Exercices sur la topologie des espaces normés

(1)

Topologie des espaces normés

Ouverts et fermés

Exercice 1 [ 01103 ][correction]

Montrer que tout fermé peut s’écrire comme intersection d’une suite décroissante d’ouverts.

On désigne parp1 et p2 les applications coordonnées deR²définies par pi(x1, x2) =xi.

a) SoitO un ouvert deR², montrer quep1(O) etp2(O) sont des ouverts deR. b) SoitH =

(x, y)∈R²|xy= 1 . Montrer que H est un fermé deR² et que p₁(H) etp₂(H) ne sont pas des fermés deR.

c) Montrer que siF est fermé et quep₂(F) est borné, alorsp₁(F) est fermé.

Montrer que si un sous-espace vectorielF d’un espace vectoriel norméE est ouvert alorsF =E.

SoientF une partie fermée non vide d’un espace norméE et x∈E. Montrer d(x, F) = 0⇔x∈F

SoitE une espace vectoriel normé.

a) SoientF une partie fermée non vide deE et x∈E. Montrer d(x, F) = 0⇔x∈F

b) SoientF etGdeux fermés non vides et disjoints deE.

Montrer qu’il existe deux ouvertsU et V tels que F ⊂U, G⊂V etU∩V =∅

SoientA, B deux parties non vides d’un espace vectoriel norméE telles que d(A, B) = inf

x∈A,y∈Bd(x, y)>0

Montrer qu’il existe deux ouverts disjointsU et V tels queA⊂U etB ⊂V.

On muni leR-espace vectoriel des suites réelles bornées de la norme kuk_∞= sup

n∈N

|un|

Déterminer si les sous-ensembles suivants sont fermés ou non : A={suites croissantes},B ={suites convergeant vers 0}, C={suites convergentes},

D=

suites admettant 0 pour valeur d⁰adhérence etE={suites périodiques}.

On noteR⁽^N⁾l’ensemble des suites réelles nulles à partir d’un certain rang.

a) Montrer queR⁽^N⁾ est un sous-espace vectoriel de l’espaceB(N,R) des suites réelles bornées.

b)B(N,R) étant normé park.k_∞. Le sous-espace vectorielR⁽^N⁾est-il une partie ouverte ? une partie fermée ?

SoitAune partie non vide deRtelle que pour toutxréel il existe un et un seul y∈Atel que |x−y|=d(x, A). Montrer queA est un intervalle fermé.

On munit l’espace des suites bornées réellesB(N,R) de la norme kuk_∞= sup_n(|un|).

a) Montrer que l’ensemble des suites convergentes est un fermé deB(N,R).

b) Montrer que l’ensemble des suites (an) qui sont terme général d’une série absolument convergente n’est pas un fermé deB(N,R).

(2)

SoitE l’ensemble des suites (an)n>0 deCtelles que la sérieP

|an|converge. Si a= (an)n>0 appartient àE, on pose

kak=

+∞

X

n=0

|an| a) Montrer quek.kest une norme sur E.

b) Soit

F = (

a∈E/

+∞

X

n=0

a_n = 1 )

L’ensembleF est-il ouvert ? fermé ? borné ? Exercice 12 [ 03021 ][correction]

SoientE un espace vectoriel normé,F un sous-espace fermé deE et Gun sous-espace vectoriel de dimension finie deE. Montrer queF+Gest fermé Exercice 13 [ 03037 ][correction]

Caractériser dansMn(C) les matrices dont la classe de similitude est fermée.

Même question avecRau lieu deC Exercice 14 [ 02507 ][correction]

SoientE=C([0,1],R) normé park.k_∞ et la partie A=

f ∈E/f(0) = 0 et Z 1

0

f(t) dt>1

a) Montrer queAest une partie fermée.

b) Vérifier que

∀f ∈A,kfk_∞>1 Exercice 15 [ 03066 ][correction]

SoientE=C([0,1],R) normé park.k_∞ et la partie A=

f ∈E/f(0) = 0 et Z 1

0

f(t) dt>1

a) Montrer queAest une partie fermée.

b) Vérifier que

∀f ∈A,kfk_∞>1 c) Calculer la distance de la fonction nulle à la partieA.

a) Montrer que les parties A=

(x, y)∈R²/xy= 1 et B={0} ×R sont fermées.

b) Observer queA+B n’est pas fermée.

Montrer queZest une partie fermée deR:

a) en observant que son complémentaire est ouvert ; b) par la caractérisation séquentielle des parties fermées ;

c) en tant qu’image réciproque d’un fermé par une application continue.

DansE=R[X], on considère les normes N1(P) = sup

t∈[0,1]

|P(t)| etN2(P) = sup

t∈[1,2]

|P(t)|

L’ensemble

Ω ={P ∈E/P(0)6= 0}

est-il ouvert pour la normeN1? pour la normeN2?

Intérieur et adhérence

SoientE un espace vectoriel normé etF un sous-espace vectoriel deE.

Montrer que siF^◦ 6=∅alorsF =E.

SoientAet B deux parties d’un espace vectoriel normé (E, N).

a) On supposeA⊂B. EtablirA^◦⊂B^◦et ¯A⊂B.¯

b) Comparer (A∩B)^◦ et A^◦∩B^◦ d’une part puis (A∪B)^◦ et A^◦∪B^◦d’autre part.

c) ComparerA∪B et ¯A∪B¯ d’une part puisA∩B et ¯A∩B¯ d’autre part.

(3)

Montrer que siF est un sous-espace vectoriel deE alors son adhérence ¯F est aussi un sous-espace vectoriel deE.

SoitAune partie d’un espace vectoriel norméE. Etablir Vect( ¯A)⊂VectA

SoitAune partie d’un espace vectoriel norméE. Etablir que sa frontière Fr(A) est une partie fermée.

SoitF une partie fermée d’un espace vectoriel normé E. Etablir Fr(Fr(F)) = Fr(F)

SoientAun ouvert etB une partie d’un espace vectoriel norméE.

a) Montrer queA∩B¯⊂A∩B

b) Montrer queA∩B=∅ ⇒A∩B¯ =∅.

On suppose queAest une partie convexe d’un espace vectoriel norméE.

a) Montrer que ¯Aest convexe.

b) La partieA^◦ est-elle convexe ?

SoientAet B deux parties non vides d’un espace vectoriel norméE.

Etablir

d( ¯A,B) =¯ d(A, B) (en notantd(A, B) = inf

x∈A,y∈Bd(x, y))

SoientA1, . . . , An des parties d’un espace vectoriel norméE.

a) Etablir

n

S

i=1

A_i=

n

S

i=1

A_i. b) Comparer

n

T

i=1

Ai et

n

T

i=1

Ai.

Soientf :E →F continue bornée etA⊂E,Anon vide. Montrer kfk_∞,A=kfk_∞,A¯

Déterminer l’adhérence et l’intérieur de l’ensembleDn(C) des matrices diagonalisables deM_n(C).

SoitAune partie d’un espace norméE.

a) Montrer que la partieAest fermée si, et seulement si, FrA⊂A.

b) Montrer que la partieAest ouverte si, et seulement si,A∩FrA=∅

DansM2(C), on introduit

U ={M ∈ M2(C)/SpM ⊂U} etR={M ∈ M2(C)/∃n∈N^?, Mⁿ=I2} a) Comparer les ensemblesRetU.

b) Montrer queU est une partie fermée deM₂(C).

c) Montrer queU est inclus dans l’adhérence deR.

d) Qu’en déduire ?

Continuité et topologie

Justifier queU =

(x, y)∈R²/x²+y²< x³+y³ est une partie ouverte deR².

(4)

Montrer que GLn(R) est une partie ouverte deMn(R).

SoitE un espace vectoriel euclidien.

Montrer que l’ensemble

(x, y)∈E²/(x, y) libre est un ouvert deE². Exercice 36 [ 01126 ][correction]

Pourp∈ {0,1, . . . , n}, on noteR_p l’ensemble des matrices deM_n(K) de rang supérieur àp.

Montrer queRp est un ouvert de Mn(K).

SoientE et F deux espaces vectoriels normés et f :E→F. Montrer qu’il y a équivalence entre les assertions suivantes :

(i)f est continue ;

(ii)∀A∈ P(E), f( ¯A)⊂f(A) ; (iii)∀B ∈ P(F), f⁻¹(B)⊂f⁻¹( ¯B) ; (iv)∀B∈ P(F), f⁻¹(B^◦)⊂ f⁻¹(B)◦

. Exercice 38 [ 01128 ][correction]

Montrer qu’un endomorphismeud’un espace vectoriel norméE est continu si, et seulement si, la partie{x∈E/ku(x)k= 1}est fermée.

Montrer qu’une forme linéaire est continue si, et seulement si, son noyau est fermé.

Soitf : [0,1]→[0,1] une application continue vérifiant f◦f =f

a) Montrer que l’ensemble

{x∈[0,1]/f(x) =x}

est un intervalle fermé et non vide.

b) Donner l’allure d’une fonctionf non triviale vérifiant les conditions précédentes.

c) On suppose de plus quef est dérivable. Montrer quef est constante ou égale à l’identité.

a) Chercher les fonctionsf : [0,1]→[0,1] continues vérifiant f ◦f =f

b) Même question avec les fonctions dérivables.

SoientE un espace normé de dimension quelconque etuun endomorphisme deE vérifiant

∀x∈E,ku(x)k6kxk Pour toutn∈N, on pose

v_n= 1 n+ 1

n

X

k=0

u^k

a) Simplifierv_n◦(u−Id).

b) Montrer que

Im(u−Id)∩ker(u−Id) ={0}

c) On supposeE de dimension finie, établir

Im(u−Id)⊕ker(u−Id) =E d) On suppose de nouveauE de dimension quelconque.

Montrer que si

Im(u−Id)⊕ker(u−Id) =E

alors la suite (vn) converge simplement et l’espace Im(u−Id) est une partie fermée deE.

e) Etudier la réciproque.

Montrer que l’ensemble des polynômes réels de degrénscindés à racines simples est une partie ouverte deRn[X].

Pourn∈N^?,O_n désigne l’ensemble des polynômes réels de degrénscindés à racines simples etF_n l’ensemble des polynômes deRn[X] scindés à racines simples.

Ces ensemble sont-ils ouverts dansRn[X] ?

(5)

Soitf :R→Rvérifiant

1)∀[a, b]⊂R, f([a, b]) est un segment ; 2)y∈R, f⁻¹({y}) est une partie fermée.

Montrer quef est continue.

SoitE unR-espace vectoriel normé de dimension finie.

Montrer que l’ensembleP des projecteurs deE est une partie fermée deL(E).

Densité

Montrer que GLn(R) est dense dansMn(R).

On pourra considérer, pourA∈ Mn(R), les matrices de la formeA−λIn.

SoientE un espace vectoriel normé etF un sous-espace vectoriel deE.

a) Montrer que ¯F est un sous-espace vectoriel deE.

b) Montrer qu’un hyperplan est soit fermé, soit dense.

SoientU etV deux ouverts denses d’un espace vectoriel norméE.

a) Etablir queU∩V est encore un ouvert dense deE.

b) En déduire que la réunion de deux fermés d’intérieurs vides est aussi d’intérieur vide.

Soient (un)n∈Net (vn)n∈Ndeux suites réelles telles que un→+∞,vn→+∞et un+1−un→0 a) Soientε >0 etn₀∈Ntel que pour toutn>n₀,|u_n+1−u_n|6ε.

Montrer que pour touta>u_n₀, il existen>n₀ tel que|u_n−a|6ε.

b) En déduire que{un−vp/n, p∈N}est dense dansR.

c) Montrer que l’ensemble{cos(lnn)/n∈N^?}est dense dans [−1,1].

Montrer que{m−lnn/(m, n)∈Z×N^?}est dense dansR.

SoitH un sous-groupe de (R,+) non réduit à{0}.

a) Justifier l’existence de

a= inf{x∈H/x >0}

b) On supposea >0. Etablira∈H puisH =aZ. c) On supposea= 0. Etablir que H est dense dansR.

a) Montrer que{cos(n)/n∈N}est dense dans [−1,1].

b) Montrer que{cos(lnn)/n∈N^?} est dense dans [−1,1].

Montrer que l’ensemble des matrices diagonalisables deMn(C) est dense dans Mn(C).

Montrer qu’un hyperplan d’un espace vectoriel normé (E,kk) est dense ou fermé dansE.

On noteR⁽^N⁾l’ensemble des suites réelles nulles à partir d’un certain rang.

a) Montrer queR⁽^N⁾ est une partie dense de l’espace des suites sommables normé par

kuk₁=

+∞

X

n=0

|un|

b)R⁽^N⁾est-il une partie dense de l’espace des suites bornées normé par kuk_∞= sup

n∈N

|un|?

(6)

On noteE l’ensemble des fonctions réelles définies et continues sur [0,+∞[ et dont le carré est intégrable. On admet queE est un espace vectoriel réel. On le munit de la norme

k.k₂:f 7→

s Z +∞

0

f²(t) dt

On noteE0 l’ensemble desf ∈E telles quef est nulle hors d’un certain segment.

On noteF l’ensemble des fonctions deE du typex7→P(e^−x)e^−x²^/2 oùP parcourtR[X]. Montrer queE0 est dense dansE puis queF est dense dansE.

SoitAune partie convexe et partout dense d’un espace euclidienE.

Montrer queA=E.

SoitAune partie non vide deRvérifiant

∀a, b∈A, a+b 2 ∈A Montrer queAest dense dans l’intervalle ]infA,supA[.

SoitAune partie non vide deR^+? vérifiant

∀(a, b)∈A²,√ ab∈A Montrer queA∩(R\Q) est dense dans ]infA,supA[.

SoientE=C([0,1],R) etϕ∈E. On noteN_ϕ:E →Rl’application définie par Nϕ(f) =kf ϕk_∞

Montrer queNϕ est une norme surE si, et seulement si,ϕ⁻¹(R^?) est dense dans [0,1].

Soit (un) une suite de réels strictement positifs. On suppose (un) strictement croissante, un →+∞et un+1

u_n →1 Montrer que l’ensemble

A= um

un

/m > n

est une partie dense dans l’intervalle [1,+∞[

SoientAet B deux parties denses d’un espace norméE.

On suppose la partieAouverte, montrer queA∩B est une partie dense.

Continuité et densité

Soitf :R→Rcontinue vérifiant

∀x, y∈R, f(x+y) =f(x) +f(y) Déterminerf.

Soitf :R→Rune fonction continue telle que

∀x, y∈R, f

x+y 2

= 1

2(f(x) +f(y)) a) Montrer queD={p/2ⁿ/p∈Z, n∈N}est dense dansR. b) Montrer que sif s’annule en 0 et en 1 alorsf = 0.

c) Conclure quef est une fonction affine.

Montrer que pour toutA, B∈ Mn(C),χAB=χBA.

(7)

Soitn>2. Calculer det(comA) pourA∈ Mn(C).

Soientn∈Navecn>2.

a) SoientA∈ Mn(C) etP ∈GLn(C).

Exprimer la comatrice deP⁻¹AP en fonction deP,P⁻¹ et de la comatrice deA.

b) En déduire que les comatrices de deux matrices semblables sont elle-même semblables.

PourA∈ Mn(K), on noteAela transposée de la comatrice deA.

a) Calculer detA.e b) Etudier le rang deA.e

c) Montrer que siA etB sont semblables alors AeetBe le sont aussi.

d) CalculerA.ee

Montrer

∀A, B∈ Mn(R),com(AB) = com(A)com(B)

Approximations uniformes

Soitf : [a, b]→Ccontinue. Montrer Z b

a

f(t)e^intdt−−−−−→

n→+∞ 0

On pourra commencer par étudier le cas oùf est une fonction de classeC¹.

Soitf : [0,1]→Rcontinue. Montrer que si pour toutn∈N, Z 1

0

tⁿf(t) dt= 0 alorsf est la fonction nulle.

Soitf : [a, b]→Rcontinue telle queRb

a f(t) dt= 0. Montrer qu’il existe une suite (Pn) de polynômes telle que

Z b a

Pn(t) dt= 0 et sup

t∈[a,b]

|f(t)−Pn(t)| −−−−−→

n→+∞ 0

Soitf : [a, b]→Rcontinue telle quef >0. Montrer qu’il existe une suite (Pn) de polynômes telle quePn>0 sur [a, b] et sup

t∈[a,b]

|f(t)−Pn(t)| −−−−−→

n→+∞ 0.

Soitf : [a, b]→Rde classeC¹. Montrer qu’il existe une suite (P_n) de polynômes telle que

N_∞(f−P_n)→0 etN_∞(f⁰−P_n⁰)→0

[Théorème de Weierstrass : par les polynômes de Bernstein]

Pourn∈Net k∈ {0, . . . , n}, on pose Bn,k(x) = n

k

!

x^k(1−x)^n−k a) Calculer

n

X

k=0

Bn,k(x),

n

X

k=0

kBn,k(x) et

n

X

k=0

k²Bn,k(x) b) Soientα >0 etx∈[0,1]. On forme

A={k∈[[0, n]]/|k/n−x|>α} et B={k∈[[0, n]]/|k/n−x|< α}

Montrer que

X

k∈A

Bn,k(x)6 1 4nα² c) Soitf : [0,1]→Rcontinue. On pose

fn(x) =

n

X

k=0

f k

n

Bn,k(x) Montrer que (fn) converge uniformément versf sur [0,1].

(8)

[Théorème de Weierstrass : par convolution]

ndésigne un entier naturel.

On pose

a_n= Z 1

−1

(1−t²)ⁿdt et on considère la fonctionϕ_n: [−1,1]→Rdéfinie par

ϕn(x) = 1

a_n(1−x²)ⁿ a) CalculerR1

0 t(1−t²)ⁿdt. En déduire que an =

Z 1

−1

(1−t²)ⁿdt> 1 n+ 1

b) Soitα∈]0,1]. Montrer que (ϕn) converge uniformément vers la fonction nulle sur [α,1].

c) Soitf une fonction continue deRversRnulle en dehors de [−1/2,1/2].

Montrer quef est uniformément continue.

On pose

fn(x) = Z 1

−1

f(x−t)ϕn(t) dt pour toutx∈R.

d) Montrer quefn est une fonction polynomiale sur [−1/2,1/2]

e) Montrer que

f(x)−f_n(x) = Z 1

−1

(f(x)−f(x−t))ϕ_n(t) dt f) En déduire quefn converge uniformément versf surR. g) Soitf une fonction réelle continue nulle en dehors de [−a, a].

Montrer quef est limite uniforme d’une suite de polynômes.

h) Soitf une fonction réelle continue sur [a, b].

Montrer quef est limite uniforme d’une suite de polynômes.

Soitf ∈ C([a, b],R). On suppose que pour toutn∈N, Z b

a

xⁿf(x) dx= 0

a) Montrer que la fonctionf est nulle.

b) Calculer

In = Z +∞

0

xⁿe^−(1−i)xdx

c) En déduire qu’il existef dansC([0,+∞[,R) non nulle, telle que, pour toutn dansN, on ait

Z +∞

0

xⁿf(x) dx= 0

Soitf : [a, b]→Rcontinue par morceaux.

On désire établir ,

n→+∞lim Z b

a

f(x)|sin(nx)|dx

!

= 2 π

Z b a

f(x) dx

a) Vérifier le résultat pour une fonctionf constante.

b) Observer le résultat pour une fonctionf en escalier.

c) Etendre enfin le résultat au cas oùf est une fonction continue par morceaux.

(9)

Corrections

Exercice 1 :[énoncé]

SoientF un fermé et pour toutn∈N^?, On = [

a∈F

B(a,1/n)

On est un ouvert (car réunion d’ouverts) contenantF. Le ferméF est donc inclus dans l’intersection desOn pourn∈N^?.

Inversement sixappartient à cette intersection, alors, pour toutn∈N, il existe a_n∈F tel quex∈B(a_n,1/n). La suite (a_n) converge alors versxet doncx∈F carF est fermé.

FinalementF est l’intersection desO_n pourn∈N^?.

a) Soitx∈p₁(O), il existey∈Rtel quea= (x, y)∈O. CommeOest ouvert, il existeε >0 tel queB_∞(a, ε)⊂Oet alors ]x−ε, x+ε[⊂p₁(O). Ainsip₁(O) et de mêmep₂(O) est ouvert.

b) Soit ((xn, yn))_n∈N∈H^Ntelle que (xn, yn)→(x, y). Commexnyn= 1, à la limitexy= 1.

Par la caractérisation séquentielle des fermés,H est fermé.p1(H) =R^?, p2(H) =R^? ne sont pas fermés dansR.

c) Soit (xn)_n∈N∈(p1(F))^Ntelle que xn→x. Pourn∈N, il existeyn tel que (xn, yn)∈F.

La suite ((xn, yn)) est alors une suite bornée dont on peut extraire une suite convergente : ((xϕ(n), yϕ(n))).

Notonsy= limyϕ(n). CommeF est fermé, (x, y) = lim(xϕ(n), yϕ(n))∈F puis x=p1((x, y))∈p1(F).

0E ∈F donc il existeα >0 tel queB(0E, α)⊂F. Pour toutx∈E, on peut écrire

x=λy avecy∈B(0_E, α) etλbien choisis

On a alorsy∈F puisx∈F carF est un sous-espace vectoriel.

AinsiF =E.

Rappelons

d(x, F) = inf{kx−yk/y∈F} (⇐) Six∈F alors 0∈ {kx−yk/y∈F}et doncd(x, F) = 0 (⇒) Sid(x, F) = 0 alors pour toutn∈N, il existeyn∈F vérifiant

kx−ynk6 1 n+ 1

En faisant variern, cela détermine (y_n)∈F^N telle quey_n→x.

OrF est une partie fermée, elle contient les limites de ses suites convergentes et par conséquentx∈F.

a) Rappelons

d(x, F) = inf{kx−yk/y∈F} (⇐) Six∈F alors 0∈ {kx−yk/y∈F}et doncd(x, F) = 0 (⇒) Sid(x, F) = 0 alors pour toutn∈N, il existeyn∈F vérifiant

kx−y_nk6 1 n+ 1

En faisant variern, cela déterminer (yn)∈F^N telle queyn→x.

OrF est une partie fermée, elle contient les limites de ses suites convergentes et par conséquentx∈F.

b) Soient

U = [

x∈F

B

x,1 2d(x, G)

etV = [

x∈G

B

x,1 2d(x, F)

Les partiesU etV sont ouvertes car réunion de boules ouvertes et il est clair que U etV contiennent respectivementF etG.

S’il existey∈U∩V alors il existea∈F et b∈Gtels que d(a, y)<1

2d(a, G) et d(b, y)< 1 2d(b, F) Puisque

d(a, G), d(b, F)6d(a, b) on a donc

d(a, b)6d(a, y) +d(y, b)< d(a, b) C’est absurde et on peut conclure

U∩V =∅

(10)

Les ensembles

U = [

a∈A

B(a, d/2) etV = [

b∈B

B(b, d/2)

avecd=d(A, B) sont solutions.

En effetU etV sont des ouverts (par réunion d’ouverts) contenantAetB. U etV sont disjoints car

U ∩V 6=∅ ⇒ ∃(a, b)∈A×B, B(a, d/2)∩B(b, d/2)6=∅ ⇒d(A, B)< d

Aest fermé car si u^p= (u^p_n) est une suite d’éléments deAconvergeant vers une suiteu= (u_n) pour la normek.k_∞ alors pour toutn∈Net toutp∈N, u^p_n6u^p_n+1qui donne à la limiteu_n6u_n+1 et doncu∈A.

B est fermé car si u^p= (u^p_n) est une suite d’éléments deB convergeant vers une suiteu= (u_n) pour la normek.k_∞ alors pour toutε >0 il existep∈Ntel que ku−u^pk_∞6ε/2 et puisque u^p_n →

n→∞0, il existeN ∈Ntel que

∀n>N,|u^p_n|6ε/2 et donc

|un|6|un−u^p_n|+|u^p_n|6ε Ainsiu→0 et doncu∈B.

C est fermé. En effet siu^p= (u^p_n) est une suite d’éléments deC convergeant vers une suiteu= (u_n) pour la normek.k_∞ alors en notant`^p la limite deu^p, la suite (`^p) est une suite de Cauchy puisque|`^p−`^q|6ku^p−u^qk_∞. Posons`la limite de la suite (`^p) et considéronsv^p=u^p−`^p.v^p∈B et v^p→u−`doncu−`∈B et u∈C.

D est fermé car siu^p= (u^p_n) est une suite d’éléments deDconvergeant vers une suiteu= (un) pour la normek.k_∞ alors pour toutε >0 il existep∈Ntel que ku−u^pk_∞6ε/2 et puisque 0 est valeur d’adhérence deu^p, il existe une infinité dentels que|u^p_n|6ε/2 et donc tels que

|u_n|6|u_n−u^p_n|+|u^p_n|6ε Ainsi 0 est valeur d’adhérence deuet doncu∈D.

E n’est pas fermé. Notonsδ^p, la suite déterminée parδ_n^p = 1 sip|net 0 sinon. La suiteδ^p est périodique et toute combinaison linéaire de suitesδ^pl’est encore.

Posons alors

u^p=

p

X

k=1

1 2^kδ^k

qui est élément deE. La suiteu^p converge car u^p+q−u^p

∞6

p+q

X

k=p+1

1 2^k 6 1

2^p →0 et la limiteude cette suite n’est pas périodique car

u₀= lim

p→+∞

p

X

k=1

1 2^k = 1

et queu_n<1 pour toutnpuisque pour queu_n= 1 il fautk|npour toutk∈N.

a) Les éléments deR⁽^N⁾sont bornés doncR⁽^N⁾⊂ B(N,R).

L’appartenance de l’élément nul et la stabilité par combinaison linéaire sont immédiates.

b) SiR⁽^N⁾ est ouvert alors puisque 0∈R⁽^N⁾il existeα >0 tel que B_∞(0, α)⊂R⁽^N⁾.

Or la suite constante égale àα/2 appartient àB_∞(0, α) et n’est pas nulle à partir d’un certain rang doncB_∞(0, α)6⊂R⁽^N⁾et doncR⁽^N⁾ n’est pas ouvert.

c) PourN∈N, posonsu^N définie paru^N_n = _n+1¹ sin6N et u^N_n = 0 sinon.

(u^N)∈R⁽^N⁾etu^N →uavecudonné paru_n= _n+1¹ . En effet u^N −u

_∞= 1 N+ 2 →0 Maisu /∈R⁽^N⁾doncR⁽^N⁾n’est pas fermé.

Soit (xn)∈A^N convergeant versx∈R. Il existe un uniquey∈Atel que

|x−y|=d(x, A). Ord(x, A) = 0 doncx=y∈A. AinsiAest fermé.

Par l’absurde supposons queAne soit pas un intervalle. Il existea < c < btel que a, b∈Aet c /∈A.

Posonsα= sup{x∈A/x6c} etβ= inf{x∈A/x>c}. On aα, β∈A, α < c < β et ]α, β[⊂C_RA.

Posons alorsγ= ^α+β₂ . On ad(γ, A) = ^β−α₂ =|γ−α|=|γ−β|ce qui contredit l’hypothèse d’unicité. Absurde.

(11)

a) NotonsC l’espace des suites convergentes deB(N,R).

Soit (uⁿ) une suite convergente d’éléments deC de limiteu^∞. Pour chaquen, posons`ⁿ = limuⁿ= lim

p→+∞uⁿ_p.

Par le théorème de la double limite appliquée à la suite des fonctionsuⁿ, on peut affirmer que la suite (`ⁿ) converge et que la suiteu^∞ converge vers la limite de (`ⁿ). En particulieru^∞∈C.

b) NotonsAl’espace des suites dont le terme général est terme général d’une série absolument convergente.

Soit (uⁿ) la suite définie par

∀n∈N^?,∀p∈N, uⁿ_p = 1 (p+ 1)^1+1/n

La suite (uⁿ) est une suite d’éléments deAet une étude en normekk_∞permet d’établir queuⁿ→u^∞ avecu^∞_p =_p+1¹ . La suiteu^∞n’étant pas élément deA, la partieAn’est pas fermée.

a) Par définition de l’ensembleE, l’applicationk.k:E→R⁺est bien définie.

Soient (an)n>0, (bn)n>0 éléments deE etλ∈R. ka+bk=

+∞

X

n=0

|an+b_n|6

+∞

X

n=0

(|an|+|bn|) =kak+kbk avec convergence des séries écrites, et

kλ.ak=

+∞

X

n=0

|λa_n|=

+∞

X

n=0

|λ| |a_n|=|λ|

+∞

X

n=0

|a_n|=|λ| kak Enfin, sikak= 0 alors

∀n∈N,|an|6kak= 0 donne (an)n>0= (0)n>0

b) Considérons la forme linéaire

ϕ: (a_n)_n_>₀7→

+∞

X

n=0

a_n

On vérifie

∀a= (an)n>0∈E,|ϕ(a)|=

+∞

X

n=0

an

6

+∞

X

n=0

|an|=kak

La forme linéaireϕest donc continue.

PuisqueF =ϕ⁻¹({1}) avec{1}, la partieF est fermée en tant qu’image réciproque d’une partie fermée par une application continue..

Posonse= (1,0,0, . . .) et un élément deF et

∀α >0,e+αe /∈F et ke−(e+αe)k=α

On en déduit queF n’est pas un voisinage de son élémenteet par conséquent la partieF n’est pas ouverte.

Posonsα^p=e+p.(1,−1,0,0, . . .).

∀p∈N, α^p∈F et kα^pk −−−−−→

p→+∞ +∞

La partieF n’est donc pas bornée.

Pour obtenir ce résultat, il suffit de savoir montrerF+ Vect(u) fermé pour tout u /∈F.

Soit (xn) une suite convergente d’éléments deF+ Vect(u) de limitex.

Pour toutn∈N, on peut écrirexn =yn+λnuavecyn∈F etλn∈K. Montrons en raisonnant par l’absurde que la suite (λn) est bornée.

Si la suite (λn) n’est pas bornée, quitte à considérer une suite extraite, on peut supposer|λn| →+∞.

Posons alorszn =_λ¹

nxn= _λ¹

nyn+u.

Puisquekxnk → kxk et|λn| →+∞, on akznk →0 et donc _λ¹

ny_n → −u.

Or la suite de terme général _λ¹

ny_n est une suite d’éléments de l’espace ferméF, donc−u∈F ce qui exclu.

Ainsi la suite (λn) est bornée et on peut en extraire une suite convergente (λ_ϕ(n)) de limiteλ∈K.

Par opérations, la suite (y_ϕ(n)) est alors convergente.

En notanty sa limite, on ay∈F car l’espaceF est fermé.

En passant la relationxn=yn+λnuà la limite on obtient x=y+λu∈F+ Vect(u).

Ainsi l’espaceF+ Vect(u) est fermé.

CasA∈ M_n(C) est diagonalisable.

Soit (Ap) une suite convergente de matrices semblables àA.

NotonsA_∞ la limite de (Ap).

(12)

SiP est un polynôme annulateur deA,P est annulateur desAp et doncP annule A∞. PuisqueA est supposée diagonalisable, il existe un polynôme scindé simple annulantAet donc A∞et par suiteA∞ est diagonalisable.

De plusχA=χAp donc à la limiteχA=χA∞.

On en déduit queAet A∞ ont les mêmes valeurs propres et que celles-ci ont mêmes multiplicités. On en conclut queA etA_∞ sont semblables.

Ainsi la classe de similitude deAest fermée.

CasA∈ M_n(C) non diagonalisable.

A titre d’exemple, considérons la matrice A=

λ 1 0 λ

PourP_p=

p 0 0 1

, on obtient

P_p⁻¹AP_p=

λ 1/p

0 λ

→λI₂ qui n’est pas semblable àA.

De façon plus générale, si la matriceAn’est pas diagonalisable, il existe une valeur propreλpour laquelle

ker(A−λI2)²6= ker(A−λI2)

PourX₂∈ker(A−λI₂)²\ker(A−λI₂) etX₁= (A−λI₂)X₂, la famille (X₁, X₂) vérifieAX₁=λX₁ etAX₂=λX₂+X₁. En complétant la famille libre (X₁, X₂) en une base, on obtient que la matriceAest semblable à

T =





λ 1 (?)

0 λ (?)

(0) (0) B





PourP_p= diag(p,1, . . . ,1), on obtient

P_p⁻¹T Pp=





λ 1/p (?/p)

0 λ (?)

(0) (0) B



→





λ 0 (0)

0 λ (?)

(0) (0) B



=A∞

Or cette matrice n’est pas semblable àT ni àAcar rg(A_∞−λI_n)6= rg(T−λI_n).

Ainsi, il existe une suite de matrices semblables àAqui converge vers une matrice qui n’est pas semblable àA, la classe de similitude deAn’est pas fermée.

CasA∈ Mn(R)

SiAest diagonalisable dansCalors toute limiteA_∞ d’une suite de la classe de similitude deAest semblable àA dansMn(C). SoitP ∈GLn(C) telle que P⁻¹AP =A∞. On a alors AP =P A∞. En introduisant les parties réelles et imaginaires deP, on peut écrire P=Q+iR avecQ, R∈ Mn(R).

L’identitéAP =P A∞ avecAetA∞réelles entraîneAQ=QA∞ etAR=RA∞. Puisque la fonction polynômet7→det(Q+tR) n’est pas nulle (car non nulle eni), il existet∈Rtel queP⁰=Q+tR∈GL_n(R) et pour cette matriceAP⁰=P⁰A_∞. Ainsi les matricesAet A_∞ sont semblables dansM_n(R).

SiAn’est pas diagonalisable dansC.

Il existe une valeur propre complexeλpour laquelle ker(A−λI₂)²6= ker(A−λI₂).

PourX₂∈ker(A−λI₂)²\ker(A−λI₂) etX₁= (A−λI₂)X₂, la famille (X₁, X₂) vérifieAX1=λX1 etAX2=λX2+X1.

Siλ∈R, il suffit de reprendre la démonstration qui précède.

Siλ∈C\R, on peut écrireλ=a+ibavecb∈R^?. PosonsX3= ¯X1 etX4= ¯X2.

La famille (X1, X2, X3, X4) est libre carλ6= ¯λ.

Introduisons ensuiteY1= Re(X1),Y2= Re(X2),Y3= Im(X1) et Y4= Im(X2).

Puisque Vect_C(Y1, . . . , Y4) = Vect_C(X1, . . . , X4), la famille (Y1, . . . , Y4) est libre et peut donc être complétée en une base.

On vérifie par le calculAY1=aY1−bY3,AY2=aY2−bY4+Y1AY3=aY3+bY1et AY₄=bY₂+aY₄+Y₃.

et on obtient que la matriceAest semblable dansMn(R) à la matrice T ?

O B

avec

T =







a 1 b 0

0 a 0 b

−b 0 a 1

0 −b 0 a







PourP_p= diag(p,1, p,1, . . .1), on obtient P_p⁻¹T P_p→

T_∞ ?⁰

O B

=A_∞ avec

T_∞=







a 0 b 0

0 a 0 b

−b 0 a 0

0 −b 0 a







Or dansM_n(C), la matriceA_∞est semblable est à diag(λ, λ,¯λ,λ, B) qui n’est pas¯ semblable àApour des raisons de dimensions analogues à ce qui a déjà été vu.

Les matrices réellesAetA_∞ ne sont pas semblables dansMn(C) ni a fortiori dansMn(R).

(13)

On en déduit que la classe de similitude deAn’est pas fermée

a) Soient (fn) une suite convergente d’éléments deA etf_∞∈E sa limite.

Puisque la convergence de la suite (fn) a lieu pour la normek.k_∞, cette convergence correspond à la convergence uniforme. En particulier, il y a convergence simple et

fn(0)→f∞(0) On en déduitf_∞(0) = 0.

Puisqu’il y a convergence uniforme de cette suite de fonctions continues, on a aussi Z 1

0

fn(t) dt→ Z 1

0

f_∞(t) dt et donc

Z 1 0

f_∞(t) dt>1

Ainsif_∞∈Aet la partieA est donc fermée en vertu de la caractérisation séquentielle des parties fermées.

b) Par l’absurde, supposons qu’il existef ∈A vérifiantkfk_∞61. Puisque

Z 1 0

f(t) dt 6

Z 1 0

|f(t)| dt6 Z 1

0

kfk_∞ dt61 on peut affirmer que

Z 1 0

f(t) dt= 1 et donc

Z 1 0

(1−f(t)) dt= 0

Or la fonctiont7→1−f(t) est continue et positive, c’est donc la fonction nulle.

Par suitef est la fonction constante égale à 1, orf(0) = 0, c’est absurde.

a) Soient (f_n) une suite convergente d’éléments deA etf_∞∈E sa limite.

Puisque la convergence de la suite (f_n) a lieu pour la normek.k_∞, il s’agit d’une convergence uniforme.

Puisqu’il y a convergence uniforme, il y a convergence simple et en particulier fn(0)→f_∞(0)

On en déduitf_∞(0) = 0.

Puisqu’il y a convergence uniforme de cette suite de fonctions continues, on a aussi Z 1

0

f_n(t) dt→ Z 1

0

f_∞(t) dt et doncR1

0 f_∞(t) dt>1.

Ainsif_∞∈Aet la partieAest donc fermée en vertu de la caractérisation séquentielle des parties fermées.

b) Par l’absurde, supposons qu’il existef ∈Avérifiantkfk_∞61. Puisque

Z 1 0

f(t) dt 6

Z 1 0

|f(t)|dt6 Z 1

0

kfk_∞ dt61 on peut affirmer que

Z 1 0

f(t) dt= 1 et donc

Z 1 0

(1−f(t)) dt= 0

Or la fonctiont7→1−f(t) est continue et positive, c’est donc la fonction nulle.

Par suitef est la fonction constante égale à 1, orf(0) = 0, c’est absurde.

c)d(˜0, A) = inf

f∈Akfk_∞ et par ce qui précède on a déjàd(˜0, A)>1.

Considérons maintenant la fonctionfn définie pourn∈N^? par le schéma.

La fonctionfn

La fonctionfn est continue,fn(0) = 0 et par calcul d’aires Z 1

0

f_n(t) dt= 1 2n

n+ 1

n +

1− 1

n

n+ 1

n =(2n−1)(n+ 1)

2n² =2n²+n−1 2n² >1

(14)

Ainsi la fonctionfn est élément de A. Or kfnk_∞= n+ 1

n →1 donc

d(˜0, A) = 1 Exercice 16 :[énoncé]

a) Soit (un) une suite convergente d’éléments deAde limite u∞= (x∞, y∞).

Pour toutn∈N, on peut écrireun = (xn, yn) avecxnyn= 1. À la limite on obtientx_∞y_∞= 1 et donc u_∞= 1.

En vertu de la caractérisation séquentielle des parties fermées, on peut affirmer queAest fermée.

La partieB, quant à elle, est fermée car produit cartésien de deux fermées.

b) Posons

un= (1/n,0) = (1/n, n) + (0,−n)∈A+B Quandn→+∞,un →(0,0).

Or (0,0)∈/ A+B car le premier élément d’un couple appartenant à A+B ne peut pas être nul.

a) On a

R\Z= [

n∈Z

]n, n+ 1[

PuisqueR\Zest une réunion d’ouverts, c’est un ouvert.

b) Soit (x_n) une suite convergente d’entiers de limite`.

Pourε= 1/2, il existe un rangN ∈Ntel que

∀n>N,|x_n−`|<1/2 et alors

∀m, n>N,|x_m−x_n|<1 Puisque les termes de la suite (xn) sont entiers, on en déduit

∀m, n>N, xm=xn

La suite (xn) est alors constante à partir du rangN et sa limite est donc un nombre entier.

c) Considéronsf :R→Rdéfinie parf(x) = sin(πx).

La fonctionf est continue et

Z=f⁻¹({0}) avec{0}partie fermée deR.

Posonsϕ:E→Rl’application définie parϕ(P) =P(0).

L’applicationϕest linéaire et puisque|ϕ(P)|6N1(P), cette application est continue. On en déduit que Ω =ϕ⁻¹(R^?) est un ouvert relatif à E i.e. un ouvert deE pour la normeN1.

Pour la normeN₂, montrons que la partie Ω n’est pas ouverte en observant qu’elle n’est pas voisinage de son pointP = 1. Pour cela considérons la fonction continue f : [0,2]→Rdonnée par le graphe suivant :

Par le théorème d’approximation de Weierstrass, il existe une suite (Pn) de polynômes vérifiant

sup

t∈[0,2]

|Pn(t)−f(t)| →0 et en particulier

Pn(0)→0 etN2(Pn−P)→0 Considérons alors la suite de polynômes (Qn) avec

Qn =Pn−Pn(0) Pour toutn∈N,Qn(0) = 0 doncQn∈/Ω et

N2(Qn)6N2(Pn−P) +|Pn(0)| →0 donc

Qn N₂

−−→P

Puisque la partie Ω n’est pas voisinage de chacun de ses points, elle n’est pas ouverte pour la normeN2.

SupposonsF^◦ 6=∅ et introduisonsx∈F^◦, il existe ε >0 tel queB(x, ε)⊂F. Pour toutu∈E tel queu6= 0E, considérons

y =x+ε 2

u kuk

on ay∈B(x, ε) doncy∈F, orx∈F doncu∈F. AinsiE ⊂F puisE=F.