1 mathsbdp.fr IE1 complexes Texperte Ex1. Écrire sous forme algébrique chacun des nombres proposés. 1.

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mathsbdp.fr IE1 complexes Texperte Ex1. Écrire sous forme algébrique chacun des nombres proposés.

1. 𝑧₁ = ¹

3𝑖 2. 𝑧₂ = ¹

2+𝑖 3. 𝑧₃ = ^1+2𝑖

2𝑖−3

Ex2. QCM réponse unique à justifier

1) Soient 𝑧₁ = 2 + 3𝑖 et 𝑧₂ = 1 − 2𝑖 deux nombres complexes.

La forme algébrique de 𝑧₁𝑧₂ est : a) −4 − 𝑖 b) 8 − 𝑖 c) 2 + 6𝑖 d) 8 + 𝑖

2) La partie imaginaire de ^2+3𝑖_1−2𝑖 est égale à : a) −³

2 b) −³

2𝑖 c) ⁷

5𝑖 d) ⁷

5

3) Le conjugué de (1 − 𝑖)(1 + 𝑖)³ est : a) −4𝑖 b) 4𝑖 c) 1 − 4𝑖 d) 1 + 4𝑖

Ex3. Résoudre dans ℂ chacune des équations suivantes d’inconnue 𝑧.

On écrira les solutions sous forme algébrique.

a. 3𝑧 − 2𝑖 + 4 = 𝑖 − 2𝑧

b. 3𝑖 − 2𝑧 + 1 = 𝑖(𝑖𝑧 + 4) − 2

d. (1 + 5𝑖)𝑧̅ − 2 = 2 + 𝑖𝑧̅ + 𝑧̅

e.BONUS 2𝑧 − 3𝑖𝑧̅ = −5 − 𝑖 Aide : on posera 𝑧 = 𝑎 + 𝑖𝑏 Ex4. Dans ℂ, on considère l’équation (𝐹) définie par :

(𝐹) ∶ (𝑧 − 1 + 2𝑖)(𝑧 + 2𝑖) = 𝑧²− 𝑖 Montrer que le nombre complexe −𝑖 est solution de l’équation (𝐹).

On ne demande pas de résoudre l’équation.

Ex5. Déterminer la partie réelle et la partie imaginaire de chacun des nombres complexes suivants.

complexe partie réelle partie imaginaire

3 + 𝑖 2𝑖 − 1 7 − 3𝑖

2 2𝑖 − 1

5 3𝑖 𝑖⁴ 𝑖⁵+ 𝑖

−1 𝑖

2

mathsbdp.fr python&complexes Exercice1.

Partie A.

Tester les instructions suivantes dans la console et noter le résultat obtenu.

Quelle remarque peut-on faire sur l’affichage d’un nombre complexe sous forme algébrique ?

Partie B

On considère les nombres entiers 𝑛 compris entre −10 et 10.

On souhaite déterminer pour quelles valeurs de 𝑛, le nombre complexe (3𝑛 + 𝑖)(−75 + 𝑖𝑛) est réel.

1. Compléter la fonction ci-dessous afin qu’elle renvoie la liste des entiers compris entre −10 et 10 répondant au problème.

2. Tester la fonction et donner les valeurs de 𝑛 qui semblent convenir.

3. Retrouver le résultat algébriquement.

Exercice2

On considère le nombre 𝑗 = ^√2

2 +^√2

2 𝑖 et un entier positif 𝑛.

On souhaite étudier les nombres 𝑗^𝑛. 1. Calculer les valeurs de 𝑗², 𝑗³ et 𝑗⁴. 2. Compléter la fonction suivante afin qu’elle renvoie la liste des entiers positifs 𝑛 tels que le nombre 𝑗^𝑛 soit réel.

b. Tester la fonction pour 𝑛 = 10, puis 𝑛 = 20 Que peut-on conjecturer ?

c. À l’aide de la formule du binôme de Newton, démontrer l’égalité : 𝑗^𝑛 = (√2

2 )

𝑛

× ∑ 𝑖^𝑘

𝑛

𝑘=0

d. Démontrer la conjecture de la question 2.b.

3. a. Déterminer pour quelles valeurs de 𝑛, le nombre 𝑗^𝑛 est un imaginaire pur.

b. Retrouve le résultat en modifiant le script précédent.