Topologie des espaces vectoriels normés
I. T OPOLOGIE DE R
1) Donner un exemple de partie A de R pour laquelle les sept ensembles A, A, A,◦
◦
A, A,◦
◦
A et
◦
◦
A sont deux-à-deux distincts.
2) RMontrer queZest une partie fermée deR: (a) en étudiant son complémentaire,
(b) par caractérisation séquentielle,
(c) en trouvant une application continue par laquelle il est l’image réciproque d’un fermé connu.
3) Montrer que l’ensemble√ m−√
n,(, n)∈N2 est dense dansR.
4) (a) FSoit(un)une suite réelle bornée, telle queun+1−un−−−−→
n→∞ 0.
Montrer que l’ensemble des valeurs d’adhérence de(un)est un intervalle.
(b) FSoit(un)une suite réelle telle queun −−−−→
n→∞ +∞etun+1−un−−−−→
n→∞ 0.
Montrer que la suite eiun
est dense dansU.
5) RFValeurs d’adhérence de la suite(sinn)n
(a) Soit a∈R\Q, etA={ma+n, m∈Z, n∈N}. Montrer queAest dense dansR.
(b) En déduire que tout réel de l’intervalle[−1,1]est valeur d’adhérence de la suite(sinn)n∈N.
6) Soitu:N→Q une bijection (il en existe,Net Qétant tous deux dénombrables). Que peut-on dire des valeurs d’adhérence de la suite(un), en tant que suite réelle ?
7) Équations fonctionnelles
(a) Soit f :R→Rcontinue telle que ∀(x, y)∈R2
f x+y2
= 12(f(x) +f(y)). Montrer quef est affine.
(b) Trouver toutes les fonctionsf :R→Rcontinues et prenant la valeur1en0, telles que : (∀x∈R) f(2x) =f(x) cosx
II. N ORMES , TOPOLOGIE DES ESPACES VECTORIELS NORMÉS
1) RNormes de polynômes SoitE=R[X]. PourP =
n
X
k=0
akXk, on pose : kPk1=
n
X
k=0
|ak|, kPk∞= max{|ak|,06k6n}, kPk∗= max{|P(t)| / t∈[0,1]}
Montrer que ce sont des normes surE, et qu’elles sont deux à deux non équivalentes.
(Indication : considérerPn = (X−1)n etQn= 1 + X +· · ·+ Xn).
2) Eest l’ensemble des fonctionsf de classeC2sur[0,1]telles quef(0) =f0(0) = 0. Pourf ∈E, on pose : N∞(f) = sup
x∈[0,1]
|f(x)|, N(f) = sup
x∈[0,1]
|f(x) +f00(x)|, N1(f) = sup
x∈[0,1]
|f(x)|+ sup
x∈[0,1]
|f00(x)|
(a) Montrer queN∞,N etN1 sont des normes surE.
(b) Montrer queN∞ n’est équivalente ni àN1, ni àN.
(c) KMontrer queN etN1sont équivalentes(Indication : introduire l’équation différentielley00+y=g).
3) SoitE=C0([0,1],R). La norme uniforme deE est notéeν. Pourg∈E, soitNg:
E −→ R f 7−→ ν(f g) .
(a) Condition nécessaire et suffisante surg pour queNg soit une norme.
(b) Kgétant choisie pour queNgsoit une norme, comparerNgetν. Donner une condition nécessaire et suffisante pour queNg etν soient équivalentes.
(c) KKQu’en est-il siE=C∞([0,1],R)?
4) RFSoitF un sous-espace vectoriel d’un espace vectoriel norméE. Montrer queF◦ =∅ouF=E.
5) Soit E un espace vectoriel normé de dimension finie, etP l’ensemble des projecteurs de E. Montrer queP est fermé dansL(E).
6) RSoit E =C0([0,1],R)muni de la norme de la convergence uniforme : kfk∞= sup
x∈[0,1]
|f(x)|. On note
P l’ensemble des fonctions deE à valeurs positives ou nulles sur[0,1]. ChercherP etP◦ . Reprendre ces deux questions avec la normekfk1=
Z 1
0
|f(t)|dt.
7) Pourp∈[[0, n]], on noteRp l’ensemble des matrices de Mn(K)de rangp, etR0p l’ensemble des matrices deMn(K)de rang supérieur ou égal àp.
Ces ensembles sont-ils fermés ? Ouverts ? Trouver leur intérieur et leur adhérence.
8) ROn munit l’espace des suites réelles bornées `∞(R)de la normekuk∞= sup
n∈N|un|.
(a) Montrer que l’ensemble des suites convergentes est un fermé de`∞(R).
(b) On note F l’ensemble des suites à support compact (i.e. nulles à partir d’un certain rang), et G l’ensemble des suites de limite nulle.
Montrer queF est fermé dansE, puis queF est l’adhérence deG dansE.
(c) Montrer que l’ensemble des suites(an)qui sont terme général d’une série absolument convergente n’est pas un fermé de`∞(R).
III. S UITES ET SÉRIES DANS LES ESPACES VECTORIELS NORMÉS
1) Soit E un espace vectoriel normé de dimension finie, et (u# –n)n et (v# –n)n deux suites de vecteurs, con- vergeant respectivement vers #–u et #–v, et telles que pour toutn∈N,u# –n etv# –n sont colinéaires.
Montrer que #–u et #–v sont encore colinéaires.
(Indication : raisonner par l’absurde et compléter(#–u ,#–v)en une base deE).
2) Soit(un)une suite bornée d’un espace vectorielE de dimension finie.
Montrer que(un)converge si et seulement si (un)admet une unique valeur d’adhérence.
3) RSuites de matrices
(a) Soit (An)nune suite de matrices deMp(R)vérifiant les propriétés suivantes : (1) An−−−−→
n→∞ A∈Mp(R) (2) (∀n)An est inversible (3) A−1n −−−−→
n→∞ B∈Mp(R) Montrer queAest inversible, et que son inverse estB. Peut-on retirer l’hypothèse(3)? (b) SoitA∈Mp(C)telle que la suite(An)n converge vers une matriceP. Que peut-on dire deP ? (c) FSoitA∈Mp(C). Montrer qu’il existe une suite de matrices inversibles convergeant versA.
4) RSoit A=1 1−1
1 1 1 1 1 1
. Pour quelles valeurs deα∈Rla sérieX
n>0
αnAn converge-t-elle ? 5) RFExponentielle de matrice
PourA∈Mn(C), on définitexp (A) =
∞
X
n=0
An n!.
(a) Montrer que la série définissantexp (A)converge quelle que soit la matriceA.
(Indication : prendre une norme d’algèbre.)
(b) Montrer que siA et B commutent, alorsexp (A+B) = exp (A).exp (B). En déduire, en calculant exp (0), queexp (A)∈GL(n)R.
(c) Montrer que pour toute matriceA∈Mn(C), il existeP ∈C[X]tel queexp (A) =P(A).
IV. C ONTINUITÉ
1) ROn munitC[X]de la norme
n
X
k=0
akXk
= sup
06i6n
|ai|. Étudier la continuité des applicationsP 7→P0 et P7→(X + 1)P deC[X]dansC[X], etP7→P(x0)deC[X]dansC.
2) On munitC([0,1],R)de la norme de la convergence uniforme. Soitϕ:f 7→
Z 1/2
0
f(t)dt+ Z 1
1/2
f(t)dt.
Prouver queϕest continue, calculer sa norme et montrer que celle-ci ne peut être atteinte.
3) RSoitE =C(N)l’ensemble des suites complexes presque nulles, muni de la normekxk = max
n |xn|, et (an)une suite complexe quelconque.
On définit surEla forme linéairef :x7→
∞
X
k=0
akxk. Étudier sa continuité.
4) Soitf une application de RdansR. On pose : Γf ={(x, f(x)), x∈R}.
(a) Montrer que sif est continue, alorsΓf est un fermé deR2.
(b) On supposef bornée. Montrer que siΓf est un fermé deR2, alors f est continue.
(c) Cette réciproque est-elle encore vraie si l’on ne suppose plusf bornée ?
V. C OMPACITÉ , CONNEXITÉ , COMPLÉTUDE
1) FDistance entre un fermé et un compact
(a) Soit A et B deux parties compactes de Rn. Montrer qu’il existe a∈ A et b ∈ B tels que ka−bk =
x∈A, y∈Bmin ky−xk (autrement dit, ladistance entreAetB estatteinte).
(b) Montrer que cela est encore vrai si on supposeAcompact, etBseulement fermée.
2) RFUn théorème du point fixe
SoitEun espace vectoriel normé ,X une partie compacte deE, etf :X →X vérifiant :
∀(x, y)∈X2
(x6=y) =⇒(kf(x)−f(y)k<kx−yk)
(a) Montrer que l’applicationϕ:X →R, x7→ kx−f(x)k est continue surX.
(b) En étudiant la borne inférieure deϕsurX, montrer quef admet un unique point fixeαsurX. (c) Soit(xn)n∈N une suite définie parx0 ∈X et (∀n∈N)xn+1 =f(xn). En étudiant kα−xnk, montrer
que(xn)converge versα.
3) Suite de Cauchy non convergente
SoitE=R[X]muni de la norme définie par
n
X
i=0
akXk
= max
06k6n|ak|. On notePn = 1 + X +X2
2 +· · ·+Xn n . Montrer que la suite(Pn)n est de Cauchy, mais qu’elle n’est pas convergente. Qu’en déduit-on à propos de(E,k.k)?
4) SoitEet F deux espaces vectoriels normés. Montrer que siF est complet, alorsL(E, F)est complet.
5) R Soit E l’espace des fonctions lipschitziennes de R dans R, muni de la norme kfk = |f(0)|+ sup
x6=y
f(x)−f(y) x−y
.
Montrer queE est complet.
6) SoitUle cercle unité deC, etf :U→Rcontinue. Montrer quef n’est pas injective.
7) RMontrer que pour toutn>2, la sphère unité S={x∈Rn / kxk = 1}est connexe par arcs.
8) RFMontrer queGLn(C)est connexe par arcs. Qu’en est-il deGLn(R)?
