Ecole Nationale Supérieure Année 2020/2021 des Travaux Publics Deuxième année Cycle Préparatoire Juin Examen Final de Physique 4 (Durée 1h30)

Ecole Nationale Sup´erieure Ann´ee 2020/2021 des Travaux Publics

Deuxi`eme ann´ee Cycle Pr´eparatoire Juin 2021

Examen Final de Physique 4 (Dur´ee 1h30)

Exercice 1 (9 points)

Partie A: tuyau 2ferm´e par son imp´edance caract´eristique Zc₂

Un tuyau 1 de longueur semi-infinie et de sectionS1est raccord´e enx= 0 `a un tuyau 2 de longueurLet de section S2 ferm´e enx=Lpar son imp´edance caract´eristique Zc<sub>2</sub> (figure 1.a). Ces tuyaux contiennent le mˆeme fluide de masse volumique ρdans lequel se propagent des ondes acoustiques `a la vitesse c. Lorsqu’une onde incidente de pression progressive sinuso¨ıdale de pulsationωet d’amplitude complexeA1 se propage dans le tuyau 1 et arrive sur le point de raccordement x= 0, elle donne naissance `a une onde r´efl´echie d’amplitude complexe B1 et une onde transmise d’amplitude complexeA2.

'

x 0 x x ' 0 x

Figure 1.a) Figure 1.b)

(1)

r r

S

(2) S

(1)

r r

S

(2) S

L L

c2

Z

1. Ecrire les expressions des ondes de pression p1(x, t) et p2(x, t) dans les tuyaux.1 et 2 respectivement. En d´eduire les expressions des ondes de vitesse particulaires correspondantesu·1(x, t) etu·2(x, t)

2. En ´ecrivant les ´equations de continuit´e en x= 0, d´eterminer les coefficients de r´eflexion en pression r0 et de transmission en pressiont0 enx= 0. Faire l’application num´erique dans le cas o`uS2= 2S1.

3. Les sections des tuyaux sont telles queS2= 2S1

(a) Montrer que la pression acoustique dans le tuyau 1 peut se mettre sous la formep₁(x, t) =P(x)e^j(ωt−kx), o`uP(x) est une fonction complexe que l’on d´eterminera.

(b) Quelles sont les positions et l’amplitude r´eelle P_max des maxima de pression ainsi que les positions et l’amplitude r´eelleP_mindes minima de pression.

(c) En d´eduire letaux d’ondes stationnaires (TOS) d´efini par le rapport s=Pmax

Pmin

. Partie B: tuyau 2ouvert `a l’ext´erieur

Le tuyau 2 est maintenant ouvert enx=L`a l’ext´erieur (figure 1.b).

1. Donner les expressions des ondes de pression p1(x, t) et p2(x, t) dans les tuyaux.1 et 2 respectivement. En d´eduire les expressions des ondes de vitesse particulaires correspondantesu·1(x, t) etu·2(x, t).

2. En ´ecrivant les ´equations de continuit´e enx= 0 etx=L, d´eterminer le coefficient de r´eflexionr^′₀en pression enx= 0.

3. Trouver la longueur minimumL_mindu tuyau 2 pour qu’il y ait un nœud de pression enx= 0.

Exercice 2 (7 points)

Une onde ´electromagn´etique plane sinuso¨ıdale, de pulsationω, se propage dans l’epace vide rapport´e a un tri`edre direct (−→e_x,−→e_y,−→e_z). Elle est d´ecrite par un vecteur champ ´electrique donn´e en notation complexe par l’expression

−

→E(z, t) =E0e^j(ωt−kz)−→ex+E0e^j(^ωt−kz+^π₃)−→ey

o`uketE0 sont des constantes r´eellespositives.

1. Quelle est la direction de propagation de l’onde ?

2. Donner l’expression du champ ´electrique r´eel et trouver l’´etat de polarisation de cette onde.

3. D´eterminer l’expression du champ magn´etique r´eel−→

B de cette onde.

4. Calculer le vecteur de Poynting −→

R et donner sa valeur moyenne dans le temps.

5. Calculer la puissance moyenne transport´ee par l’onde `a travers une section d’aireS= 20 cm<sup>2</sup>plac´ee perpen- diculairement `a la direction de propagation.

On donne: E₀= 0,5 V·m⁻¹, µ₀= 4π×10⁻⁷ H·m⁻¹ etc= 3×10⁸ m·s⁻¹.

Exercice 3 (4 points)

Cochez la(les) bonne(s) r´eponse(s)

1. Plus la conductivit´e ´electrique d’un mat´eriau est ´elev´ee, plus

a sa r´esistivit´e ´electrique est faible b sa r´esistance ´electrique est grande c sa r´esistance ´electrique est faible d il a la capacit´e de laisser passer le courant

2. Dans un conducteur parfait

a Le champ ´electrique est nul b La densit´e de courant surfacique est nulle c Le champ magn´etique est nul d La r´esistivit´e ´electrique est infinie

3. Dans le cadre de l’ARQS, l’´equation de Maxwell-Amp`ere s’´ecrit a −→rot−→

B =µ₀γ₀−→

E +µ₀ε₀∂−→ E

∂t b −→rot−→

B =µ₀−→j c −→rot−→

H =µ₀γ₀−→

E d −→rot−→ H =−→j 4. A la travers´ee d’une distribution surfacique de courants

a −−→

B2T−−−→

B1T=µ0−→

jS∧−→n12 b −−→

H2T−−−→

H1T =−→

jS∧−→n12 c −−→

B2N−−−→

B1N =µ0−→

jS∧−→n12 d −−→

B2T−−−→

B1T =−→ 0

Ecole Nationale Sup´erieure Ann´ee 2020/2021 des Travaux Publics

Deuxi`eme ann´ee Cycle Pr´eparatoire Juin 2021

Examen Final de Physique 4 (Dur´ee 1h30)

Exercice 1 (9 points)

Partie A: tuyau 2ferm´e par son imp´edance caract´eristique Zc₂

1. les expressions des ondes de pression sont donn´ees par

p1(x, t) =A1e^j(ωt−kx)+B1e^j(ωt+kx)←0,25 pt et p2(x, t) =A2e^j(ωt−kx)←0,25 pt On en d´eduit les ondes de vitesse correspondantes

u·₁(x, t) = A1

ρce^j(ωt−kx)−B1

ρce^j(ωt+kx)←0,25 pt et u·₂(x, t) =A2

ρce^j(ωt−kx)←0,25 pt 2. • Continuit´e de la pression enx= 0

p1(0, t) =p2(0, t) ∀t←0,25 pt

=⇒A₁+B₁=A₂←0,25 pt

• Continuit´e du d´ebit volumique enx= 0

S1u·1(0, t) =S2u·2(0, t) ∀t←0,25 pt soit

S₁(A₁−B₁) =S₂A₂←0,25 pt En introduisant les coefficients de r´efl´exion r0 = B1

A₁ et de transmission t0 = A2

A₁ en pression, les deux

´

equations de continuit´e s’´ecrivent: ß

1 +r₀=t₀ S₁(1−r₀) =S₂t₀ La r´esolution du syst`eme donne

r₀=S1−S2

S₁+S₂←0,5 pt et

t₀= 1−r₀= 2S1

S₁+S₂←0,5 pt Application num´erique:

r0=−1

3←0,25 pt et t0= 2

3←0,25 pt 3. (a) L’onde de pression dans le tuyau 1 s’´ecrit:

p₁(x, t) =A₁e^j(ωt−kx)+r₀A₁e^j(ωt+kx)=A₁(

1 +r₀e^2jkx)

e^j(ωt−kx)=P(x)e^j(ωt−kx)←0,5 pt avecP(x) =A1

(1 +r0e^2jkx)

←0,25 pt

(b) Les positions des maxima de pression sont obtenues lorsquee^2jkx=−1,soit 2kx_n= (2n−1)π (n= 0,−1,−2, ...) d’o`u

x_n= (2n−1)λ

4 (n= 0,−1,−2, ...)←0,25 pt L’amplitude r´eelle de ces maxima est Pmax=|A1(1−r0)|=|A1|(1−r0) = 4

3|A1| ←0,25 pt Les positions des minima de pression sont obtenues lorsquee^2jkx= +1,soit

2kx^′_n= 2nπ (n= 0,−1,−2, ...) d’o`u

x^′_n=nλ

2 (n= 0,−1,−2, ...)←0,25 pt L’amplitude r´eelle de ces minima estP_min=|A₁(1 +r₀)|=2

3|A₁| ←0,25 pt (c) On en d´eduit letaux d’ondes stationnaires (TOS):s= P_max

Pmin

= 1−r₀ 1 +r0

= 2←0,25 pt Partie B: tuyau 2ouvert `a l’ext´erieur

1. les expressions des ondes de pression sont donn´ees par

p1(x, t) =A1e^j(ωt−kx)+B1e^j(ωt+kx)←0,25 pt et p2(x, t) =A2e^j(ωt−kx)+B2e^j(ωt+kx)←0,25 pt On en d´eduit les ondes de vitesse correspondantes

u·1(x, t) = A1

ρce^j(ωt−kx)−B1

ρce^j(ωt+kx)←0,25 pt et u·2(x, t) = A2

ρce^j(ωt−kx)−B2

ρce^j(ωt+kx)←0,25 pt 2. Les ´equations de continuit´e enx= 0 permettent d’´ecrire:

® p1(0, t) =p2(0, t)

S1u·1(0, t) =S2u·2(0, t) =⇒

{ A1+B1=A2+B2←0,25 pt S1(A1−B1) =S2(A2−B2)←0,25 pt

De mˆeme, le tuyau 2 ´etant ouvert enx=L, l’´equation de continuit´e `a cette extr´emit´e du tuyau s’´ecrit:

p₂(L, t) = 0 =⇒A₂e^−jkL+B₂e^jkL = 0←0,5 pt En ´eliminantB₂ des deux premi`eres ´equations de continuit´e, on obtient

ß A₁+B₁=A₂(

1−e^−2jkL) S₁(A₁−B₁) =S₂A₂(

1 +e^−2jkL) =⇒ (A₁+B₁) (A1−B1) =jS₁

S2

tankL

et en introduisant le coefficient de r´eflexion en pressionr^′₀=B₁ A1

, on obtient:

r^′₀= jS1

S2

tankL−1 jS1

S2

tankL+ 1

←1 pt

3. Nous obtenons un nœud de pression enx= 0 lorsquer^′₀= 0, soit tankL= 0. D’o`u la longueur minimale

L_min=λ

2←0,5 pt

Exercice 2 (7 points)

1. Le champ ´electrique d’une OPPS peut s’´ecrire en notation r´eelle en un pointM en fonction du vecteur d’onde sous la forme −→

E(−→r , t) =E_0xcosÄ ωt−−→

k · −→r +φ_xä−→e_x+E_0ycosÄ ωt−−→

k · −→r +φ_yä−→e_y o`u−→r =−−→

OM =x−→e_x+y−→e_y+z−→e_z et −→

k =k_x−→e_x+k_y−→e_y+k_z−→e_z.Ici, le champ est donn´e en notation r´eelle par

−

→E(z, t) =E₀cos (ωt−kz)−→e_x+E₀cos (

ωt−kz+π 3

)−→e_y←0,25 pt

On en d´eduit que−→

k =k−→ez←0,25 pt. L’onde se propage le long desz croissants←0,25 pt 2. Les composantes Ex et Ey du champ ´electrique sont d´ephas´ees de φ = π

3 et leurs amplitudes sont ´egales:

E_0x=E_0y=E₀.Donc la polarisation est elliptique←0,5 pt. Pour d´eterminer le sens de parcourt du champ

−

→E, on calcule les valeurs de celui-ci sur le plan d’ondez= 0 `a deux instants particuliers:

• `a t= 0 :−→ E₁=−→

E(0,0) =E₀−→e_x+E0

2

−

→e_y←0,25 pt

• `a t= T 4 :−→

E2=−→ E

Å 0,T

4 ã

=−

√3E0

2

−

→ey←0,25 pt

Le trac´e du champ dan le plan d’ondez= 0 de telle sorte que−→

k pointe vers nous montre que le champ tourne dans le sens horaire de−→

E₁ vers−→

E₂. Donc la polarisation est elliptique droite←0,5 pt 3. Pour une OPPS, le champ magn´etique−→

B est donn´e par

−

→B =

−

→k ∧−→ E

ω =k−→ez∧[

E0cos (ωt−kz)−→ex+E0cos(

ωt−kz+^π₃)−→ey

]

ω ←0,25 pt

soit −→

B =−E₀ c cos

(

ωt−kz+π 3

)−→e_x+E₀

c cos (ωt−kz)−→e_y←1 pt 4. Le vecteur de Poynting s’´ecrit:

−

→R =

−

→E ∧−→ B µ0

= 1 µ0

−

→e_x −→e_y −→e_z E_x E_y 0 B_x B_y 0

=E_xB_y−E_yB_x µ0

−

→e_z← 0,5 pt

soit −→

R = E₀² µ0c

[

cos²(ωt−kz) + cos² (

ωt−kz+π 3

)]−→ez←1 pt

Sa valeur moyenne dans le temps s’´ecrit:

⟨−→ R⟩= E₀²

µ0c

−

→e_z←0,5 pt

5. La puissance moyenne transport´ee par l’onde est donn´ee par

⟨P⟩=

∫∫

S

⟨−→ R⟩ ·d−→

S = E₀²

µ₀cS←1 pt Application num´erique

⟨P⟩= 0,5²×20×10⁻⁴

4π×10⁻⁷×3×10⁸ ≃1,32×10⁻⁶ W←0,5 pt

Exercice 3 (4 points)

Cochez la(les) bonne(s) r´eponse(s)

1. Plus la conductivit´e ´electrique d’un mat´eriau est ´elev´ee, plus

a sa r´esistivit´e ´electrique est faible b sa r´esistance ´electrique est grande c sa r´esistance ´electrique est faible d il a la capacit´e de laisser passer le courant←1 pt

2. Dans un conducteur parfait

a Le champ ´electrique est nul b La densit´e de courant surfacique est nulle c Le champ magn´etique est nul d La r´esistivit´e ´electrique est infinie←1 pt

3. Dans le cadre de l’ARQS, l’´equation de Maxwell-Amp`ere s’´ecrit a −→rot−→

B =µ0γ0−→ E +µ0ε0

∂−→ E

∂t b −→rot−→ B =µ0−→

j c −→rot−→

H =µ0γ0−→

E d −→rot−→ H =−→

j←1 pt 4. A la travers´ee d’une distribution surfacique de courants

a −−→

B2_T−−−→

B1_T =µ0−→

jS∧ −→n12 b −−→

H2_T−−−→

H1_T =−→

jS∧ −→n12 c −−→

B2_N−−−→

B1_N =µ0−→ jS∧ −→n12

d −−→

B_2T−−−→

B_1T=−→0←1 pt