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Corde et membrane élastique: une même tension induite par les ondes non linéaires!

L. Deike, !

J.C. Bacri, M. Devaud, M.Berhanu & E. Falcon!

16 ^ème non linéaire, 14-16 mars 2012, Paris!

Elastic sheet

Camera Videoprojector

Shaker

H

Water

η(x,y)(m) v(x,y) (m/s)

(a)

(a) (b) (b)

(c) (c)

2R

x y

z

η(x,y)

Ondes à la surface d’une membrane élastique flottante

frequency (Hz) 1/λ (m−1 )

0 100 200 300 400 500

0 50 100 150

−9

−8

−7

−6

(b)

−5

(b)

0 100 200 300 400 500

0 50 100 150

f (Hz) 1/λ (m− 1)

0 100 200 300 400 500 0

50 100 150

f (Hz) 1/λ (m− 1)

(a) (a)

Spectre spatio-temporel:

-> propagation d’ondes -> extraction de la

relation de dispersion

Augmentation de l’amplitude forçage -> shift NL

-> augmentation de la

tension effective T

Corde élastique!

0 1 2 3 4

x 10^ï4 0

0.2 0.4 0.6 0.8 1

a² (mm²)

T(N)

Data Fit Theory

Force sensor

Shaker:

excites transverse motion Elastic

string L=1m

EPFL-TRAVAUX PRATIQUES DE PHYSIQUED4-5

si n kL ( ) = si n 2 ! L "

n

# $% & '( = 0 ) 2 L "

n

= n ) "

n

= 2 L / n

(11) où

n

est unentier (

n = 1, 2, 3, 4 ,....

).L’oscillationavec

n = 1

correspond àlavibrationdite fondamentaleouprincipale, alorsquelesoscillationsavec

n = 2, 3, 4 ,....

correspondent aux vibrationsharmoniques. Les fréquences de vibration

!

n de ces modes propres sont alors données par

!

n

= "

n

2 # = c $

n

= cn 2 L = n 2 L F

0

µ

(12) En général, l’onde stationnaire sur une corde frappée ou pincée, correspond à une superposition des principaleet harmoniques. Cettevibrations’amortitaucoursdutemps, car lacordedissipede l’énergie par déformation anélastique (frottement intérieur du matériau de la corde), par frottement dansl’airet par émissiond’uneondesonore. Onconstatequelesharmoniquess’amortissent beaucoup plus vite que la principale, de sorte qu’il est facile, après un court instant, de n’observer que la principale de longueur d’onde

! = 2 L

. Fig. 6: Ondes stationnaires sur une corde fixée à ses deux extrémités.

II. 6 C o rd e v ib ra n te e n r é g im e i n h a rm o n iq u e

Dans le modèle développé au §. II.4, on a négligé les effets du module élastique de la corde en supposant une corde deraideur nulle. En réalité, la corde présente une raideur non nulle, et le fait de vibrer va entraîner un allongement de celle-ci qui sera contrôlé par son module élastique (module de Young

E

).Ilest possible d’introduire approximativement cet effet dumoduledans lemodèle précédent en calculant la déformation

!

d’allongement du segment

ds

(fig.5)

! = " ( dx ) dx = ds # dx dx = ds # ds cos $ ds cos $ = 1 # cos $ cos $ = 1 + tg

2

$ # 1

(13) Comme

tg !

est très petit vis-à-vis de l’unité, on peut simplifier cette expression en écrivant

Theory: !

(Morse & Ingard, Legge

& Fletcher)!

Augmentation de lʼamplitude !

-> élongation !

-> augmentation de la tension!

Force de tension!

F=F ₀ +ES(ak) ² /8 ^!

Application du modèle de corde 1D à la membrane élastique !

10

⁰

10

²

10

⁻¹⁵

10

⁻¹⁰

10

⁻⁵

Frequency (Hz) S

η

(m

2

s)

0 10 20

0 10 20

a₀² (mm²)

T (N/m)

f

₀

S (f )

η

f

_p

forcing

(a) (a)

0

T=T ₀ +cEh(ak) ^2!

c constante géométrique (sans dimension)!

Conclusions: !

-> ondes transverse non linéaire génèrent une tension supplémentaire du fait de lʼélongation du milieu élastique!

-> modèle corde élastique 1D décrit bien

lʼévolution de la tension de la membrane

flottante!