUCHSAUSWERTUNG
Zur Auswertung eignet sichein Tabellenkalkulationsprogramm besonders gut, wie z.B Calc von OpenOffice. Zur besseren Veranschaulichung wird hier aber gezeigt, wie die Auswertung von Hand geht.
Zur Auswertung muss die Messwertetabelle in Kolonnenform angeschrieben werden und um mehrere Kolonnen erweitert werden (siehe Messwertetabelle im Anhang).
Zur Bestimmung der Zählrate z (= gezählte Impulse pro Sekunde) wird die folgende Formel benutzt:
zH
t
z Z −
∆
= ∆
wobei ∆Z die während dem Zeitintervall ∆t gezählten Impulse sind. Die auf diese Weise berechnete Zählrate entspricht der mittleren Zählrate des jeweiligen Zeitintervalls, wobei sich der Zeitpunkt t in der Mitte des Intervalls befindet. Es gelten daher die folgenden Formeln:
2
1 1
1
−
−
−
= +
−
=
∆
−
=
∆
n n
n n
n n
t t t
t t t
Z Z Z
wobei n dem Index der Messung entspricht (Messungsstart: n = 0, 1. Messung: n = 1, 2.
Messung: n = 2, etc.).
Die so gemessene Impulsrate z ist proportional zur Aktivität A des Präparats. In der Tat hängt das Verhältnis von Zählrate und Aktivität, bei gegebener Versuchsanordnung nur von den Eigenschaften und der räumlichen Anordnung des Zählrohrs ab. Der zeitliche Verlauf der Zählrate z(t) gibt daher auch Aufschluss über den zeitlichen Verlauf der Aktivität (t).
Graphische Darstellung z(t)
Die Darstellung z(t) zeigt eine abfallende Exponentialfunktion. Mit Hilfe einer geeigneten Regressionskurve von der Form
e t
z t
z( )= 0⋅ −λ⋅
kann dies deutlich gezeigt werden (entweder mit einem geeigneten Programm wie Calc oder durch eine Regression mit dem CASIO fx-991ES → siehe Anmerkung weiter unten).
Praktikum Physik Radioaktivität 13GE
Zählrate z in Abhängigkeit der Zeit t
y = 35,191e-0,0046x R2 = 0,997
0 5 10 15 20 25 30 35 40
0 100 200 300 400 500 600
t (s)
z (Imp.)
Die Gleichung der Regressionskurve beträgt:
t
e λ
z t
z( )= 0⋅ − ⋅
Die radioaktive Zerfallskonstante beträgt dementsprechend λ = - 0,004 6 s-1. Daher beträgt die Halbwertszeit von 137Ba*:
min 51 , 2 s 7 , s 150 6 004 , 0
2 ln 2
ln
2 1 /
1 = = − = =
T λ
Da die Aktivität des Präparats proportional zur Zählrate ist, kann man auch schreiben:
t
e λ
A t
A( )= 0⋅ − ⋅
Mir dem CASIO fx-991ES:
► In den 2-Variablen-Statistik-Modus wechseln und als Regressionstyp die exponentielle Regression auswählen: MODE; 3:STAT; 5:e^x. Der Rechner führt dann eine Regression vom Typ y = A⋅e−B⋅x durch.
► Die Messwerte eingeben (x-Werte: Zeit t, y-Werte: Zählrate z). Mit AC abschließen.
► Die Koeffizienten A und B aufrufen: SHIFT; 1 (STAT); 7:REG. R gibt Auskunft über die Qualität der Regession
► Nach Abschluss der Berechnungen in den normalen Rechenmodus wechseln: MODE;
1:COMP.
Praktikum Physik Radioaktivität 13GE
Graphische Darstellung ln z(t)
Um sich mit einfachen Mitteln zu überzeugen, dass das radioaktive Zerfallsgesetz gültig ist, und um die Halbwertszeit des verwendeten Radionuklids zu bestimmen, kann man zur Auswertung den natürlichen Logarithmus der Zählrate ln(z) berechnen und diesen in Abhängigkeit von t graphisch darstellen. Man kann schreiben:
) ln(
) ( ln
) ln(
) ln(
) ( ln
) ln(
) ( ln ) (
0 0
0 0
z t t
z
e z
t z
e z t
z e z t z
t t t
+
⋅
−
=
⇔
+
=
⇔
⋅
=
⇔
⋅
=
⋅
−
⋅
−
⋅
−
λ
λ λ λ
Im ln z(t)-Diagramm entspricht die graphische Darstellung einer abfallenden Gerade mit der Steigung λ und dem Achsenabschnitt ln(z0), wobei z0 der Zählrate zum Zeitpunkt t0
entspricht.
y = -4,623E-03x + 3,561E+00 R2 = 9,970E-01
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4
0 100 200 300 400 500 600
t (s)
ln z
Die Zerfallskonstante λ kann somit graphisch (oder auch durch eine lineare Regression) bestimmt werden. Sie beträgt in diesem Fall
λ = 4,623 · 10-3 s-1 Daraus berechnen wir die Halbwertszeit von 137Ba*:
min 50 , 2 s 9 , s 149 10 623 , 4
2 ln 2
ln
1 2 3
/
1 = =
= ⋅
= − −
T λ
Relative Abweichung zum theoretischen Wert: 0,038 3,8% min
6 , 2
min 5 , 2 min 6 , 2
. 2 / 1
2 /
1 − =
= T theo
T
∆
Praktikum Physik Radioaktivität 13GE
V. ERWEITERTE MESSWERTETABELLE
tn (s) Z t (s) ∆Z ∆t z (s-1) ln z
0 0 - - - - -
30 993 15 993 30 32,75 3,489
60 1870 45 877 30 28,89 3,363 90 2670 75 800 30 26,32 3,270 120 3350 105 680 30 22,32 3,105 150 3940 135 590 30 19,32 2,961 180 4415 165 475 30 15,49 2,740 210 4850 195 435 30 14,15 2,650 240 5205 225 355 30 11,49 2,441 270 5560 255 355 30 11,49 2,441 300 5858 285 298 30 9,586 2,260 330 6112 315 254 30 8,120 2,094 360 6325 345 213 30 6,753 1,910 390 6505 375 180 30 5,653 1,732 420 6672 405 167 30 5,220 1,652 450 6832 435 160 30 4,986 1,607 480 6970 465 138 30 4,253 1,448 510 7092 495 122 30 3,720 1,314 540 7195 525 103 30 3,086 1,127 570 7286 555 91 30 2,686 0,9882 600 7369 585 83 30 2,420 0,8836
