Ch 3 - Dynamique des fluides parfaits

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Ch. 3- DYNAMIQUE DES FLUIDES PARFAITS INCOMPRESSIBLES En régime permanent

Contenu

 Dynamique des fluides parfaits (4,5h) : Définitions (vitesse moyenne, débit massique, débit volumique, tube de courant, ligne de courant, …).

 Équation de conservation de la masse : Équation de la continuité.

 Équation de conservation de l'énergie : Théorème de Bernoulli.

 Théorème de la quantité de mouvement (théorème d’Euler) (3h) : action d’un fluide sur une paroi plane ou concave.

1. Introduction

Dans tout écoulement une particule fluide se déplace sur une trajectoire appelée ligne de courant.

Ligne de courant : On appelle ligne de courant la courbe suivant laquelle se déplace un élément de fluide. elle est tangente en chacun de ses points au vecteur vitesse du fluide en ce point.

Tube de courant : Ensemble de lignes de courant s'appuyant sur une courbe fermée.

Filet de courant : Tube de courant s'appuyant sur un petit élément de surface ΔS.

La section de base ΔS du tube ainsi définie est suffisamment petite pour que la vitesse du fluide soit la même en tous ses points (répartition uniforme).

2. Classification des écoulements :

 Écoulement permanent ou stationnaire

Un régime d'écoulement est dit permanent ou stationnaire si les paramètres qui le caractérisent : pression, température, vitesse, masse volumique, ..., ont une valeur constante au cours du temps.

Notons cependant que cela ne veut pas dire que le champ des vecteurs vitesse est uniforme.

L'écoulement permanent est le seul que nous aurons à considérer dans ce cours. Un écoulement non permanent conduirait à considérer les effets d'inertie des masses fluides.

 Ecoulement parfait

Un fluide est dit en écoulement parfait si on néglige tous les phénomènes diffusifs et notamment sa viscosité, donc si on néglige les frottements entre les couches voisines de fluide en mouvement.

Un écoulement parfait ne dissipe donc pas de chaleur.

 Ecoulement incompressible

Un écoulement est dit incompressible si la masse volumique du fluide est constante (ρ =constante) c'est-à-dire

t



 = 0 et div( v ) = 0.

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Mécanique des fluides - Ch.3 : DYNAMIQUE DES FLUIDES PARFAITS INCOMPRESSIBLES ISET de Sousse

Au cours de ce chapitre, on va appliquer successivement les trois principes suivants aux fluides en écoulement :

- le principe de conservation de la masse.

- le principe de conservation de l’énergie.

- Le principe de conservation de la quantité de mouvement ou loi de Newton.

A partir de chacun d’eux on établira respectivement :

 l’équation de continuité.

 l’équation de Bernoulli.

 le théorème d’Euler.

3. Equation de continuité :

Considérons une veine fluide animée d'un écoulement permanent. Soient v₁ et v₂

les vecteurs vitesse d'écoulement respectivement à travers les sections SI et S2 de la veine.

A l'instant t, on considère une certaine masse de fluide (m) comprise entre les sections (S_I) et (S₂).

Soit ρ la masse volumique du fluide.

A l'instant t+dt, la masse (m) s'est déplacée et se trouve comprise entre (S'1) et (S'2).

Écrivons que la masse élémentaire (dm) de fluide qui s'est écoulée à travers (S1) est la même que celle qui s'est écoulée à travers (S₂). Cela traduit la continuité de l'écoulement :

On a dV1 = dV2 = dV

dm1 = dm2 = dm

 dV1 = dV2 = dV

 dmρS₁dx₁ρS₂dx₂ Débit massique : qm en [

s kg]

On appelle débit massique qm d’une veine fluide est la masse du fluide par unité de temps, traversant une section quelconque de la conduite .

q ^dm avec dt en [ s] et dm en [kg]

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qm = dt dm1 =

dt dm2

qm = .S1.

dt

dx1 =.S2. dt dx2

qm = .S1.v1 = .S2.v2

D’où dans une section droite quelconque (S) de la veine fluide à travers laquelle le fluide s’écoule à la vitesse moyenne v, on a :

qm= ρ.S.v = cte est l’équation de continuité.

Débit volumique : qv en [m³/s]

On appelle débit volumique qv d’une veine fluide est : qv = dt

dV ; tel que dV : volume élémentaire.

Unités : dV en [m³] et dt en [s]

dV = ρ

dmqv = ρ 1

dt

dm  qv = ρ qm



D’où

qv = S .v = cte

avec

4. Equation de BERNOULLI :

dS₁, dS₂: sections droites quelconques dans un tube de courant.

z1, z2 : altitudes de dS1 et dS2.

En écoulement stationnaire, le fluide traverse dS1 et dS2avec des vitesses respectives v1 et v2.

p1 et p2 : pressions dans le fluide au niveau de dS₁ et dS_2.

Pendant un court instant dt, la même masse passe à travers les deux sections dS₁ et dS₂: dt

v dS dm

dt v dS dm

dm ₁ ₁ ₁  ₂ ₂ ₂ .

On établit l’équation de Bernoulli en considérant que l’énergie totale du fluide se conserve au cours de son déplacement dans un tube de courant T.C.

On peut écrire que la somme des énergies transportées par une masse dm de fluide est la même en tout point du T.C, en particulier au niveau des sections dS1 et dS2.

S1

S2

qv1 = qv2  S1 .v1 = S2 .v2

S en [m²] : section de la veine fluide.

v en [m/s] : vitesse moyenne du fluide à travers (S)

x1

z1

z2

dS1

dS2

p1

p2

x2

x1+ dx1

x2+ dx2

v1

v2

Ecoulement dans un T.C

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Le bilan des énergies mises en jeu doit prendre en compte :

- le travail des forces de pression p1 et p2 qui s’exercent sur chaque section droite du fluide.

- L’énergie cinétique du fluide en mouvement.

- L’énergie potentielle.

Au niveau de chaque section droite, pour la même masse de fluide :

en (1) en (2)

Travail des forces de pression (dW) F₁dx₁ F₂dx₂

Energie potentielle (dEp) dmgz₁ dmgz₂

Energie cinétique (dE_c) ₁²

2

1dmv ₂²

2 1dmv

La conservation d’énergie entre (1) et (2) s’écrit :









 ₁ ₁ ₂ ₂ ₂

1 dEp dEc dW dEp dEc

dW Constante









 ₁ ₁² ₂ ₂ ₂ ₂²

1

1 2

1dmv F dx dmgz dmv z

g dm dx

F Constante

Cette relation traduit la conservation de l’énergie mécanique du fluide.

2 2 1

1 2 2 2

1 1 1

dx dS dx

dS dV dm

dS p F



  



D’où :









 ₁ ₁ ₁ ₁ ₁ ₁² ₂ ₂ ₂ ₂ ₂ ₂ ₂ ₂ ₂²

1 1

1 2

1 dS dx v p dS dx dS dx gz dS dx v z

g dx dS dx

dS

p     Cte

En divisant chaque membre de cette relation, où chaque terme représente une énergie, par dt (intervalle de temps correspondant au passage de dm)









 ₁ ¹ ₁ ₁ ¹ ₁² ₂ ₂ ² ₂ ² ₂ ₂ ² ₂²

1 1

1 2

1 v

dt dS dx z

dt g dS dx dt

dS dx p dt v

dS dx z

dt g dS dx dt

dS dx

p     Cte

Remarque :

Chaque terme représente une puissance.









 ₁ ₁ ₁ ₁ ₁ ₁ ₁ ₁ ₁² ₂ ₂ ₂ ₂ ₂ ₂ ₂ ₂ ₂² 2

1 2

1 dS v v p dS v dS v gz dS v v z

g v dS v

dS

p     Cte

On sait que dS₁v₁dS₂v₂ : débit dans le tube (continuité).

Donc on aura : ₁ ₁ ₁²  ₂ ₂ ₂² 2

1 2

1 v p gz v

z g

p     Cte = p_totale

totale

p 2 Cte

v 2 ρ.

z 1 g.

ρ.

p    

Relation de la dynamique des fluides en termes de pression représente l’équation de Bernoulli.

ptotale : pression totale appelée charge totale du tube de courant (T.C).

p^* = pgz : pression statique.

2

1v : pression cinétique ou pression dynamique.

En l’absence d’écoulement v₁ v₂0 p₁gz₁p₂ gz₂Cte : l’équation de l’hydrostatique pour un fluide de repos.

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H g Cte

z v g p g z v g

p       

2 2

2 2 2 1 1 1



 : chaque terme à la dimension d’une hauteur

* g p

 : hauteur piézométrique ou charge de pression : (hauteur de la colonne de fluide de masse volumique  qui mesure p).

* g v 2

2

: hauteur capable ou charge cinétique ou dynamique : (hauteur d’où le fluide devrait tomber

en chute libre dans le vide pour acquérir la vitesse v).

* z : l’altitude du point considéré. Cette hauteur mesure la pression hydrostatique. On l’appelle aussi charge de pesanteur ou hauteur géométrique.

* H : charge ou charge totale ; hauteur manométrique équivalente.

D’après le principe de la conservation de l’énergie, la ligne de charge est une droite horizontale dans le cas d’un fluide parfait.

5.Théorème d’Euler ou de quantité de mouvement

On appelle quantité de mouvement (ou impulsion) d’une masse ponctuelle m en un instant t quelconque, le produit de cette masse par sa vitesse : P_{ }t m_{   }t v t



Théorème :

La dérivée par rapport au temps de la quantité de mouvement (ou de l’impulsion) d’une masse m est égale à la résultante des forces extérieures appliquées à cette masse.

  ^



^F^ext

dt t P

d 

Souvent on veut savoir pourquoi un tuyau d’arrosage se met à se distordre lorsqu’on ouvre le robinet, ou encore avoir une idée des forces que subissent les canalisations lors de l'écoulement d'un fluide. C'est le théorème d’Euler (appelé aussi théorème de quantité de mouvement) va nous permettre de tels calculs.

Hauteur

Ligne de charge

Ligne piézométrique

Plan de référence

Ligne médiane du T.C à z1

à z2

H

v12/2g v22/2g

p1/ρ.g

p2/ρ.g

z1

z2

Position Diagramme piézométrique

Section S1

Section S2

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En effet, il permet d'exprimer les actions mécaniques pouvant apparaître entre des fluides et des solides par exemple. Celui-ci établit une relation entre les éléments cinématiques d’un fluide et les efforts qui lui sont appliqués.

On considère un tube de courant.

On délimite une partie du fluide par une surface fermée (surface de contrôle); la représentation de cette surface permet de définir le système.

Le théorème d’Euler est une simple application du principe fondamental de la dynamique qui permet de déterminer les actions mécaniques du fluide sur les parois qui l’entourent. On peut donc calculer les efforts extérieurs appliqués par les parois sur le fluide (et donc les efforts du fluide sur les parois) en développant les termes du torseur dynamique. Dans le cas d’un tronçon d’écoulement permanent incompressible limité par les sections S1 et S2 on a :

)

(

2 1

m

ext

q v v

F   



 

telle que



^F^^ext^:la somme vectorielle des forces extérieures (la résultante des forces extérieures) appliquées à un tronçon de fluide isolé, qui sont :

- le poids du fluide compris entre S1 , S2 et le tube.

- les efforts de pression appliqués sur la section S1, S2 et le tube.

- Les efforts du fluide sur la canalisation.

qm : ledébit massique du fluide

v1

: vecteur vitesse du fluide à l'amont

v2

: vecteur vitesse du fluide à l'aval

Enoncé

Le flux (débit) de quantité de mouvement sortant d’un tube de courant d’un écoulement permanent, qm(v2 v1)

 est égal à la résultante des forces extérieures,



^F^^ext appliquées au fluide dans le domaine limité par cette surface.

Théorème d’Euler :

Dans tout tube de courant d’un écoulement permanent, la résultante des forces extérieures appliquées au fluide est égale à la différence des débits de quantités de mouvement sortant et entrant dans le volume fluide

Interprétations physiques

On peut aussi écrire le théorème d’Euler sous la forme : q_mv_e

: est la force d’action hydrodynamique à l’entrée

s mv q 

 : est la force de réaction hydrodynamique à la sortie

Le théorème d’Euler peut donc aussi s’exprimer de la façon suivante :

Un système matériel formé par un élément de tube de courant d’un écoulement permanent est en équilibre sous l’action des forces de surface, des forces de volume et des forces d’action hydrodynamiques

Les applications du théorème d’Euler sont nombreuses :

Changement de section, réaction d’un jet, conduite coudée horizontale, action d’un jet d’eau

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Application 1:

Jet incident sur un plan incliné

Considerons un jet de liquide 2D sur une plaque plane en forme de lame d’epaisseur h et de largeur l dans la direction Oz perpendiculaire au plan de la ﬁgure.

Application 2:

La figure ci-dessous représente un jet d’eau horizontal qui frappe un obstacle à un débit massique qm = 2 kg/s. L’obstacle provoque une déflexion du jet d’un angle β=120^o.

On désigne par la vitesse d’écoulement de l’eau en entrée de l’obstacle. Elle est portée par l’axe X désigne la vitesse d’écoulement de l’eau en sortie de l’obstacle. Elle est portée par une direction inclinée de l’angle β =120° par rapport à l’axe X

On admettra que

1) En appliquant le théorème d’Euler, donner l’expression vectorielle de la force

exercée par le liquide sur l’obstacle en fonction de q_m , ensuite calculer ses composantes F_x et F_y . 2) Quel est son angle d’inclinaison α ?

On fait les hypothèses suivantes :

– on néglige les forces de frottement visqueux – régime permanent

– on néglige les eﬀets de la pesanteur Calculer la force exercée par le jet sur la plaque