Université Sidi Mohammed Benabdellah Année universitaire 2018-2019
Faculté des Sciences Dhar El Mehraz SMA-SMI
Département de Mathématiques
Examen d’algèbre 3 Durée :1h30 Exercice 1 (8 pt)
Soit f l’application linéaire de R3 dans R2 définie par f (x, y, z) = (2x + y + 3z, 4x + y + 5z)
1. Soit A = M (f, B, S) avec S = {ε1, ε2, ε3} la base canonique de R3 et B = {e1, e2}
la base canonique de R2.
(a) Donner A. (b) Calculer rg(A). (c) Déduire Im(f ).
(d) Donner une base de Ker(f ). 2. Soient ε01 = 12(−ε1 + ε2 + ε3), ε 0 2 = 1 2(ε1 − ε2 + ε3) , ε 0 3 = 1 2(ε1 + ε2 − ε3) et S0 = {ε01, ε02, ε03}.
(a) Montrer que S0 est une base de R3.
(b) Donner P la matrice de passage de S à S0.
3. Soient e01 = (1, 1) et e02 = (1, 2) deux vecteurs de R2 et B0 = {e01, e02} . (a) Montrer que B0 est une base de R2.
(b) Donner Q la matrice de passage de B à B0. (c) Calculer Q−1 l’inverse de Q.
(d) Calculer les composantes d’un vecteur (x, y) de R2 dans la base B0.
4. Déterminer A0 la matrice de f par rapport à S0 et B0, en fonction de A, P et Q. 5. Calculer A0 avec deux méthodes différentes.
Exercice 2 (7 pt)
Soit E un espace vectoriel de dimension 3 et ϕ un endomorphisme non nul de E tel que ϕ2 = θ avec θ est l’application nulle. Posons r = rg(ϕ).
1. Montrer que Im(ϕ) ⊆ Ker(ϕ). 2. Déduire que r ≤ 3 − r et calculer r.
3. Soit a un élément de E tel que ϕ(a) 6= 0 et posons b = ϕ(a).
i) Justifier, sans calcul, qu’il existe c ∈ Ker(ϕ) tel que {b, c} est une base de Ker(ϕ) ii) Montrer que {a, b, c} est une base de E.
iii) Déterminer la matrice de ϕ dans la base {a, b, c}. Exercice 3 (5 pt)
Soit Σ le système suivant :
Σ : x −y +2z = a y +z = b 3x −2y +z = c −x +y −2z = d 1. Donner la forme matricielle de Σ.
2. Résoudre Σ, suivant les paramètres a, b, c et d (en utilisant les transformations élé-mentaires de Gauss).
Bon courage
