Examen final AAA/AAD - Automne 2020 Durée : 1h30
Recommandations.L’usage de la calculatrice est interdit. La présentation, la lisibilité, l’orthographe, la qualité de la rédaction et la rigueur de raisonnement comptent pour une part importante dans la note. En particulier, les résultats non justifiés ne seront pas pris en compte.
À rédiger sur une copie à part
Exercice 1. Soit
f :
R→
Rune fonction.1. Soit
(x, y) ∈
R2. Déterminer la contraposée de :x
⩾y = ⇒ f (x)
⩽f (y).
2. Déterminer la négation de :
∀ ε > 0, ∃ δ > 0, ∀ (x, y) ∈
R2, ( | x − y |
⩽δ = ⇒ | f (x) − f (y) |
⩽ε) .
Exercice 2. Soit
n
un entier supérieur ou égal2
. Calculer les sommes sui- vantes :S
n=
∑n k=1
(
n k
)2
k etT
n=
n+1∑
k=0
(
( − 1)
k− 2k
).
Exercice 3. On considère la fonction :
f :
R⋆→
Rx 7→
{
|x|
six < 0,
− sin(x)
six > 0.
1. Démontrer que
f
admet une limiteℓ
en0
et la déterminer.2. On pose
f (0) = ℓ
. Étudier la dérivabilité def
en0
.À rédiger sur une copie à part
Exercice 4. On définit par récurrence les suites
(a
n)
n et(b
n)
n para
0= 0
,b
0= 1
et :∀ n ∈
N, a
n+1= 2a
n+ b
n3
etb
n+1= a
n+ 2b
n3 .
1. Onadmetque :
∀ n ∈
N, a
n⩽b
n.
Étudier alors la monotonie des suites
(a
n)
n et(b
n)
n. 2. Démontrer par récurrence que :∀ n ∈
N, b
n− a
n= 1 3
n.
3. En déduire que les suites
(a
n)
net(b
n)
n sont adjacentes.4. Justifier rapidement que la suite de terme général
u
n= a
n+ b
n est constante.5. Déduire des questions précédentes que
(a
n)
n et(b
n)
n convergent et déterminer leurs limites.Exercice 5. Soit :
f :
Z→
Nk 7→ | k | .
La fonctionf
est-elle bijective ? Justifier.Correction
Exercice 1. Soit
f :
R→
Rune fonction.1. Soit
(x, y) ∈
R2.La contraposée de l’implication(
x
⩾y = ⇒ f (x)
⩽f (y)
) est :f (x) > f (y) = ⇒ x < y .
2. La négation de l’assertion
∀ ε > 0, ∃ δ > 0, ∀ (x, y) ∈
R2, ( | x − y |
⩽δ = ⇒ | f (x) − f (y) |
⩽ε)
est :∃ ε > 0, ∀ δ > 0, ∃ (x, y) ∈
R2, ( | x − y |
⩽δ
et| f(x) − f (y) | > ε) .
Exercice 2. Soit
n
un entier supérieur ou égal2
.• S
n=
∑n
k=1
(
n k
)2
k=
∑n
k=0
(
n k
)2
k−
(n
0
)2
0Sn
=
∑n
k=0
(
n k
)2
k− 1
Sn=
∑n
k=0
(
n k
)2
k1
n−k− 1
Sn
= (2 + 1)
n− 1
d’après la formule du binôme de Newton Sn= 3
n− 1 .
• T
n=
n+1∑
k=0
(
( − 1)
k− 2k
)Tn
=
n+1∑
k=0
(−1)
k− 2
n+1∑
k=0
k
Tn
= 1 − ( − 1)
(n+1)+11 − ( − 1) − 2 (n + 1)
((n + 1) + 1
)2
Tn
= 1 − (−1)
n+22 − (n + 1)(n + 2) .tttttttttttttttttttttttttttttttt
Exercice 3. On considère la fonction :
f :
R⋆→
Rx 7→
{
| x |
six < 0,
− sin(x)
six > 0.
1. • Par définition de
f
sur] − ∞ , 0[
, on a :∀ x < 0, f(x) = | x | = − x.
Donc :
lim
x→0−
f (x) = lim
x→0
( − x) = 0.
• De plus,
lim
x→0+
f (x) = lim
x→0
( − sin(x)) = 0
. Puisquelim
x→0−
f(x) = lim
x→0+
f(x) = 0
, alorsf
admet une limite en0
qui estlim
x→0
f(x) = 0 .
2. On posef(0) = 0
.• Pour tout
x < 0
,f (x) − f(0) x − 0 = | x |
x = − x
x = − 1 −→
x→0−
− 1.
Donc
f
est dérivable à gauche en0
etf
g′(0) = − 1
.• Pour tout
x > 0
,f (x) − f (0)
x − 0 = − sin(x)
x = − sin(x) x .
D’après les équivalents usuels en0
,lim
x→0
sin(x)
x = 1
. Par conséquent,lim
x→0−
f (x) − f (0) x − 0 = − 1.
Autrement dit,
f
est dérivable à droite en0
etf
d′(0) = − 1
. Puisquef
g′(0) = f
d′(0) = −1
,f
est dérivable en0
etf
′(0) = −1
.Exercice 4. 1. On considère les suites
(a
n)
net(b
n)
n définies para
0= 0
,b
0= 1
et :∀ n ∈
N, a
n+1= 2a
n+ b
n3
etb
n+1= a
n+ 2b
n3 .
On admet que :
∀ n ∈
N, a
n⩽b
n. (⋆)
Étudions la monotonie des suites
(a
n)
net(b
n)
n. On remarque que :• ∀ n ∈
N, a
n+1− a
n= 2a
n+ b
n3 − a
n= 2a
n+ b
n− 3a
n3 = b
n− a
n3 .
• ∀ n ∈
N, b
n+1− b
n= a
n+ 2b
n3 − b
n= a
n+ 2b
n− 3b
n3 = a
n− b
n3 .
Donc d’après(⋆)
:∀n ∈
N,a
n+1− a
n≥ 0
etb
n+1− b
n≤ 0.
Autrement dit, on a :
•
∀n ∈
N, an+1≥ a
n. Donc(a
n)
nest croissante .•
∀ n ∈
N, b
n+1≤ b
n. Donc(b
n)
nest décroissante . 2. Démontrons par récurrence que :∀ n ∈
N, b
n− a
n= 1
3
n.
• Initialisation.
a
0= 0
etb
0= 1
doncb
0− a
0= 1 = 1
3
0. L’égalité est donc vérifiée pourn = 0
.• Hérédité. Soit
n ∈
N. Il s’agit de démontrer que sib
n− a
n= 1 3
n, alorsb
n+1− a
n+1= 1
3
n+1.
Par définition des suites(a
n)
n et(b
n)
non a :b
n+1− a
n+1= a
n+ 2b
n3 − 2a
n+ b
n3 = b
n− a
n3 .
Donc :b
n− a
n= 1
3
n= ⇒ b
n+1− a
n+1=
1 3n
3 = 1 3
n+1.
Par conséquent, la propriété est héréditaire.• Conclusion. La propriété
b
n− a
n= 1
3
n est initialisée pourn = 0
et héréditaire, donc, par principe de récurrence, elle est vraie pour tout entiern
:∀ n ∈
N, b
n− a
n= 1 3
n.
3. • D’après la question 1,
(a
n)
nest croissante et(b
n)
nest décroissante.• D’après la question 2,
lim
n→+∞
(b
n− a
n) = lim
n→+∞
1 3
n= 0 .
On en déduit que les suites(a
n)
net(b
n)
nsont adjacentes.4. Posons, pour tout
n ∈
N,u
n= a
n+ b
n. Alors,∀ n ∈
N, u
n+1= a
n+1+ b
n+1= 2a
n+ b
n3 + a
n+ 2b
n3
= 3a
n+ 3b
n3
= a
n+ b
n= u
n.
Par conséquent, la suite
(u
n)
nest constante et :∀ n ∈
N, u
n= u
0= a
0+ b
0= 1 .
5. D’après la question 3, les suites
(a
n)
n et(b
n)
n sont adjacentes. Par conséquent, elles convergent toutes les deux vers la même limiteℓ
. D’où,n→
lim
+∞u
n= lim
n→+∞
(a
n+ b
n) = 2ℓ.
Or, la suite
(u
n)
n étant constante égale àu
0= 1
(cf question 4), elle converge vers1
. Par unicité de la limite, on en déduit que2ℓ = 1
et doncℓ = 1
2 .
Ainsi,lim
nto+∞
a
n= lim
n→+∞
b
n= 1 2 .
Exercice 5. Soit :
f :
Z→
Nk 7→ | k | .
On remarque que
f ( − 1) = f (1) = 1
. Donc l’élément1
deNadmet au moins deux antécédents distincts parf
:1
et− 1
.On en déduit que
