Sur la résolubilité des opérateurs différentiels linéaires

Texte intégral

(1)République Algérienne Démocratique et Populaire Ministère de l’Enseignement Supérieur et de la Recherche Scientifique Université 8 Mai 1945 Guelma Faculté de Mathématiques, d'Informatique et des Sciences de la Matière. Département de Mathématiques. Mémoire Présenté en vue de l’Obtention du Diplôme de. Master Académique en Mathématiques Option : Equations aux Dérivées Partielles. Par :. Rayen BOUDABOUZE Intitulé. Sur la Résolubilité des Opérateurs Différentiels Linéaires Dirigé par : Dr. Benarioua. Devant le jury : PRESIDENT : RAPPORTEUR : EXAMINATEUR :. Dr. N. BOUSSETILA Dr. K .BENARIOUA Dr. A. HITTA. Session Juin 2020. Pr MCB Pr. Univ-Guelma Univ-Guelma Univ-Guelma.

(2) Remerciements. Au terme de ce travail, je tiens à exprimer ma profonde gratitude envers mon encadreur monsieur Benarioua Khadir. Je tiens à le remercier pour son dévouement, son aide, sa patience ainsi que sa disponibilité et sa sympathie, merci infiniment.. Mes remerciements les plus respectueux vont au professeur Boussetila Nadjib d’avoir accepté d’être président de jury et professeur Hitta Amara qui m’a fait l’honneur d’être examinateur de ce mémoire.. Enfin, je remercie mon papa, et ma maman pour l’énergie positive qu’elle m’a donnée tout au long de mon cursus, mes frères et sœurs , ma famille et toutes mes amies qui ont toujours été là pour moi..

(3) Sur la résolubilité des opérateurs différentiels linéaires∗ Rayen BOUDABOUZE Mémoire de Master en Mathématiques. Université 08 mai 1945, Guelma. Septembre 2020.. Résumé. On sait, d’après le théorème de Malgrange-Ehrenpreis, que tout opérateur différentiel linéaire non nul sur Rn et à cœfficients constants P admet une solution élémentaire E ∈ S ′ (Rn ), c’est-à-dire que pour un tel opérateur, il existe une distribution tempérée E telle que P E = δ, et cela implique que, pour toute distribution à support compact f , la distribution u = E ∗ f est solution de l’équation P u = f , et on connait depuis longtemps des solutions élémentaires pour les opérateurs les plus classiques (Laplacien, Chaleur, Schrödinger et Ondes). On sait également, d’après le théorème de Cauchy-Kovalevski, que si f est une fonction analytique au voisinage d’un point x0 , et si P est un opérateur différentiel linéaire à cœfficients analytiques au voisinage de ce point, alors le problème de Cauchy à données analytiques associé à l’équation P u = f admet une et une seule solution, et on connait aussi des opérateurs différentiels linéaires P et des fonctions f tels que l’équation P u = f n’ait aucune solution. Dans ce mémoire, je détaille au maximum : • les calculs des solutions élémentaires des opérateurs classiques sus cités, • la démonstration due à Lars Hörmander [] du théorème de Malgrange-Ehrenpreis, et qui est basée sur la transformée de Fourier, • la démonstration due à Sofia Kovalevskaya du théorème de Cauchy-Kovalevski, et qui utilise les séries majorantes de Louis Cauchy. Je termine enfin par l’exemple de Hans Lewy, d’un opérateur différentiel linéaire P et d’une fonction f tels que l’équation P u = f n’ait aucune solution au voisinage de zéro..

(4) jÊÓ.

(5)

(6) ú Î A ® K QKñ Ó

(7) ø B à @ , @Q K QK @ - l. ' @Q ÂËAÓ é K Q ¢ È Cg áÓ , @ YJ k. ÕÎªK :

(8) n

(9)

(10)

(11) éK @ ø @ , È YJ ª Ó

(12) ©K P ñ K ú¯ É J Ò J Ó

(13) úæ A @ É g ¼A Jë , R úÎ« P é JK . AJË @ H CÓAªÜÏ @ ð X ù ¢k. .

(14)

(15). . . .

(16)

(17). . . . .

(18) , f ©K P ñJË @ àA¿ AÒêÓ , à AK . Ð Q ÊJ ø Y Ë @ Z ú æË @ , P E = δ à @ I J k E ÈY JªÓ ©K P ñK Yg . ñK

(19) ∗. Document saisi à l’aide du logiciel de traitement de texte TEX, aux formats LATEX 2ǫ et ArabTEX.. Mathématiques. Septembre 2020. Université de Guelma..

(20) Mémoire de Master. Rayen BOUDABOUZE. 2. è Y Ó

(21) Y

(22) J Ó

(23) ¬

(24) Q ª K ð , P u = f é Ë XA ª Ò

(25) ÊË É g u = E ∗ f ©K P ñ JË @ àA ¯ , @ Q Ü

(26) Ï@ ÉÓ A mÌ '@ ð X

(27) . . .

(28)

(29) Ï . .

(30). . Ì .h. @ñÓ B @ð PAÆKX ð Qå , èP@Qm '@ , CK B QKñÓ AîDÓ , é J º J C¾Ë @ H @QKñÜ @ ªJ.Ë éJ A @

(31)

(32)

(33)

(34)

(35)

(36)

(37) , A @ ÕÎªK ð X AJ ¢k AJ Ê A®K @QKñÓ P àA¿ @ X@ éK @ , ú ¾ ®Ê¯ñ»- ú æ ñ» é K Q ¢ È Cg áÓ

(38)

(39) ¼AJ ê

(40) ¯ , x0 é ¢ ® JË @ ½ÊK P @ñm .' . éJ Ê J Ê m' éË@ X f I KA ¿ð , x0 é ¢ ® K P @ñm .' . é J Ê J Ê j JË @ H CÓA ª Ü

(41) Ï @

(42)

(43)

(44) '

(45)

(46)

(47) . , x0 YJ« é J Ê J Ê m AîE AJ ¢ªÓ É¿ ú æ Ë @ ð P u = f é Ë XAªÜÏ AK . é ¢J . KQÜÏ @ ú æ ñ» é Ë AÜ Ï @ YJ k ð Cg

(48)

(49)

(50)

(51)

(52)

(53) ÉJ . ® K B P u = f éË XA ª Ü

(54) Ï @ à @ I J k P éJ ¢ k éJ Ê A ® K H@ QKñÓð f È@ð X Y

(55) g . ñK , É K . A® Ü

(56) Ï AK . ð

(57)

(58) . ' . x0 é¢®JË @ I KA¿ AÒêÓ , x0 P @ñm . . Ég ø @

(59)

(60)

(61) : É J ®JË AK . YJ « A , è Q»YÜÏ @ è Y ë ú¯ ð. .

(62) .

(63)

(64)

(65) Ì .

(66) , èC« @ è Pñ . »YÜÏ @ é J º J C¾Ë @ H @QKñÒÊË éJ A B @ ÈñÊm '@ H. Ak • ¯

(67) ÉK ñm' úÎ « úæ J. Ó ñ ë

(68) ø Y Ë@ð , @Q K QK @ - l. ' @Q Â ËAÓ é K Q¢ JË P@ Y KA Ó Q ë

(69) PB àA ë Q K

(70) . • , ú G Pñ.

(71) . .

(72)

(73). »

(74) AJ ¯ ñ

(75) àA ë Q K

(76) • » - úæ ñ» éK Q¢ JË AK A¾ ® Ê ¯ñ H C Ê Ü

(77) Ï @ é J ¯ ÉÒ ª J ø Y Ë @ð , ú ¾ ® Ê¯ñ ..

(78) . è XA mÌ '@ , ú æ ñ» ñ Ë @ Ë úÎ« B @ áÓ . . .

(79). .

(80). . .

(81). . ø @ ÉJ ® K B P u = f éË XA ª Ü

(82) Ï @ à @ I Jk f éË@ X ð P ù ¢ k QKñ Ü

(83) Ï ù® Ë A ë È AJÖß.

(84) Õæk A ð. . .. . .Q ® Ë @ P @ñm .' . Cg Mots clés.

(85) BñÊg

(86). Opérateurs de Laplace, des ondes, de la Chaleur et de Schrödinger. Opérateurs différentiels linéaires à coéfficients constants et à coéfficients analytiques. Solution élémentaire et résolubilité, théorème de Malgrange-Ehrenpreis. Séries majorantes et théorème de Cauchy-Kovalevski. Opérateurs sans solution : Levy, Mizohata, Grushin.. Table des matières 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 2 3. Rappels, Notations et Conventions . . . . . . . Multi-indices et dérivations . . . . . . . . . . . . Fonctions test et distributions . . . . . . . . . . Changement de variable dans une distribution Produit de convolution et produit tensoriel . . Transformée de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . Coordonnées polaires . . . . . . . . . . . . . . . . Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Opérateurs linéaires à cœfficients constants . .. Mathématiques. Septembre 2020. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . 3 . 3 . 4 . 6 . 7 . 8 . 9 . 9 . 10. Université de Guelma..

(87) Mémoire de Master 3.1 3.2. 3.3 3.4 4 4.1 4.2 4.3. 5 6. Rayen BOUDABOUZE. 3. Equation de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 3.1.1 Préliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 3.1.2 Solution élémentaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 Équation des Ondes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3.2.1 Cordes Vibrantes (Ondes en dimention 1 + 1 ) . . . . . . . . . . . . . 19 3.2.2 Problème de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3.2.3 Solution élémentaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Équation de La Chaleur et Équation de Schrödinger . . . . . . . . . . . . . . 23 3.3.1 Equation de la chaleur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 3.3.2 Équation de Schrödinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Théorème de Malgrange-Ehrenpreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3.4.1 Solution du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 Opérateurs linéaires à cœfficients analytiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 Position du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 Théorème de Cauchy-Kovalevski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 Démonstration du Théorème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 4.3.1 Réduction du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 4.3.2 Solution formelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 4.3.3 Séries majorantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 4.3.4 Suite et fin de la démonstration du théorème . . . . . . . . . . . . . . 43 Opérateur sans solution - Conditions suffisantes à l’existence et l’inexistence 46 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47. 1 Rappels, Notations et Conventions Les notations sont celles des équations aux dérivées partielles, et nous ne rappelons que celles de multi-indice et de dérivation, de différents espaces fonctionnels et espaces de distributions, du produit de convolution et de la transformée de Fourier.. 1.1. Multi-indices et dérivations. Pour n ∈ N∗ , x = (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn , et α = (α1 , . . . , αn ) ∈ Nn , on pose : |α| = α1 + . . . + αn. (1). kxk = (x12 + . . . + xn2 )1/2. (2). α! = α1 ! . . . αn !. (3). α. α. x α = x1 1 . . . x n n ∂j =. Mathématiques. ∂ (pour j = 1, 2, . . . , n) ∂ xj Septembre 2020. (4) (5). Université de Guelma..

(88) Mémoire de Master. Rayen BOUDABOUZE. 4 ∂ = (∂1 , . . . , ∂n ). (6). α. (7). α. ∂ α = ∂1 1 . . . ∂ n n 1 D j = ∂ j (pour j = 1, 2, . . . , n, et i 2 = −1) i 1 D= ∂ i α α D α = D1 1 . . . Dn n. 1.2. (8) (9) (10). Fonctions test et distributions. Soit Ω un ouvert non vide de Rn , K une partie compacte de Ω, k un entier naturel, et rappelons que : • C0 (Rn ) est l’espace des fonctions réelles ou complexes, continues sur Rn et tendant. vers zéro à l’infini (i.e quand |x| → ∞).. • C k (Ω) est l’espace des fonctions réelles ou complexes, k-fois continûment diffé-. rentiables sur Ω. C’est un espace de Fréchet 1 pour la topologie définie par la famille de semi-normes (NK,k )K où K décrit les compacts de Ω et, NK,k ( f ) = sup |∂ α f (x)|.. ∀ f ∈ C k (Ω),. (11). x∈K |α|≤k. • C bk (Ω) est l’espace des fonctions réelles ou complexes, k-fois continûment différen-. tiables sur Ω, bornées ainsi que toutes leurs dérivées jusqu’à l’ordre k. C’est un espace de Banach pour la norme : k f kC k ≡ sup |∂ α f (x)|. b. (12). x∈Ω |α|≤k. • CKk (Ω) est l’espace des fonctions réelles ou complexes, k-fois continûment différen-. tiables sur Ω, à supports 2 dans K. C’est un espace de Banach pour la norme NK,k . • C ∞ (Ω) parfois noté E (Ω) est l’espace des fonctions indéfiniment différentiables sur Ω C ∞ (Ω) = ∩∞ C k (Ω) . C’est un espace de Fréchet pour la topologie définie par k=0. la famille de semi-normes (NK,k ) k∈N . K⋐Ω. 1. Un espace de Fréchet est un espace localement convexe (i.e dont la topologie est définie par une famille de semi-normes ( pα )α∈I qui sépare les points, c-à-d. telle que si pα (x) = 0 pour tout α ∈ I , alors x = 0), métrisable (i.e de topologie définie par une famille dénombrable de semi-normes) et complet. 2. Le support Supp f d’une fonction f est le plus petit ensemble fermé en dehors duquel f est nulle.. Mathématiques. Septembre 2020. Université de Guelma..

(89) Mémoire de Master. Rayen BOUDABOUZE. 5. • C0∞ (Ω) également noté D(Ω) est l’espace des fonctions réelles ou complexes, indéfiniment différentiables sur Ω, à support compact. Une application sur C0∞ (Ω) est conti-. nue si, et seulement si, sa restriction à CK∞ (Ω) est continue pour tout compact K ⋐ Ω. • C −∞ (Ω) ou D ′ (Ω) est le dual topologique de C0∞ (Ω) ; c’est l’espace des distributions sur Ω. Sur C −∞ (Ω), on dispose de plusieurs topologies : la topologie faible, qui est la topologie de la convergence simple sur C0∞ (Ω), et la topologie forte, qui est celle de la convergence uniforme sur les parties bornées de C0∞ (Ω) une partie B de C0∞ (Ω). est bornée s’il existe un compact K ⋐ Ω tel que B ⊂ CK∞ (Ω) et, pour tout entier k ≥ 0, NK,k (B) = supϕ∈B NK,k (ϕ) < ∞ . La topologie faible (resp. forte) est définie par la famille de semi-normes ( pF )F telle que :. ∀T ∈ C −∞ (Ω),. pF (T ) = sup |⟨T , ϕ⟩|. (13). ϕ∈F. où F parcourt l’ensemble des parties finies (resp. bornées) de C0∞ (Ω). La topologie forte est, comme son nom l’indique, (vraiment) plus fine que la topologie faible : Une famille qui converge faiblement ne converge pas toujours fortement. Cependant on a le résultat :. Si (Tn )n est une suite de distributions qui converge simplement vers. (14) une limite T , alors T est une distribution, et T tend fortement vers T . n • C ]a, b [, D ′ (Rd ) noté également C a, b ; D ′ (Rn ) est l’espace des distributions. sur Rn ×]a, b [, continues en la variable de ]a, b [ : A toute U continue de ]a, b [ dans D ′ (Rn ), on associe injectivement la distribution u ∈ D ′ (Rn ×]a, b [) en posant : Zb ⟨u, ϕ⟩ = ⟨U (t ), ϕ(., t )⟩d t où ϕ ∈ D(Rn ×]a, b [). (15) a. Pour tout t0 ∈]a, b [, la « trace sectionnelle » de u sur Rn × {t0 } est définie par u(., t = t0 ) = U (t0 ).. • E ′ (Ω) est le dual topologique de C ∞ (Ω) ; c’est l’espace des distributions à supports compacts sur Ω. • S (Rn ) est l’espace des fonctions indéfiniment différentiables sur Rn à décroissance rapide ainsi que leurs dérivées de tout ordre. f ∈ S (Rn ) si, et seulement si : f ∈ C ∞ (Rn ) et, ∀N ∈ N, ∀β ∈ Nn , (1 + |x|)N ∂ β f est bornée sur Rn ,. (16). ce qui équivaut à f ∈ C ∞ (Rn ) et, ∀α ∈ Nn , ∀β ∈ Nn , x α ∂ β f est bornée sur Rn . Mathématiques. Septembre 2020. (17). Université de Guelma..

(90) Mémoire de Master. 6. Rayen BOUDABOUZE. La topologie naturelle de S (Rn ), et qui en fait un espace de fréchet, est celle définie par l’une des familles équivalentes de semi-normes : pN ( f ) = sup (1 + |x|)N |∂ β f (x)|,. (18). pN ,β ( f ) = sup |x α ∂ β f (x)|,. (19). pα,N ( f ) = sup |x α ∂ β f (x)|,. (20). pN ,k ( f ) = sup |x α ∂ β f (x)|.. (21). S (Rn ) ⊂ C0 (Rn ). (22). |β|≤N x∈Rn. |α|≤N x∈Rn. |β|≤N x∈Rn. |α|≤N ,|β|≤k x∈Rn. Enfin, de (15) on déduit que et de (16) et de la formule de Leibniz, il découle que :. La dérivation et la multiplication par un monôme sont. des applications continues de S (Rn ) dans S (Rn ).. (23). • S ′ (Rn ) est le dual topologique de S (Rn ) : C’est l’espace des distributions tempé-. rées. Il est muni, soit de la topologie duale faible, soit de la topologie duale forte. • OM (Rn ) est l’espace des fonctions α ∈ C ∞ (Rn ) telles que l’application T 7→ αT. soit continue de S ′ (Rn ) dans S ′ (Rn ). OM (Rn ) est appelé l’espace des multiplicateurs de S ′ (Rn ). Si α ∈ OM (Rn ), alors pour tout β ∈ Nn , D β α est une fonction à croissance lente, c’est-à-dire une fonction qui ne croît pas plus vite qu’un polynôme lorsque |x| → ∞.. 1.3. Changement de variable dans une distribution. Soit Ω1 et Ω2 deux ouverts de Rn , et χ : Ω1 → Ω2 un difféomorphisme de classe C ∞ .. Par définition, L’image inverse d’une distribution T sur Ω2 par le difféomorphisme χ est la distribution T ◦ χ sur Ω1 définie par : ∀ϕ ∈ D(Ω1 ), ⟨T ◦ χ , ϕ⟩ = ⟨T , χ∗(ϕ)⟩. (24). où χ∗ (ϕ) est l’image directe de ϕ par χ , donnée par la formule : −1

(91)

(92) −1

(93)

(94) ∀y ∈ Ω2 , [χ∗ (ϕ)](y) = ϕ χ (y) ·

(95) dét Jχ χ (y)

(96). (25). où, pour tout x ∈ Ω1 , Jχ (x) est la matrice jacobienne de χ au point x.. Mathématiques. Septembre 2020. Université de Guelma..

(97) Mémoire de Master. 1.4. Rayen BOUDABOUZE. 7. Produit de convolution et produit tensoriel. Si f et g sont deux fonctions intégrables sur Rn , leur produit de convolution est la fonction sur Rn , notée f ∗ g , et définie par : Z Z ( f ∗ g )(x) = f (y)g (x − y)dy = f (x − y)g (y)dy = (g ∗ f )(x) , (26) Rn. Rn. et leur produit externe (ou produit tensoriel) est la fonction f ⊗ g sur Rn × Rn , définie par : ( f ⊗ g )(x, y) = f (x)g (y). (27) Si h, ϕ et ψ sont des fonctions continues (ou mesurables) bornées sur Rn , on a d’après le théorème de Fubini : ⟨ f ∗ g , h⟩ = ⟨ f ⊗ g , ϕ ⊗ ψ⟩ =. ZZ. Rn ×Rn. Z. h(x + y) f (x)g (y)dxdy,. (28). Rn ×Rn. ( f ⊗ g )(x, y)(ϕ ⊗ ψ)(x, y)dxdy = ⟨ f , ϕ⟩⟨ g , ψ⟩.. (29). La dernière formule caractérise le produit externe et permet de le définir pour deux distributions : On démontre en effet que si T et S sont deux distributions sur Rn , il existe une unique distribution sur Rn × Rn notée T ⊗ S et appelée produit externe (ou produit tensoriel) de T et S, telle que : ∀ϕ, ψ ∈ C0∞ (Rn ),. ⟨T ⊗ S, ϕ ⊗ ψ⟩ = ⟨T , ϕ⟩⟨S, ψ⟩.. (30). On définit alors le produit de convolution de deux distributions à support compact S et T , comme étant la distribution à support compact notée T ∗ S, telle que : ∀ϕ ∈ C ∞ (Rn ), ⟨T ∗ S, ϕ⟩ = ⟨T ⊗ S, ϕ(x + y)⟩.. (31). Les principales propriétés de la convolution sont : u∗v =v∗u. (32). δ ∗v = v ∗δ = v. (33). ∂ α (u ∗ v) = (∂ α u) ∗ v = u ∗ (∂ α v). (34). Supp (u ∗ v) ⊂ Supp u + Supp v. (35). ˇ ) = v(x − t ), alors : et si u ∈ C −∞ , v ∈ C ∞ , u ou v est à support compact, et τ x v(t ˇ u ∗ v ∈ C ∞ et (u ∗ v)(x) = ⟨u, τ x v⟩. Mathématiques. Septembre 2020. (36) Université de Guelma..

(98) Mémoire de Master. 1.5. Rayen BOUDABOUZE. 8. Transformée de Fourier. La transformée de Fourier fb (notée aussi F f ) d’une fonction f intégrable sur Rn est définie par la formule : Z 1 b f (ξ ) = e −i xξ f (x)d x. (37) n 2 (2π) Rn. On démontre aisément que. F est linéaire, que. (38). fb ∈ C0 (Rn ) (lemme de Riemann-Lebesgue),. ∀ f ∈ L1 (Rn ),. et que quelles que soient f et g dans S (Rn ), Z Z b f (ξ )g (ξ )d ξ = f (x)b g (x)d x (théorème du transfert), Rn. Z. Rn. (39). (40). Rn. fb(ξ )b g (ξ )d ξ =. Z. f (x)g (x)d x (th. de Plancherel-Parseval).. (41). Rn. On démontre également que. et que. F est continue de L1 −→ L∞ ,. (42). F induit un isomorphisme de S −→ S. (43). qui se prolonge en un isomorphisme de S ′ −→ S. ′. et en une isométrie de L2 −→ L2 .. (44) (45). Par définition, la transformée de Fourier d’une distribution tempérée u ∈ S ′ (Rn ) est la distribution tempérée ub telle que ∀ϕ ∈ S (Rn ),. b ⟨b u , ϕ⟩ = ⟨u, ϕ⟩.. (46). L’isomorphisme inverse F −1 est la cotransformée de Fourier notée aussi F : Z 1 −1 [F f ](x) = [F f ](x) = e i xξ f (ξ )d ξ . n (2π) 2 Rn. (47). Enfin, la transformation de Fourier jouit des propriétés (dites d’échange) suivantes : ∀ f , g ∈ L1 (Rn ),. n. F ( f ∗ g ) = (2π) 2 (F f )(F g ),. ∀ f ∈ S (Rn ), ∀ g ∈ L1 (Rn ), Mathématiques. n. F ( f g ) = (2π)− 2 [(F f ) ∗ (F g )],. Septembre 2020. (48) (49). Université de Guelma..

(99) Mémoire de Master. n. ∀ f ∈ S (Rn ), ∀ g ∈ L1 (Rn ),. F −1 ( f g ) = (2π)− 2 [(F −1 f ) ∗ (F −1 g )], F (D α u) = ξ α F u,. ∀u ∈ S (Rn ), ∀u ∈ S (Rn ),. Rayen BOUDABOUZE. 9. (51). F [P (D)u] = P (ξ )F u et F −1 [P (−D)u] = P (x)F −1 u, n. n. F (δ) = (2π)− 2 et F (1) = (2π) 2 δ.. 1.6. (50). (52) (53). Coordonnées polaires. Tout x ∈ Rn \ {0} s’écrit de façon unique sous la forme x = r y où r (= kxk) est un réel > 0, et y (= x/kxk) est un élément de la sphère unité S n−1 de Rn . La formule x = ry. (avec r > 0 et y ∈ S n−1 ). (54). s’appelle représentation de x en coordonnées polaires, et la mesure de Lebesgue dans ces coordonnées est : (55). d x = r n−1 d r d σ1,0 (y) où d σ1,0 est la mesure sur S n−1 (cf. Folland [3], Théorème (2.49)).. Si f : Rn → R est une fonction continue, intégrable sur Rn , et si B r (x0 ) (resp. ∂ B r (x0 )) est la boule (resp. sphère) de Rn de centre x0 et de rayon r , alors Z Z ∞ Z f (x)d x =. Rn. 0. ∂ B r (x0 ). f (y)d σ r,x0 (y) d r. pour tout x0 ∈ Rn , et en particulier, pour tout r > 0, Z Z d f (x)d x = f (y)d σ r,x0 (y) dr B r (x0 ) ∂ B r (x0 ). (56). (57). 2 Introduction Dans ce mémoire, j’étudie la résolubilité locale d’équations aux dérivées partielles (EDP) : (58). Pu = f où : P = P (x, D) =. X. aα (x)D α. (59). |α|≤m. est un opérateur différentiel linéaire sur un ouvert non vide Ω de Rn . Une formulation bien précise du problème est la suivante : Mathématiques. Septembre 2020. Université de Guelma..

(100) Mémoire de Master. Rayen BOUDABOUZE. 10. Etant donné un point quelconque x0 dans Ω, existe-t-il un voisinage ′ ouvert V de x0 dans Ω tel que, pour toute distribution f ∈ D (V ), on puisse trouver une distribution u ∈ D ′ (V ) qui vérifie P u = f sur V ? Si c’est le cas, l’opérateur (59) et l’équation (58) sont dits localement résolubles sur Ω. C’est précisément le cas si P est à cœfficients constants, d’après le théorème de MalgrangeEhrenpreis qui garantit l’existence d’une solution élémentaire E pour P , c’est-à-dire d’une distribution E telle P E = δ, et assure donc l’existence d’une solution pour l’équation P u = f , car il suffit alors de prendre u = E ∗ f , et c’est aussi le cas si f et les cœfficients de P sont analytiques, d’après le théorème de Cauchy-Kovalevski. On connaît depuis longtemps les solutions élémentaires des opérateurs les plus classiques : Opérateur P. Une solution élémentaire E. ∂n. 1(x1 ,...,xn−1 ) ⊗ Y (xn ). ∂ 1 ∂ ∂ = +i (Cauchy-Riemann) ∂z 2 ∂x ∂y. ∆ = ∂12 + . . . + ∂n2 (Laplacien). ∂ t − ∆ (La chaleur) Dt + ∆ (Schrödinger). ∂ t2t − ∆ (Ondes). 1 π(x + i y)  kxk   si n = 1    2   ln kxk si n = 2  2π    kxk2−n   si n ≥ 3  (2 − n)|S n−1 | kxk2 exp − n 4t (4πt ) 2 Y (t ). kxk2 π exp − − i n n 4t 4 (4πt ) 2 Z ˆ , τ − iγ ) ϕ(ξ < E, ϕ >= dξ dτ kξ k2 − (τ − iγ )2 Pour ϕ ∈ D(Rn+1 ), γ constante > 0 Y (t ). 3 Opérateurs linéaires à cœfficients constants Selon Malgrange [6] et Ehrenpreis [2], tout opérateur différentiel linéaire non nul à cœfficients constants est localement résoluble sur Rn . Dans ce chapitre je refais en détail la Mathématiques. Septembre 2020. Université de Guelma..

(101) Mémoire de Master. 11. Rayen BOUDABOUZE. démonstration due à L.Hörmander [4] de ce résultat, ainsi que les calculs des solutions élémentaires des opérateurs de Laplace, des Ondes, de Schrödinger et de la Chaleur.. 3.1. Equation de Laplace. 3.1.1 Préliminaires Définition 3.1. On appelle rotation de Rn toute application r : Rn → Rn qui est orthogonale pour le produit scalaire canonique de Rn , en ce sens que :. ce qui équivaut à : et également à : §.

(102)

(103) ∀x, y ∈ Rn , r (x)

(104) r (y) = (x

(105) y),. (60). r est linéaire, et, ∀x ∈ Rn , r (x) = kxk,. (61). r est linéaire, et sa matrice A dans une (et donc dans toute) base , orthonormale de Rn est orthogonale au sens où AAt = At A = I .. (62). et telle que : son déterminant (c’est-à-dire celui de sa matrice A) est positif (donc égal à 1).. (63). Définition 3.2. Pour toute rotation r de Rn , on désigne par R l’opérateur de F (Rn , R) dans F (Rn , R), et de D ′ (Rn ) dans D ′ (Rn ), tel que, ∀ f ∈ F (Rn , R), R f = f ◦ r, et ∀T ∈ D ′ (Rn ), RT = T ◦ r, et : • On dit qu’un opérateur P : D ′ (Rn ) → D ′ (Rn ) est invariant par rotation si et seulement si : R−1 P R = P,. (64). • On dit qu’une fonction f (resp. une distribution T ) sur Rn est invariante par rotation, ou qu’elle est radiale, si et seulement si, pour toute rotation r de Rn , on a : f ◦ r = f (resp.. T ◦ r = T ).. Proposition 3.1. . 1. Le Laplacien de Rn est invariant par rotation. 2. La distribution de Dirac en 0 est invariante par rotation. Mathématiques. Septembre 2020. Université de Guelma..

(106) Mémoire de Master. 12. Rayen BOUDABOUZE. 3. Pour qu’une fonction ϕ : Rn → R soit radiale, il faut et il suffit qu’elle soit de la forme ϕ(x) = Φ(kxk) où Φ est une fonction de R+ dans R. 4. Pour que deux distributions invariantes par rotation soient égales, il faut et il suffit qu’elles coïncident sur les fonctions test qui sont radiales. Démonstration : 1. Soit r une rotation quelconque de Rn , et R l’opérateur de D(Rn ) (resp. D ′ (Rn )) dans D(Rn ) (resp. D ′ (Rn )) tel que, pour toute f dans D(Rn ) (resp. D ′ (Rn )), on. ait : R f = f ◦ r . Alors, pour toute ϕ ∈ D(Rn ), et tout ξ ∈ Rn , on a : Z 1 n n Ö ∀ϕ ∈ D(R ), ∀ξ ∈ R , R∆ϕ(ξ ) = e −i (x|ξ ) (R∆ϕ)(x)d x n/2 (2π) n ZR 1 −i (x|ξ ) = e (∆ϕ) ◦ r ](x)d x (2π)n/2 Rn Z 1 −i (x|ξ ) e (∆ϕ) r (x) dx = (2π)n/2 Rn Z 1 t = e −i (r (y)|ξ ) (∆ϕ)(y)|J r t (y)|d y n/2 (2π) r (Rn ) ZA 1 = e −i (y|r (ξ )) (∆ϕ)(y)d y n/2 (2π) Rn d r (ξ ) = (∆ϕ) = −kr (ξ )k2 ϕb r (ξ ) Z 1 2 = −kξ k e −i (y|r (ξ )) ϕ(y)d y n/2 (2π) n ZR 1 t = −kξ k2 e −i (r (y)|ξ ) (ϕ ◦ r ) r t (y) d y n/2 (2π) n ZR 1 = −kξ k2 e −i (x|ξ ) (ϕ ◦ r )(x)|J r (x)|d x n/2 (2π) n ZR 1 = −kξ k2 e −i (x|ξ ) (Rϕ)(x)d x (2π)n/2 Rn Ó ) = −kξ k2 Rϕ(ξ ce qui prouve que. c’est-à-dire que :. Mathématiques. Ö ) = ∆Rϕ(ξ. Ö )=Ö ∀ϕ ∈ D(Rn ), ∀ξ ∈ Rn , ∆Rϕ(ξ R∆ϕ(ξ ) Ö=Ö ∀ϕ ∈ D(Rn ), ∆Rϕ R∆ϕ Septembre 2020. Université de Guelma..

(107) Mémoire de Master. 13. Rayen BOUDABOUZE. et, de la transformée de Fourier inverse, on déduit que : ∀ϕ ∈ D(Rn ), (∆R)ϕ = (R∆)ϕ, autrement dit : ∆R = R∆ sur D(Rn ). Comme R et ∆ sont continus de D ′ (Rn ) dans D ′ (Rn ), et que D(Rn ) est dense dans D ′ (Rn ), on conclut que : ∆R = R∆ sur D ′ (Rn ). 2. Pour toute rotation r de Rn , on a : ∀ϕ ∈ D(Rn ), ⟨δ ◦ r, ϕ⟩ = ⟨δ, r∗ (ϕ)⟩ d’après (24) = [r∗ (ϕ)](0).

(108)

(109)

(110)

(111) = ϕ[r −1 (0)] ·

(112) dét J r r −1 (0)

(113) d’après (25)

(114)

(115) = ϕ(0) ·

(116) dét J r (0)

(117) = ϕ(0). = ⟨δ, ϕ⟩ et cela prouve donc que : Pour toute rotation r de Rn , on a δ ◦ r = δ, c’est-à-dire que : δ est invariante par les rotations de Rn . 3. Soit ϕ une fonction de Rn dans R, et Φ une fonction de R+ dans R. Alors : n n Pour toute n rotation r de R , et tout x ∈ R , ∀x ∈ R , ϕ(x) = Φ(kxk) ⇔ ϕ r (x) = Φ kr (x)k n n Pour toute rotation r de R , et tout x ∈ R , ⇔ ϕ r (x) = Φ(kxk) Pour toute rotation r de Rn , et tout x ∈ Rn , ⇒ ϕ r (x) = ϕ(x) ⇒ (ϕ est invariante par rotation). Réciproquement, Mathématiques. Septembre 2020. Université de Guelma..

(118) Mémoire de Master. Rayen BOUDABOUZE. 14. 4. Proposition 3.2. Soit f et Φ deux fonctions de classe C 2 respectivement sur Rn et sur R+ ,. et supposons que, quel que soit x dans Rn , f (x) = Φ(r ) , où r = kxk, alors : ∀x ∈ Rn , ∆ f (x) = Φ′′ (r ) +. n −1 ′ Φ (r ). r. Démonstration : Tout d’abord, pour toute fonction Ψ dérivable sur R+ , on a : ∂ ∂r Ψ(r ) = · Ψ ′ (r ) ∂ xj ∂ xj ∂ 2 = (x1 + . . . + xn2 )1/2 · Ψ ′ (r ) ∂ xj xj ′ = Ψ (r ), r et maintenant ∆ f (x) = = = =. =. =. n X ∂2 Φ(r ) 2 j =1 ∂ x j ¨ n X ∂ ∂ . «. ∂ xj ∂ n xj ′ o Φ (r ) ∂ x r j j =1 ¨ « n X xj ∂ ′ ∂ xj ′ Φ (r ) + Φ (r ) ∂ x r r ∂ x j j j =1   ∂r 2 n r − xj ∂ x x X j j  Φ′ (r ) + Φ′′ (r ) 2 2 r r j =1 2 n r − x 2j x 2j X ′ ′′ Φ (r ) + Φ (r ) r3 r2 j =1 j =1 n X. ∂ xj. Φ(r ). n ′ 1 Φ (r ) − Φ′ (r ) + Φ′′ (r ) r r n −1 ′ = Φ′′ (r ) + Φ (r ) r. =. 3.1.2 Solution élémentaire Comme ∆ et δ sont invariants par rotation, on cherche une solution élémentaire E pour ∆ qui soit invariante par rotation, c’est-à-dire de la forme E(x) = Φ(kxk) où Φ est une fonction (généralisée) sur R+ . Mathématiques. Septembre 2020. Université de Guelma..

(119) Mémoire de Master. Rayen BOUDABOUZE. 15. On se place donc en dehors de l’origine et, d’un côté, on a : ∆E(x) = Φ′′ (kxk) +. n−1 ′ Φ (kxk), kxk. d’un autre côté : ∀ϕ ∈ D(Rn \ 0), ⟨∆E, ϕ⟩ = ⟨δ, ϕ⟩ = ϕ(0) = 0, ce qui veut dire que : ∀x ∈ Rn \ 0, ∆E(x) = 0, donc : ∀x ∈ Rn \ 0, Φ′′ (kxk) +. (n − 1) ′ Φ (kxk) = 0. kxk. Sur R∗+ , la solution générale Φ de l’équation différentielle : Φ′′ (t ) + est telle que :. d’où :. ¨. c’est-à-dire :. R Φ(t ) = Ψ(t )d t Ψ(t ) = ae −. . R. (n − 1) ′ Φ (t ) = 0 t. Φ′ (t ) = Ψ(t ) (n−1) Ψ ′ (t ) + t Ψ(t ) = 0. (n−1) t dt. ,. a étant une constante arbitraire,. R Φ(t ) = Ψ(t )d t a Ψ(t ) = t n−1 , où a est une constante arbitraire,. et par suite :   at + b   Z  a Φ(t ) = d t = a ln t + b  a 1 t n−1   · +b  (2 − n) t n−2. si n = 1 si n = 2 , où a et b sont des cstes arbitraires. si n ≥ 3. Par conséquent, pour x 6= 0, E est de la forme :   akxk + b si n = 1    si n = 2 , où a, et b sont des constantes à déterminer. E(x) = a ln kxk + b  a 1   · + b si n ≥ 3  (2 − n) kxkn−2 Mathématiques. Septembre 2020. Université de Guelma..

(120) Mémoire de Master. Rayen BOUDABOUZE. 16. On se propose alors de chercher E telle que :   c1 kxk E(x) = c2 ln kxk  c kxk2−n 3. si n = 1 si n = 2 si n ≥ 3.. ✬. Proposition 3.3. la distribution sur Rn définie par la fonction localement intégrable :  kxk      2   ln kxk E(x) = 2π     c    kxkn−2. si n = 1, si n = 2, 1 2π n/2 si n ≥ 3 avec = (2 − n) n . c Γ(2). est solution élémentaire du Laplacien.. ✫. ✩. ✪. Démonstration. • Cas où n = 1 : ∀ϕ ∈ C0∞ (R), ⟨∆E, ϕ⟩ = ⟨E, ϕ ′′ ⟩ Z = E(x)ϕ ′′ (x) d x ZR |x| ′′ = ϕ (x) d x R 2 Z∞ = xϕ ′′ (x) d x 0 Z∞ = − ϕ ′ (x) d x 0. = ϕ(0). = ⟨δ, ϕ⟩. Donc : ∆E = δ, et la fonction E=. |x| 2. est bel et bien solution élémentaire de ∆. Mathématiques. Septembre 2020. Université de Guelma..

(121) Mémoire de Master. Rayen BOUDABOUZE. 17. • Cas où n = 2 : Pour tout ϕ ∈ D(R2 ) tel que ϕ(x) = Φ(kxk) où Φ ∈ D(R+ ), on a : ⟨∆E, ϕ⟩ = ⟨E, ∆ϕ⟩ Z = E(x)∆ϕ(x) d x R2 Z ln kxk = ∆[Φ(kxk)] d x R2 2π Z ln kxk ′′ 1 ′ = Φ (kxk) + Φ (kxk) d x kxk R2 2π Z 2π Z ∞ i ln r h ′′ 1 = Φ (r ) + Φ′ (r ) r d r d θ 2π r Z0∞ 0 h i 1 = r (ln r ) Φ′′ (r ) + Φ′ (r ) d r r Z0∞ Z∞ ′′ = r (ln r )Φ (r ) d r + (ln r )Φ′ (r ) d r 0 Z∞ Z∞ 0 Z∞ ′ ′ = − Φ (r ) d r − (ln r )Φ (r ) d r + (ln r )Φ′ (r ) d r 0. 0. 0. = Φ(0). = ϕ(0) = ⟨δ, ϕ⟩. et cela implique donc que ∀ϕ ∈ D(R2 ), ⟨∆E, ϕ⟩ = ⟨δ, ϕ⟩ c’est-à-dire que ∆E = δ, et que la fonction E telle que E(x) =. ln |x| 2π. est solution élémentaire de ∆. • Cas où n ≥ 3 : ∀ϕ ∈ D(Rn ) telle que ϕ(x) = Φ(kxk), on a : ⟨∆E, ϕ⟩ = ⟨E, ∆ϕ⟩ Z = E(x)∆ϕ(x) d x Rn Z c = ∆[Φ(kxk)] d x n−2 Rn kxk Z c n−1 ′ ′′ = Φ (kxk) + Φ (kxk) d x n−2 kxk Rn kxk Mathématiques. Septembre 2020. Université de Guelma..

(122) Mémoire de Master donc : ⟨∆E, ϕ⟩ = = = = = = = =. 18. Z. Z. n − 1 ′ i n−1 Φ (r ) r d rdσ r n−2 r S n−1 0 Z∞ c h ′′ n − 1 ′ i n−1 n−1 |S | · Φ (r ) + Φ (r ) r dr r n−2 r 0 Z∞ Z∞ n−1 ′′ n−1 c|S | · r Φ (r ) d r + c(n − 1) · |S | · Φ′ (r ) d r 0 Z∞ Z 0∞ −c|S n−1 | · Φ′ (r ) d r + c(n − 1) · |S n−1 | · Φ′ (r ) d r 0 0 Z∞ c(n − 2) · |S n−1 | · Φ′ (r ) d r 0 n Γ 2 · |S n−1 | · Φ(0) n/2 2π n Γ 2 · |S n−1 | · ϕ(0) 2π n/2 n Γ 2 · |S n−1 | · ⟨δ, ϕ⟩. n/2 2π ∞. c h. Rayen BOUDABOUZE. Φ′′ (r ) +. Mais, |S. n−1. | = =. R. 2 e −|x| d x Rn R∞ e −r 2 r n−1 d r 0 R −(x 2 +x 2 +...+x 2 ) n d x ...d x e 1 2 1 n Rn R 1 ∞ −t n−1 − 1 e t 2 t 2 dt 2 0. hR. i n2 −(t 2 +s 2 ) e d t d s R2 = 1 R ∞ −t n −1 e t 2 dt 2 0 hR R i n2 2π ∞ −ρ2 ρe d ρd θ 0 0 = 1 n Γ 2 2 et il en découle que :. 2π n/2 = n Γ 2. ∀ϕ ∈ D(Rn ) tel que ϕ(x) = Φ(kxk), où Φ ∈ D(R+ ), on a : ⟨∆E, ϕ⟩ = ⟨δ, ϕ⟩, ce qui implique que : ∀ϕ ∈ D(Rn ), ⟨∆E, ϕ⟩ = ⟨δ, ϕ⟩, Mathématiques. Septembre 2020. Université de Guelma..

(123) Mémoire de Master. Rayen BOUDABOUZE. 19. c’est-à-dire que : ∆E = δ et que E est une solution élémentaire de ∆.. 3.2. . Équation des Ondes. L’opérateur des ondes (D’alembertien) sur R × Rn est l’opérateur =. ∂2 − ∆x , ∂ t2. où la variable de R × Rn est notée (t , x) avec t ∈ R et x = (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn . 3.2.1 Cordes Vibrantes (Ondes en dimention 1 + 1 ) L’Équation des Cordes Vibrantes (dimention 1 + 1) est : 1 ∂2 ∂2 − f =g v2 ∂ t 2 ∂ x2 où v est la vitesse de propagation. En posant : X = x − vt,. Y = x + vt,. F (X , Y ) = f (t , x),. et. 1 G(X , Y ) = − g (t , x), 4. on obtient : ∂f ∂ (t , x) = [F (X , Y )] ∂x ∂x ∂Y ∂F ∂X ∂F · (X , Y ) + · (X , Y ) = ∂x ∂X ∂x ∂Y ∂F ∂F = (X , Y ) + (X , Y ), ∂X ∂Y donc : ∂ 2f ∂ 2F ∂ 2F ∂ 2F ∂ 2F (t , x) = (X , Y ) + (X , Y ) + (X , Y ) + (X , Y ). ∂ x2 ∂ X2 ∂ Y∂ X ∂ X∂ Y ∂ Y2 De même : ∂f ∂ (t , x) = [F (X , Y )] ∂t ∂t ∂X ∂F ∂Y ∂F = · (X , Y ) + · (X , Y ) ∂t ∂X ∂t ∂Y ∂F ∂F = −v (X , Y ) + v (X , Y ), ∂X ∂Y Mathématiques. Septembre 2020. Université de Guelma..

(124) Mémoire de Master. 20. Rayen BOUDABOUZE. et il en découle que : ∂ 2f ∂ 2F ∂ 2F ∂ 2F ∂ 2F (t , x) = v 2 (X , Y ) − v 2 (X , Y ) − v 2 (X , Y ) + v 2 (X , Y ). ∂ t2 ∂ X2 ∂ Y∂ X ∂ X∂ Y ∂ Y2 Si l’on suppose maintenant que f ∈ C 2 (R2 ), cette équation des cordes vibrantes devient : ∂ 2F (X , Y ) = G(X , Y ), ∂ X∂ Y donc : F = E ∗ G, où : E(X , Y ) = H (X ) ⊗ H (Y ), et où H (X ) et H (Y ) sont les fonctions d’Heaviside : § § 0 si X < 0 0 si Y < 0 H (X ) = et H (Y ) = 1 si X ≥ 0 1 si Y ≥ 0 puisque : ∂ 2 H (X ) ⊗ H (Y ) ∂ X∂ Y. ,ϕ. ·. = = = = = = =. . · ∂ 2ϕ H (X ) ⊗ H (Y ), ∂ X∂ Y ® ·¸ ∂ 2ϕ H (X ), H (Y ), ∂ X∂ Y ® ·¸ ∂ϕ ∂H H (X ), − (Y ), ∂Y ∂X ® ·¸ ∂ϕ H (X ), − δY , ∂X · ∂ϕ H (X ), − (X , 0) ∂X · ∂H (X ), ϕ(X , 0) ∂X · δX , ϕ(X , 0). = ϕ(0, 0). = ⟨δ, ϕ⟩.. Mathématiques. Septembre 2020. Université de Guelma..

(125) Mémoire de Master. Rayen BOUDABOUZE. 21. 3.2.2 Problème de Cauchy Si f est une distribution tempérée sur Rn+1 = R t × Rnx , on note F x f sa transformée de Fourier partielle par rapport à x, et si (par exemple) ϕ est une fonction test sur Rn+1 , alors :. 1 F x ϕ(t , ξ ) = (2π)n/2. Z. e −i xξ ϕ(t , x) d x.. Rn. Si f vérifie le problème de Cauchy pour l’équation des Ondes,  2 ∂ f   = ∆x f sur R t × Rnx   2  ∂t        f /t = 0 = f0 ,       ∂f    = f1 ,    ∂t t=0. /. où f0 et f1 sont des distributions tempérées sur Rnx , sa transformée de Fourier partielle par rapport à x vérifie le problème de Cauchy :  2 ∂ (F x f )    = −kξ k2 F x f sur R t × Rξn  2  ∂ t         F f =b f, x. /t = 0.        ∂ (F x f )      ∂t . 0. /t = 0. dont l’unique solution est :. =b f1 ,. sin kξ kt b F x f = (cos kξ kt ) b f0 + f. kξ k 1. 3.2.3 Solution élémentaire. Soit E+ la distribution tempérée dont la transformée de Fourier partielle par rapport à x est : F x E+ (t , ξ ) = (2π)−n/2 H (t , ξ ). sin t kξ k , kξ k. sachant que H est la fonction de Heaveside : § § 0 si t < 0, 0 si t < 0, H (t , x) = = Y (t )⊗1ξ , où Y (t ) = , et, ∀ξ , 1ξ (ξ ) = 1. 1 si t ≥ 0. 1 si t ≥ 0. Mathématiques. Septembre 2020. Université de Guelma..

(126) Mémoire de Master. 22. Rayen BOUDABOUZE. Pour toute fonction ϕ de D(Rn ), on a : . · 2 · ∂2 ∂ + kξ k2 (F x E+ ), ϕ = (F x E+ ) + kξ k2 (F x E+ ), ϕ ∂ t2 ∂ t2 2 sin t kξ k ∂ −n/2 = (2π) H (t , ξ ) ∂ t2 kξ k. · sin t kξ k ,ϕ kξ k sin t kξ k ∂ −n/2 (2π) δ ⊗ 1ξ + H (t , ξ ) cos t kξ k ∂t t kξ k · sin t kξ k +kξ k2 H (t , ξ ) ,ϕ kξ k ∂ H (t , ξ ) cos t kξ k (2π)−n/2 ∂t · sin t kξ k ,ϕ +kξ k2 H (t , ξ ) kξ k sin t kξ k (2π)−n/2 (cos t kξ k)(δ t ⊗ 1ξ ) − kξ k2 H (t , ξ ) kξ k · sin t kξ k +kξ k2 H (t , ξ ) ,ϕ kξ k · (2π)−n/2 δ t ⊗ 1ξ , ϕ +kξ k2 H (t , ξ ). =. =. =. =. = ⟨δ t ⊗ [(2π)−n/2 1ξ ], ϕ⟩. Donc. . ∂2 2 + kξ k F x E+ = δ t ⊗ F x (δ x ), ∂ t2. et à l’aide de la transformation de Fourier inverse on obtient : 2 ∂ − ∆ x E+ = δ t ⊗ δ x , ∂ t2 c’est-à-dire :. . ∂2 − ∆x E+ = δ, ∂ t2. ce qui montre que E+ est une solution élémenaire (portée par le demi-espace t ≥ 0) pour. l’opérateur des ondes.. Mathématiques. Septembre 2020. Université de Guelma..

(127) Mémoire de Master. 3.3. Rayen BOUDABOUZE. 23. Équation de La Chaleur et Équation de Schrödinger. Les opérateurs de la chaleur et de Schrödinger sont respectivement : C= ✬. ∂ −∆ ∂t. et. 1 ∂ − ∆. i∂t. S=. ✩. Proposition 3.4. La transformée de Fourier inverse de la fonction : f : Rn → R ξ 7→ exp(−ωkξ k2 ) est la fonction : g : Rn → R x 7→. ✫. Démonstration. On a :. ∀x ∈ R , (F n. −1. f )(x) =. 1 (2π). n 2. 1 n. (2ω) 2. Z. e. i xξ. ∀x ∈ R , (F. −1. Rn. f )(i x) =. et comme : −xξ − ωkξ k2 = on obtient : ∀x ∈ R , (F n. En posant maintenant :. −1. 4ω. f (ξ )d ξ =. Donc : n. −kxk2 . exp. f )(i x) =. 1 (2π). n 2. Z. ✪. 1 (2π). n 2. Z. 2. e i xξ −ωkξ k d ξ .. Rn. 2. e −xξ −ωkξ k d ξ ,. Rn.

(128) 2 p kxk2

(129)

(130) x

(131) −

(132) p + ωξ

(133) , 4ω 2 ω 1 n. (2π) 2. e. kxk2 4ω. Z. Rξn. e.

(134) x p

(135) 2 −

(136) 2pω + ωξ

(137). dξ .. p x η = p + ωξ , 2 ω. on arrive à : dξ =. 1 n. ω2. d η,. et il s’ensuit alors que : Mathématiques. Septembre 2020. Université de Guelma..

(138) Mémoire de Master. ∀x ∈ R , (F n. Rayen BOUDABOUZE. 24. −1. f )(i x) =. Ce qui implique que :. 1 n. (2πω) 2. e. kxk2 4ω. Z. 2. e −|η| d η = Rηn. 1 n. (2ω) 2. e. kxk2 4ω. ∀x ∈ Rn , (F −1 f )(x) = g (x). 3.3.1 Equation de la chaleur le problème bien posé associé est le problème initial :  ∂   f = ∆f ∂t  = f0  f/ t=0 où f0 est tempérée. Si f est une solution tempérée de ce problème, et F x f est sa transformée de Fourier partielle par rapport à x, alors :  ∂   (F x f ) = −kξ k2 F x f ∂t b   Fx f /t = 0 = f0 ce qui implique que : 2 F f = e −t kξ k b f 0. x. et que :. −n. 2. f (t , x) = (2π) 2 [F x−1 (e −t kξ k )] ∗ x f0 n 1 1 2 −kxk2 = e 4t ∗ x f0 n 2 2t (2π) kxk2 1 − 4t = ∗ x f0 . n e (4πt ) 2 n. 2. • Solution élémentaire : Soit : (F x E+ )(t , ξ ) = (2π)− 2 H (t , ξ )e −t kξ k . Alors, pour toute fonction test ϕ ∈ D(Rn+1 ), on a : · · ∂ ∂ 2 2 + kξ k (F x E+ ), ϕ = (F E ) + kξ k (F x E+ ), ϕ ∂t ∂t x + h i · n ∂ −2 −t kξ k2 2 −t kξ k2 = (2π) H (t , ξ )e + kξ k H (t , ξ )e ,ϕ ∂t n. 2 2 = (2π)− 2 e −t kξ k (δ t ⊗ 1ξ ) − kξ k2 H (t , ξ )e −t kξ k. 2 +kξ k2 H (t , ξ )e −t kξ k , ϕ n = ⟨δ t ⊗ (2π)− 2 1ξ , ϕ⟩,. Mathématiques. Septembre 2020. Université de Guelma..

(139) Mémoire de Master Donc ou encore :. autrement dit :. Rayen BOUDABOUZE. 25 . n ∂ 2 + kξ k (F x E+ ) = δ t ⊗ (2π)− 2 1ξ ∂t ∂ Fx − ∆ E+ = F x [δ t ⊗ δ x ] ∂t . ∂ − ∆ E+ = δ ∂t et ainsi, l’équation de la chaleur admet pour solution élémentaire la fonction E+ telle que : E+ (t , x) = F x−1 (F x E+ ) n 2 = F x−1 (2π)− 2 H (t , ξ )e −t kξ k ¨ n 2 si t ≥ 0 (2π)− 2 F x−1 e −t kξ k = 0 si t < 0 c’est-à-dire que : n. E+ (t , x) = H (t , x)(4πt )− 2 e − 3.3.2. kxk2 4t. .. Équation de Schrödinger. Le problème initial pour l’opérateur de Schrödinger sur Rn+1 = R t × Rnx est :  h i 1 ∂   − ∆  x f =0  i∂t    = f0  f/ t=0 où f0 est une distribution tempérée sur Rnx . Il équivaut au problème :  ∂ (F x f )    = −ikξ k2 F x f   ∂t. dont la solution est telle que : donc.     =b f0  F x f/ t=0. 2 F x f = e −i t kξ k b f0 , n. 2. f (t , x) = (2π)− 2 [F x−1 (e −i t kξ k )] ∗ x f0 (x) n. kxk2. = [(4πi t )− 2 e − 4i t ] ∗ x f0 (x) n. kxk2. = [(4πt )− 2 e − 4i t Mathématiques. π. −i n 4. Septembre 2020. ] ∗ x f0 (x) Université de Guelma..

(140) Mémoire de Master. Rayen BOUDABOUZE. 26 n. 2. • Solution élémentaire : On pose (F x E)(t , ξ ) = (2π)− 2 H (t , ξ )e −i t kξ k et, pour tout ϕ ∈ D(Rn+1 ), on a : . · · ∂ ∂ 2 2 + ikξ k (F x E), ϕ = (F E) + ikξ k (F x E), ϕ ∂t ∂t x h i n ∂ 2 −2 = (2π) H (t , ξ )e −i t kξ k ∂t. 2. n. −2. = (2π). . . +ikξ k H (t , ξ )e. −i t kξ k2. 2 2 e −i t kξ k δ t ⊗ 1ξ − ikξ k2 H (t , ξ )e −i t kξ k 2. +ikξ k H (t , ξ )e. −i t kξ k2. n. = ⟨δ t ⊗ [(2π)− 2 1ξ ], ϕ⟩. Donc de sorte que :. ,ϕ. ·. ,ϕ. ·. . ∂ n + ikξ k2 (F x E) = δ t ⊗ [(2π)− 2 1ξ ], ∂t . 1 ∂ − ∆ E = δ. i∂t. En fait, E est la fonction localement intégrable :. n 2 E(t , x) = F x−1 (F x E) = F x−1 (2π)− 2 H (t , ξ )e −i t |ξ | ¨ n 2 si t ≥ 0 (2π)− 2 F x−1 e −i t |ξ | = 0 si t < 0 n. |x|2. = H (t , x)(4πi t )− 2 e − 4i t n. |x|2. = H (t , x)(4πt )− 2 e − 4t. 3.4. π. −i n 4. .. Théorème de Malgrange-Ehrenpreis. ✛. ✘. ✚. ✙. Théorème 3.5. (Malgrange-Ehrenpreis) Tout opérateur différentiel linéaire non nul à cœfficients constants admet une solution élémentaire dans S ′ (Rn ).. Démonstration du théorème 3.5. :. Ce théorème général a été démontré par Ehrenpreiss [2] et Malgrange [6]. La démonstration que je fournis ici est due à L. Hörmander [4]. Elle est très brièvement décrite dans Mathématiques. Septembre 2020. Université de Guelma..

(141) Mémoire de Master. Rayen BOUDABOUZE. 27. [1] et [4] et je me propose ici de la détailler au maximum. L’équation P (D)E = δ est n équivalente au problème de division P (ξ )Eb = (2π)− 2 , et l’idée principale est de définir n. (2π)− 2. E en tant que transformée de Fourier inverse de P (ξ ) , c’est-à-dire par une formule du type : Z n F −1 (ϕ)(ξ ) −2 ⟨E, ϕ⟩ = (2π) d ξ , ϕ ∈ C0∞ (Rn ). (65) P (ξ ) Rn • Si, quel que soit ξ ∈ Rn , P (ξ ) 6= 0, c’est bel et bien la formule (61) qui définit E. En n. effet, la fonction. (2π)− 2 P (ξ ). est C ∞ à croissance lente, ainsi que toutes ses dérivées : n. (2π)− 2 ∈ OM (Rn ) P (ξ ) Donc, E (ainsi définie) est une distribution tempérée sur Rn . De plus, ∀ϕ ∈ C0∞ (Rn ), ⟨P (D)E, ϕ⟩ = ⟨E, P (−D)ϕ⟩ Z n F −1 [P (−D)ϕ](ξ ) −2 dξ = (2π) P (ξ ) Rn Z n = (2π)− 2 F −1 (ϕ)(ξ ) d ξ Rn. n. = ⟨(2π)− 2 , F −1 (ϕ)⟩. = ⟨F (δ), F −1 (ϕ)⟩ = ⟨δ, ϕ⟩, ce qui veut dire que P (D)E = δ, et que E est solution élémentaire de P (D).. • Dans le cas général, on utilise le lemme suivant (dont une démonstration se trouve dans [1]) : ✤. ✜. ✣. ✢. Lemme 3.1. Si P (D) 6= 0, il existe une suite (θk )k∈N avec θk ∈ Rn et |θk | ≤ 1, une partition 3 différentielle de l’unité (ρk )k∈N avec ρk ∈ C0∞ (Rn ), et une constante c > 0 telles que |P (ξ + zθk )| ≥ c pour ξ ∈ suppρk , z ∈ C et |z| = 1.. 3. Soit Ω un ouvert de Rn et (V j ) j un de ses recouvrements par des ouverts. Une partition différentielle de l’unité sur Ω subordonnée à (V j ) j est une famille de fonctions (ϕ j ) j dans C ∞ (Ω) telles que : supp ϕ j ⊂ V j , la famille (supp ϕ j ) j est localement finie (c’est-à-dire : Pour tout compact K de Ω, l’ensemble des indices P j tels que supp ϕ j ∩ K 6= ; est fini), ϕ j = 1, et ϕ j ≥ 0.. Mathématiques. Septembre 2020. Université de Guelma..

(142) Mémoire de Master. Rayen BOUDABOUZE. 28. L’idée maintenant est d’intégrer dans le champ complexe pour éviter les zéros de P (ζ ), ζ ∈ Cn , ce qui nous donne la formule :. E, F (F −1 ϕ) b F −1 ϕ⟩ = ⟨E, DX E ∞ = ρk Eb, F −1 ϕ. ∀ϕ ∈ C0∞ (Rn ), ⟨E, ϕ⟩ =. k=0. =. ∞ X k=0. =. ∞ X k=0. ⟨ρk Eb, F −1 ϕ⟩. b ρ F −1 ϕ⟩ ⟨E, k n. −2. = (2π). n. = (2π)− 2. ∞ Z X. k=0 Rn ∞ Z X k=0. Rn. ρk (ξ )F −1 ϕ(ξ ) dξ . P (ξ ) b ρk (ξ )ϕ(−ξ ) dξ . P (ξ ). Comme supp(ϕ) est compact, il est inclus dans une boule centrée à l’origine et de rayon R et, d’après le théorème de Paley-Wiener 4 , ϕb se prolonge en une fonction holomorphe e. Ò sur Cn que l’on note ϕ La fonction. ψ : C→C e(−ξ − zθ ) Ò z 7→ ψ(z) = ϕ k. est holomorphe sur C car :  • h : C → Cn telle que h(z) = −ξ − zθk est holomorphe (puisque toutes ses     composantes le sont), e : Cn → C est holomorphe, Ò • ϕ     e ◦ h. Ò • ψ=ϕ. De même, la fonction p : C → C telle que p(z) = P (ξ + zθk ) est holomorphe sur C puisque :.   • (−h) : C → Cn est holomorphe, • P : Cn → C est holomorphe (car c’est un polynôme),  • p = P ◦ (−h),. 4. Théorème de Paley-Wiener : Soit f une distribution tempérée, F f sa transformée de Fourier. Alors f est une distribution (resp. fonction test) à support dans la boule de rayon R si et seulement si : (i) F f se prolonge en une fonction holomorphe de ζ = ξ + iη, dans Cn tout entier. (ii) Il existe N tel que |F f (ζ )| ≤ Cste (1 + |ζ |)N e R|η| (resp. (ii-bis) Pour tout N on a |F f (ζ )| ≤ Cste (1 + |ζ |)−N e R|η| ). Mathématiques. Septembre 2020. Université de Guelma..

(143) Mémoire de Master. Rayen BOUDABOUZE. 29. et comme : [P ◦ (−h)](z) = P (ξ + zθk ) 6= 0 (car |P (ξ + zθk )| ≥ c > 0), on conclut alors que la fonction f. : C→C z 7→ f (z) =. e(−ξ − zθ ) Ò ϕ k P (ξ + zθk ). est à son tour holomorphe sur C. D’après la formule de Cauchy, pour tout z0 ∈ C tel que |z0 | < 1, Z f (z) 1 f (z0 ) = d z, 2iπ |z|=1 z − z0 et en particulier :. 1 f (0) = 2iπ. Z. |z|=1. f (z) d z, z. ce qui implique que : b ϕ(−ξ ) 1 = P (ξ ) 2iπ. Z. e(−ξ − zθ ) d z Ò ϕ k × , P (ξ + zθ z |z|=1 k). et par voie de conséquence : n. −2. ⟨E, ϕ⟩ = (2π). Z e(−ξ − zθ ) d z Ò ϕ 1 k × d ξ , ϕ ∈ C0∞ (Rn ). (66) ρk (ξ ) 2iπ P (ξ + zθ ) z n R |z|=1 k. XZ k∈N. ✓. ✏. ✒. ✑. Proposition 3.6. E est une distribution sur Rn .. Preuve de la proposition 3.6 : Il est clair que E est linéaire de D(Rn ) dans R. Pour montrer qu’elle est continue, on choisit une suite (ϕ j ) j qui converge vers 0 dans D(Rn ) et on démontre que (< E, ϕ j >) j converge vers 0 dans R. En effet, si (ϕ j ) j est une telle suite, alors :. Mathématiques. Septembre 2020. Université de Guelma..

(144) Mémoire de Master. Rayen BOUDABOUZE. 30. Z

(145) n

(146) X . −2

(147) | < E, ϕ j > | = (2π)

(148). ✛. Z

(149) e (−ξ − zθ ) Ò ϕ

(150) 1 dz j k ρk (ξ ) × d ξ

(151)

(152) 2iπ |z|=1 P (ξ + zθk ) z k∈N Rn Z Z e (−ξ − zθ )| Ò |ϕ n X 1 dz j k −2 ≤ (2π) ρk (ξ ) × dξ 2π |z|=1 |P (ξ + zθk )| |z| k∈N Rn Z Z e (−ξ − zθ )| Ò |ϕ n X 1 j k −2 ρk (ξ ) ≤ (2π) × d z dξ 2π |z|=1 |P (ξ + zθk )| k∈N Rn Z Z e (−ξ − zθ )| Ò |ϕ n X 1 j k −2 ρk (ξ ) × d z d ξ (cf. lem. 3.1) ≤ (2π) 2π |z|=1 c k∈N Rn. Lemme 3.2. Il existe une constante C > 0 telle que, ∀ξ ∈ R , ∀ϕ. ✚. n. −n−1 e(−ξ − zθ )| ≤ C N Ò sup |ϕ k K,n+1 (ϕ)(1 + |ξ |). |z|=1, k∈N. Démonstration du lemme 3.2. : on sait : b )=Õ ξ ϕ(ξ D α ϕ(ξ ) =. 1. α. donc :. b )= ξ ϕ(ξ α. (2π). 1. (2π). n 2. Z. n 2. Z. ∈ CK∞ ,. ✘. ✙. e −i xξ D α ϕ(x) d x. Rn. e −i xξ D α ϕ(x) d x. K. b ) se prolonge en une fonction holomorphe de la variable et la fonction ξ −→ ξ ϕ(ξ n ζ = ξ + iη ∈ C telle que : Z 1 αe Ò(ζ ) = ζ −→ ζ ϕ e −i xζ D α ϕ(x) d x n (2π) 2 K α. Par conséquent :. e(ζ )| = Ò |ζ | · |ϕ α. ≤. ≤ ≤ ≤ Mathématiques.

(153) Z

(154)

(155)

(156) −i xζ α

(157) e D ϕ(x) d x

(158)

(159) n

(160) (2π) 2 K Z 1 |D α ϕ(x)| · |e −i xζ | d x n (2π) 2 K Z 1 α |e −i xζ | d x n sup |D ϕ(x)| 2 (2π) x∈K K Z 1 α e xη d x n sup |D ϕ(x)| (2π) 2 x∈K K R xη e dx K sup |D α ϕ(x)| n (2π) 2 x∈K 1. Septembre 2020. Université de Guelma..

(161) Mémoire de Master. Rayen BOUDABOUZE. 31. Autrement dit : ∀ζ ∈ Cn , e(ζ )| ≤ c sup |D α ϕ(x)| Ò |ζ α |.|ϕ 1 x∈K. Donc :. e(ζ )| ≤ c sup |D α ϕ(x)| Ò ( sup |ζ α |)|ϕ 1 x∈K |α|≤n+1. |α|≤n+1. Mais :. c2 (1 + |ζ |2 ). n+1 2. et il s’ensuit alors que : c2 (1 + |ζ |2 ). n+1 2. ≤ sup |ζ α | |α|≤n+1. e(ζ )| ≤ c N Ò |ϕ 1 K,n+1 (ϕ). En particulier pour ζ = −ξ − zθk , on a : c2 (1 + | − ξ − zθk |2 ). n+1 2. c2 sup(1 + | − ξ − zθk |2 ). n+1 2. D’où : |z|=1 k∈N. n+1 2. n+1 2. et comme : On arrive à :. n+1 2. e(−ξ − zθ )| ≤ c N Ò sup |ϕ k 1 K,n+1 (ϕ) |z|=1 k∈N. Par conséquant : c2 (1 + |ξ |2 ). e(−ξ − zθ )| ≤ c N Ò sup |ϕ k 1 K,n+1 (ϕ) |z|=1 k∈N. Donc : c2 (1 + |ξ |2 + |θk |2 ). e(−ξ − zθ )| ≤ c N Ò sup |ϕ k 1 K,n+1 (ϕ) |z|=1 k∈N. et cela implique que : c2 (1 + | − ξ − iθk |2 ). e(−ξ − zθ )| ≤ c N Ò |ϕ k 1 K,n+1 (ϕ). e(−ξ − zθ )| ≤ c N Ò sup |ϕ k 1 K,n+1 (ϕ) |z|=1 k∈N. 1 (1 + |ξ |)2 ≤ 1 + |ξ |2 2 c2 e(−ξ − zθ )| ≤ c N Ò (1 + |ξ |)n+1 sup |ϕ k 1 K,n+1 (ϕ) 2 |z|=1 k∈N. et finalement :. −n−1 e(−ξ − zθ )| ≤ C N Ò sup |ϕ , k K,n+1 (ϕ)(1 + |ξ |) |z|=1 k∈N. Mathématiques. Septembre 2020. Université de Guelma..

(162) Mémoire de Master. Rayen BOUDABOUZE. 32. où : C=. 2c1 c2. Retour à la démostration de la proposition 3.6. : De ce qui a précédé et du lemme 3.2. il découle que : Z C NK,n+1 (ϕ j )(1 + |ξ |)−n−1 1 | < E, ϕ j > | ≤ (2π) ρk (ξ ) d z dξ , 2π |z|=1 c k∈N Rn Z Z CN −n−1 n 1 K,n+1 (ϕ j )(1 + |ξ |) −2 ≤ (2π) dξ dz , c 2π |z|=1 Rn Z n 1 −2 C ≤ (2π) d ξ NK,n+1 (ϕ j ), n+1 c Rn (1 + |ξ |) n. −2. XZ. à noter que l’intégrale : I=. Z. Rn. 1 dξ (1 + |ξ |)n+1. est convergente pour les raisons que voici :. • Le passage en coordonées polaires nous donne : Z ∞Z Z ∞ Z τ n−1 τ n−1 I= dτ dθ = dτ dθ n+1 (1 + τ)n+1 0 S n−1 (1 + τ) 0 S n−1 • L’intégrale. Z. ∞ 0. τ n−1 dτ (1 + τ)n+1. R ∞ τ n−1 est convergente puisqu’elle est de même nature que 1 (1+τ)n+1 d τ, c’est-à-dire de R∞ 1 même nature que 1 τ 2 d τ. R • L’intégrale S n−1 d θ est finie vu qu’elle désigne l’aire de la sphère unité de Rn (que l’on calculera un peu plus loin).. Par conséquent, on a : n. ∀n ∈ N, | < E, ϕ j > | ≤ (2π)− 2 et cela prouve que si :. CI N (ϕ ), c K,n+1 j. D(Rn ). ϕ j −−→ 0, j →∞. alors : R. ⟨E, ϕ j ⟩ −−→ 0, j →∞. Mathématiques. Septembre 2020. Université de Guelma..

(163) Mémoire de Master. 33. Rayen BOUDABOUZE. et que E est une distribution sur Rn . Fin de la démonstration du théorème 3.5. : Pour tout ϕ ∈ C0∞ (Rn ), on a : å Z [PÛ (−D)ϕ](−ξ − zθk ) d z 1 ⟨P (D)E, ϕ⟩ = (2π) ρk (ξ ) × dξ 2iπ |z|=1 P (ξ + zθk ) z k∈N Rn Z Z e(−ξ − zθ ) n X Ò ϕ 1 k −2 ρk (ξ ) = (2π) d z dξ 2iπ |z|=1 z k∈N Rn Z n X −2 b = (2π) ρk (ξ )ϕ(−ξ ) dξ n. −2. XZ. XZ k∈N. n. = (2π)− 2. n −2. = (2π). k∈N X. Rn. Rn. ρk (ξ )F −1 (ϕ)(ξ ) d ξ. ⟨ρk , F −1 (ϕ)⟩. k∈N E D n X −2 ρk , F −1 (ϕ) = (2π) n. −2. = ⟨(2π). k∈N −1. ,F. (ϕ)⟩. = ⟨F (δ), F −1 (ϕ)⟩ = ⟨δ, ϕ⟩. Ce qui démontre que, P (D)E = δ, et que E est solution élémentaire de P (D).. . 3.4.1 Solution du problème L’importance d’une solution élémentaire E pour un opérateur différentiel linéaire à cœfficients constants P (D) réside dans le fait que, si LE : E ′ → E ′ est l’opérateur de convolution défini par : ∀u ∈ E ′ (Rn ), LE u = E ∗ u, on a : LE ◦ P (D) = P (D) ◦ LE = I d , car : [LE ◦ P (D)]u = LE [P (D)u] = E ∗ [P (D)u] = [P (D)E] ∗ u = δ ∗ u = u, et [P (D) ◦ LE ]u = P (D)(LE u) = P (D)(E ∗ u) = [P (D)E] ∗ u = δ ∗ u = u. Mathématiques. Septembre 2020. Université de Guelma..

(164) Mémoire de Master. Rayen BOUDABOUZE. 34. Donc, la connaissance d’une solution fondamentale de P (D) permet de construire une inverse bilatère LE pour P (D), de résoudre l’équation P (D)u = f , et de décrire la régularité de cette solution. En effet : (P (D)u = f ) ⇔ (u = LE f ) ⇔ (u = E ∗ f ) et si f est de classe C k pour un certain k ∈ N, la solution u l’est également.. 4 Opérateurs linéaires à cœfficients analytiques 4.1. Position du problème. Soit a ∈ Rn , U un voisinage ouvert de a dans Rn , et S une hypersurface de Rn passant par a, définie par :

(165). S ∩ U = x ∈ U

(166) g (x) = 0 , (67) où g : U → R est une fonction suffisamment régulière, sans points critiques sur S : ∀x ∈ S, d x g 6= 0.. (68). On considère un opérateur différentiel linéaire d’ordre m sur U , P (x, ∂ ) =. X. pα (x)∂ α ,. (69). |α|≤m. auquel on attache la fonction σ m (P ) définie sur T ∗ U ≃ U × Rξn par, σ m (P )(x, ξ1 , . . . , ξn ) =. X. α. α. pα (x)ξ1 1 . . . ξn n ,. (70). |α|=m. Le problème :. Etant données des fonctions assez régulières f sur U , et u0 , u1 , . . . , um−1 sur S ∩ U , peut-on trouver une fonction u sur U satisfaisant à l’équation P (x, ∂ )u = f. (71). dans un voisinage U ′ de a contenu dans U , et aux conditions u = u0 , Dν~ u = u1 , . . . , Dν~m−1 u = um−1. (72). sur S ∩ U ′ , où ν~ est un champ de vecteurs normal à S , et Dν~ est la dérivation dans la direction de ν~ ? Mathématiques. Septembre 2020. Université de Guelma..