Classes de Steinitz d’extensions à groupe de Galois $A_4$

M

ARJORY

G

ODIN

B

OUCHAÏB

S

ODAÏGUI

Classes de Steinitz d’extensions à groupe de Galois A

4

Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux, tome

14, n

o

_{1 (2002),}

p. 241-248

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Classes de Steinitz d’extensions

à

_groupe

de Galois

_A4

par MARJORY GODIN et BOUCHAÏB

SODAÏGUI

RÉSUMÉ. Soient k un _corps de nombres et

_Cl(k)

son _groupe des classes. Une extension de k à _groupe de Galois

isomorphe

au

groupe alterné

A4

est dite alternée. Soit

_E/k

une extension

cy-clique

de

_degré

3. On calcule la classe de

_Steinitz,

dans

_Cl(k),

de toute extension alternée contenant E. Sous

_{l’hypothèse}

que

le nombre des classes de k est

_impair,

on détermine l’ensemble

de telles classes et on montre que c’est un _sous-groupe de

Cl(k)

lorsque

l’anneau des entiers de E est libre sur celui de k ou 3 ne

divise pas l’ordre de

Cl (k).

Ensuite,

on montre _que l’ensemble des éléments de

_{Cl (k)}

_qui

sont réalisables _par des classes de Steinitz

d’extensions alternées

_(resp.

alternées et

_modérées)

est le _groupe

Cl (k)

tout entier.

ABSTRACT. Let k be a number field and

Cl(k)

its class _group.

A Galois extension of k is called

_alternating

if its Galois _group

is

_isomorphic

to the

_alternating

_group A4. Let

_E/k

be a

cyclic

extension of

_degree

3. We calculate the Steinitz

_class,

in

_{Cl (k),}

of

every

alternating

extension

containing

E. Under the

assumption

that the class number of k is

_odd,

we détermine the set of such classes and we _prove that it is a

_subgroup

of

Cl(k)

when the

_ring

of

_integers

of E is free over that for k or the order of

Cl(k)

is

not divisible

_by

3.

_Next,

we _prove that the subset of

Cl(k)

con-sisting

of those classes which are realizable as the Steinitz classes

of

_alternating

_(resp.

tame

_alternating)

extensions is the full _group

Cl(k).

1. Introduction

Pour tout _corps de nombres

_{K, OK}

_désigne

l’anneau des entiers de K et

Cl (K)

le _groupe des classes de K.

Soient

_K/k

une extension finie de _corps de nombres de

degré

n. L’anneau

OK

est un

Ok-module

sans torsion de _{rang n,} donc il existe un idéal I de

Ok

tel que I en tant _que

_Ok-module.

La classe de I dans

_Cl(k)

est

_appelée

la classe de Steinitz de l’anneau

_OK

ou de l’extension

K/k,

et on la note

_{Clk(OK) (voir [FT,Théorème}

_13,

_p.

_95]).

Maintenant,

soient r un _{groupe fini} et il un _{sous-groupe normal de r.}

On a donc la suite exacte _{de groupes suivante :}

Fixons

_E/k

une extension

galoisienne

dont le groupe de Galois est

iso-morphe

à

_{F /A.}

On

_désigne

_par

_{R(E/k, ~) (resp. Rm(E/k, ~))}

l’ensemble des classes

_{(réalisables)}

c E

_Cl(k)

telles

_qu’il

existe une extension

galoisi-enne

(resp.

_galoisienne

et modérément

_ramifiée)

_N/k,

contenant

_E,

avec un

_isomorphisme

1r de

Gal (N/k)

dans r tel _que E est le _sous-corps de N fixe par

~-1 (~),

dont la classe de Steinitz est c.

Lorsque

a =

r,

R(E/k, ~) (resp. Rm(E/k, E»

est tout

simplement

l’ensemble des classes de Steinitz des extensions

_galoisiennes

_(resp.

galoi-siennes et

_modérées)

de

_l~,

dont le _groupe de Galois est

_isomorphe

à

_{r ;}

on note

_{R(k, r)}

et

_{Rm(k, r)}

au lieu de et

Soient p, q deux nombres

premiers impairs.

Dans

~C1~,

sous

l’hypothèse

que k contient les racines

pième

de

l’unité,

on détermine

lorsque

r est un _groupe non abélien d’ordre

p3

d’exposant

_p et A un _sous-groupe

de r d’ordre

_p2,

et on montre _que si

_OE

est un

Ok-module

libre alors

Rm (E/k,

E)

est un _{sous-groupe de}

Cl (k).

Dans

[C2]

on montre des résultats

analogues

à ceux de

[Cl]

dans la situation où k contient les racines

pq’ème

de

_l’unité,

r est un _groupe

_métacylique

d’ordre _pq, et A est _{le sous-groupe}

de r d’ordre p.

Lorsque

r est

_abélien,

une

conséquence

des travaux de McCulloh

(voir

[Mc])

est :

_Rm,(k,r)

est un _{sous-groupe de}

CI (k).

Dans

[C3],

on montre que

r)

est un _sous-groupe de

Cl(k)

dans le cas où r est un _groupe non abélien d’ordre

p3

(p

_premier

impair),

et k contient les racines

rrz’ème

de

_l’unité,

où m est

_l’exposant

de r.

_Lorsque

r est _{le groupe}

_{quaternionien}

(resp. diédral)

d’ordre

_8,

on montre dans

_[Sol]

_(resp.

_[So2])

_que si le nombre des classes de k est

_impair

alors

_{Rm (k,}

_r)

=

Cl (k).

Dans cet

_article,

on s’intéresse à la situation où r est le _groupe alterné

A4

défini par la

présentation :

On a

_(a),

donc

_{E jk}

est une extension

_cyclique

de

_degré

3. Dans la section

_3,

nous démontrerons les

_principaux

résultats suivants :

Théorème 1.1. Soit k un _corps de nombres. Soit

E/k

une extension,

où

_NEIK

est la norme dans

Elk

et est le sous-groupe des

puissances

des éléments du _groupe

_NElk(CI(E».

De

_plus,

si

_E/k

est modérée alors

Remarque. L’hypothèse

"le nombre des classes de k est

_{impair" provient}

d’un

_problème

de

_plongement

et sera utile _{pour prouver} l’inclusion

l’autre inclusion est vraie sans cette

_hypothèse.

Corollaire 1.2. Sous les

_hypothèses

et notations du théorème 1.1 on a les assertions suivantes :

(1)

Si 3 ne divise _pas le nombre des classes de k alors

R(Elk,

’E)

=

CI(k)

(=

’E)

si

_E/k

est

_modérée).

(2)

Si

OE

est un

_{Ok -module}

libre alors

_R(E/k,

’E)

est un _sous-groupe de

Cl(k)

égal

à

₍₌

_’E)

si

_Elk

est

_{modérée) ;}

de

plus

si

_E/k

est

_ramifiée

alors il est

_égal

à

Pour terminer cette

_{section, signalons qu’une}

autre motivation de cet

ar-ticle est _{l’étude de l’ensemble des éléments du groupe des classes de}

_l’algèbre

de _groupe

_{Ok ~r~,}

_qui

sont réalisables _par des classes d’anneaux d’entiers d’extensions

_galoisiennes

de

_k,

modérées et _{à groupe de Galois}

_isomorphe

à

_r,

dans la situation où r n’est _pas abélien

_(dans

cette direction voir

_[So2]

et la

_{bibliographie) ;}

le cas abélien étant résolu _par McCulloh dans

~Mc~).

On montre

_qu’il

_y a un lien étroit entre l’étude de l’ensemble des classes réalisables et le

_problème

de l’étude des classes de Steinitz.

2. Classes de Steinitz

Dans cette

_section,

_N/k

_désigne

une extension

galoisienne

dont le groupe

de Galois est

_isomorphe

à

_A4.

Si 7r est un

isomorphisme

de

Gal(Nlk)

dans

A4

et q E

_A4,

on identifiera

_{et ~y.}

Soit la sous-extension de

N fixe _par

_{(T, v) :}

c’est

_l’unique

sous-extension

_cyclique

de

_degré

_3,

et on a

(Q).

L’extension

N/E

est

_{biquadratique,}

elle contient donc trois sous-extensions

_quadratiques

de

_{E ;}

si

_L/E

est l’une d’entre elles alors les deux autres sont

_{u (L)}

et

Proposition

2.1. On a

Le lemme suivant sera utile _pour la _preuve de la

proposition

précédente.

Lemme 2.2. Soient K urt _corps de

nombres,

M/K

urce extension

bi-quadratique,

KilK,

1 i

_3,

les trois _sous-corps

_quadratiques

de M. Alors

Preuve du lemme. Notons A le discriminant de

_{M / K}

etài

les discriminants des

_Ki/K.

Une

conséquence

immédiate de la

_{décomposition}

d’Artin et

Hasse du discriminant en un

produit

de conducteurs et la

propriété

de ces

derniers relative au _passage au

_quotient

(voir [Se,

Chap. VI,

Section

_3,

Cor. 2 et

_Prop.

_6,

_p.

_111-112])

est A =

_Ll1Ll2Ll3.

Soient mi, 1 i

2,

des

éléments de K tels _que

_Ki

= Posons _m3 = _MlM2, il est clair _que

K3

=

K(.%/m-,) .

· Les familles

(1,~/~1), (l,~/m2),(l,B/m~),(l,~/~i,~/m~,

y’m,3)

sont des bases

_respectives

des

_K-espaces

vectoriels

_{Ki et}

_M,

dont les discriminants

_{respectifs di}

et d sont :

_4mi

et

_(16m3)2.

On en déduit _que

On a alors le lemme car

d’après

Artin

(voir [A]), ClK(OM)

= _et

0 Preuve de la

_proposition

2.1. Par la transitivité de la classe de Steinitz dans

une tour de _corps de nombres

_{(voir [F,}

Theorem

_4.1~)

on a :

Soient 0 i

_2,

les trois sous-corps

quadratiques

de

N/E.

.

Le lemme 2.2 nous affirme _{que :}

Ecrivons L =

E(vfm-).

Comme =

E( 0),

et

A(ai(L)IE),

on a

(par

Artin

[A] )

Ce

_qui

termine la preuve de la

proposition.

D

3. Preuve des résultats

_principaux

Pour la démonstration du théorème

_1.1,

nous avons besoin du lemme

suivant

_qui

est un critère de

plongement

d’une extension

cubique cyclique

dans une extension à _groupe de Galois

A4 .

Ce lemme est bien _connu, il

est cité dans

_([K]

_p. 21 de la

_thèse)

mais sans démonstration

_complète

_(on

Lemme 3.1. Soient k un _corps de

nombres,

K/k

une extension

cyclique

de

degré 3,

L =

K ( .J£ï) 1 K

une extension

quadratiques

de K. Alors les deux assertions suivantes sont

_{équivalentes :}

(1)

La clôture

_galoisienne

de

_L/k

est une extension

N/k

à _groupe de Galois

isomorphe

à

_A4.

(2)

_NK/k(a)

est un carré dans

_k,

où

_NKIK

est la norme dans

Klk.

De

_plus

si

₍₂₎

est

_vérifiée,

on

_peut

choisir N =

Q(a)).

Preuve.

L’implication

(1)

~

₍₂₎

résulte immédiatement de la théorie de Kummer. Montrons maintenant _que

₍₂₎

~

_(1).

Notons _par Q un

_générateur

de

_Gal(K/k).

_Puisque

a n’est _pas un carré dans

K,

il en est de même pour

Soient N l’extension

_{biquadratique}

Q(a))/K,

ai et ~2 les

générateurs

de

_Gal(N/K)

définis _par et

_{Q2( Q(a)) _}

2013~/y(a).

Notons i5: un

prolongement

de 0’ à N. On a =

a, d’où

=

a(a) =

o, (a) ;

par suite = De

( Q(a))2

=

Q(a)

on déduit _que

(Q( ~(a)))2

=

0’2(a).

Soit _{x E} k tel _que

NK/k(a)

=

x2,

alors

Q2(a) =

i.e.

_0’2(a)

admet une racine carrée dans

N,

d’où

Donc

_a(N)

c

N,

par suite

N/k

est

galoisienne

de

degré

12.

On vérifie facilement que

(7,

Ql,

Q2),

où,

par

exemple, à

est défini _par = et =

y’0’2(a),

et _que

A4.

0

Preuve de

_(i)

du Théorème 1.1 Nous _{commençons par} montrer

_(pour

k

quelconque) l’éga.lité

Pour cela il suffit de montrer _que

_Clk(OE)

E

_NElk(CI(E».

Soit

_0(E/k)

(resp.

D(E/k))

le discriminant

_(resp.

la

_différente)

de

_E/k.

Comme

_E/k

est normale de

_degré

_impair,

il découle d’un théorème d’Artin

_(voir

_[A])

que

La différente de

_E/k

étant un carré

(on

le voit facilement _par la formule de

Hilbert,

voir

_[Se,

_Chap.

_IV,

_Prop.

_4,

_p.

_72]),

on en déduit _que

(Notons

que

puisque

la classe de la différente d’une extension est

toujours

un carré

(voir

[H,

Theorem

176]),

si le nombre de classes de k est

_impair

on en déduit

_{l’égalité}

_précédente

sans utiliser une

expression explicite

de la

différente).

est donc une

conséquence

de

(3.1)

et la

_proposition

2.1. Montrons

main-tenant

_qu’on

a :

On _{suppose que} le nombre des classes de k est

_impair.

Soit c E

_{NE~k (Cl (E) ) .}

NE/k(Cl(E»

étant un _{sous-groupe de}

Gl (k),

son ordre est

_impair.

Par suite il existe d E telle _que c =

c’2.

Soit C _E

Cl(E)

telle _que

c

Notons

_Cl(E,40E)

le _groupe des classes de _rayon modulo

_40E.

_D’après

la

_{surjection canonique}

de

_{Cl(E, 40E)}

sur

Cl (E)

et le théorème de densité de Tchebotarev

_{(voir [N,}

_Chap.V,

Theorem

_6.4,

_{p.132~ ) :}

il existe m E

_EX,

un idéal fractionnaire I de

OE

et un idéal

_{premier 13}

de

OE

satisfaisant

li fl Ok

totalement

_décomposé

dans

_E/k

tels _{que :}

où mod *

est la notation usuelle de la théorie du corps de classes

(voir

[N]). On a :

-Il est clair que n’est pas un carré dans E 1

mod

_2).

On considère l’extension

_quadratique

L = On _a

D’après

le lemme

_3.1,

_E/k

est

_plongeable

dans l’extension

qui

a un _groupe de Galois

_isomorphe

à

A4.

De m - 1 mod *

40E

on

déduit

_{O’(m) ==}

1 mod *

40E,

par suite

ma(m) z

1 mod *

40E.

Par

la théorie de Kummer

_{(voir [H,}

Section

_{39]) A(L/E) =}

D’après

Artin,

ClE(OL)

= d’où

La

_proposition

2.1 nous donne :

Par suite

On conclut

_qu’on

a

(3.3).

On a donc la

_{première partie}

de

(i)

du théorème 1.1

_grâce

à

_(3.1),

_(3.2)

et

_(3.3).

_____

Il est clair _que

_{E( mQ(rrc))/E}

et sont modérées . Il s’ensuit _que

_N/E

est modérée. Si

_Elk

est modérée alors

_N/k

l’est aussi et

D’où =

~).

Ce

qui

termine la _preuve de

(i)

du

théo-rème 1.1. D

Preuve de

_(ii)

du théorème 1.1. Soient

C3

un _groupe

cyclique

d’ordre

3,

j

une racine

_primitive

de l’unité. Alors

R(k,

C3)

([L,

Theorem

4.7,

p.

97])

est le sous-groupe de

Cl(k)

engendré

par et les

classes des idéaux

_premiers

de

_0~

au dessus de 3. Sous

_{l’hypothèse}

_que le

nombre des classes de k est

_impair

on a =

Cl(k)

grâce

à

[W,

Theorem

_10.1,

_p.400],

en effet :

_{si j n’appartient}

_pas à

k,

est

de

_degré

_2,

donc elle est ramifiée au moins en une

place

de k. Par suite

Soit c E

_Cl(k),

il existe donc une extension

Elk

cyclique

de

degré

3 telle que c =

Clk(OE).

D’autre

_part,

d’après

(i)

du théorème

1.1,

Clk(OE)

_E

donc

_appartient

à

_{R(k, A4),}

d’où

_{R(k, A4)}

=

Gl(k).

L’égalité

R(k,

A4)

=

provient

du fait

qu’on

_a

([L,

Theorem

2.6,

_p.

90]) :

Rm(k, C3)

=

Nk(j)/k(Cl(k(j»,

donc

_égal

à

_Cl(k).

0

Preuve du corollaire 1.2.

₍₁₎

Si 3 ne divise _pas le nombre des classes de k

alors

_{(NE/k(Cl(E»3}

= D’autre

_part

Elk

_est nécessairement

ramifiée au moins en une

_place

de

_{k ;}

comme E est la seule sous-extension abélienne non triviale de

Elk,

-~

_Cl(k)

est

_surjective

_(voir

[W,

Theorem

_10.1,

_p.

_400]),

et donc

_NE/k(Cl(E»

=

Cl (k).

(2)

Par définition de la classe de

_Steinitz,

on a

OE

est un

Ok-module

libre si et seulement si

_Clk(OE)

= 1. Si

Elk

est

ramifiée,

comme ci-dessus on a

NE/k(Cl(E»

=

Cl (k).

Donc _{on a}

(2).

0

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Marjory GODIN, Bouchaàb SODAÏGUI

Département de _{Mathématiques} Le Mont _Houy

59313 Valenciennes cedex _9, France

E-mail: "’ " marj ory. godinomiv-valenciennes. fr