Examen final AAA/AAD - Automne 2020 Durée : 1h30
Recommandations.L’usage de la calculatrice est interdit. La présentation, la lisibilité, l’orthographe, la qualité de la rédaction et la rigueur de raisonnement comptent pour une part importante dans la note. En particulier, les résultats non justifiés ne seront pas pris en compte.
À rédiger sur une copie à part
Exercice 1. Soit
f : R → R
une fonction.1. Soit
(x, y) ∈ R
2. Déterminer la contraposée de :x ⩾ y = ⇒ f (x) ⩽ f (y).
2. Déterminer la négation de :
∀ ε > 0, ∃ δ > 0, ∀ (x, y) ∈ R
2, ( | x − y | ⩽ δ = ⇒ | f (x) − f (y) | ⩽ ε) .
Exercice 2. Soit
n
un entier supérieur ou égal2
. Calculer les sommes sui- vantes :S
n=
∑
n k=1( n k )
2
k etT
n=
n+1
∑
k=0
(
( − 1)
k− 2k )
.
Exercice 3. On considère la fonction :
f : R
⋆→ R
x 7→
{ |x|
six < 0,
− sin(x)
six > 0.
1. Démontrer que
f
admet une limiteℓ
en0
et la déterminer.2. On pose
f (0) = ℓ
. Étudier la dérivabilité def
en0
.À rédiger sur une copie à part
Exercice 4. On définit par récurrence les suites
(a
n)
n et(b
n)
n para
0= 0
,b
0= 1
et :∀ n ∈ N , a
n+1= 2a
n+ b
n3
etb
n+1= a
n+ 2b
n3 .
1. Onadmetque :
∀ n ∈ N , a
n⩽ b
n.
Étudier alors la monotonie des suites
(a
n)
n et(b
n)
n. 2. Démontrer par récurrence que :∀ n ∈ N , b
n− a
n= 1 3
n.
3. En déduire que les suites
(a
n)
net(b
n)
n sont adjacentes.4. Justifier rapidement que la suite de terme général
u
n= a
n+ b
n est constante.5. Déduire des questions précédentes que
(a
n)
n et(b
n)
n convergent et déterminer leurs limites.Exercice 5. Soit :
