Université de Picardie Jules Verne 2011-2012 Faculté de Mathématiques et Informatique L2 Théorie des Graphes
Feuille d'exercices 2.
Exercice 1 La matrice d'incidence d'un graphe Gest la matrice M(G) = (mij), où mij est le nombre de fois (0,1, ou 2) où le sommet vi et l'arête ej sont incidents.
Quel est la somme des coecients d'une ligne deM(G)?
Exercice 2 1) Donner les matrices d'adjacence et d'incidence du graphe suivant :
1 2
3
5 4
Exercice 3 On considère la matrice
A=
0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0
Les graphes ci-dessous peuvent-ils être associés à A?
Exercice 4 On considère le graphe suivant :
A B
F C
E D
1
a) Donner 2 chaînes allant de A àD et préciser leur longueur. Donner un cycle passant parA. b) ABCAE désigne-t-il une chaîne ? si oui, est-ce une chaîne simple ? Même question pour ABCBD.
Exercice 5 Montrer que si un graphe est biparti alors il n'a pas de cycles de longueur impaire.
Exercice 6 Le graphe G ci-dessous est-il connexe ? Trouver la composante connexe de chaque sommet.
L B
K A C
J D
E
I
H G F
Exercice 7 1)Soit G = (V, E) un graphe simple à n sommets. Pour tout sommet v de G, on note N(v) le nombre de chaînes élémentaires de longueur 2 de Gde la forme (u, v, w) (où uet w sont des sommets de G).
a) Dans cette question, on suppose que G est le graphe ci-dessous, calculer N(5).
1 2
5 3
4
2
b)Gest maintenant un graphe quelconque. Soitv un sommet de G. Montrer queN(v)est égal à
( deg(v) 2
)
= deg(v)×(deg(v)−1)
2 .
2)G est désormais un graphe qui a pour suite de degré(3,3,4,4,4,5,5,6). a) Montrer que ∑
v∈V N(v)>28. Quand on fait la somme∑
v∈V N(v), que compte-t-on ? b) Montrer qu'il y a au plus 28 choix possibles pour les extremités d'une chaîne élémentaire de longueur 2.
c) On note S(u, v)l'ensemble des chaînes de longueur 2 qui ont pour extrémités les sommetsu et v. Montrer qu'au moins un de ces ensembles S(u, v) contient plus de deux éléments.
d) Montrer qu'il existe deux sommets u et v de G qui sont les extrémités de deux chaînes distinctes (u, w, v) et(u, w′, v).
e) Montrer que Gcontient un cycle de longueur 4.
Exercice 8 Soit G un graphe qui a un nombre pair p= 2n de sommets et qui a deux compo- santes connexes completes. Montrer que G a au moins q = (p2−2p)/4 arêtes. Si G a q arêtes, à quoi ressemble-t-il ?
Exercice 9 Soient G et H deux graphes isomorphes. Montrer que si G est connexe, H l'est aussi.
Exercice 10 Soit G un graphe àn sommets (n≥2).
1) Montrer que si pour tout sommet v de G, on a deg(v)≥(n−1)/2, alorsG est connexe.
2) On suppose que n est pair (n = 2k). Montrer qu'il existe un graphe G à n sommets, non connexe et tel que pour tout sommet v de G, on adeg(v)≥(n−2)/2.
Exercice 11 Soit G un graphe simple. Montrer que siG n'est pas connexe, alors son complé- mentaire G est connexe.
Exercice 12 La connectivité d'un graphe simple le plus petit nombre de sommets que l'on doit retirer (avec les arêtes qui leurs sont incidentes) pour obtenir soit K1 (graphe à 1 sommet et 0 arête), soit un graphe non connexe. On note la connectivité d'un graphe G par c(G). a) Calculer c(K4), où K4 est le graphe complet à 4 sommets.
b) Quelle est la valeur de c(G) lorsque Gn'est pas connexe ? c) Donner c(G) pour le graphe suivant :
1
2 4
3
d) Soit Gun graphe qui a n sommets et k arêtes.
i) Montrer que si v est un sommet de G, alors c(G)est inférieur ou égal au degré de v.
ii) Montrer que c(G)≤ 2k/n. (On pourra utiliser la formule qui relie k à la somme des degrés 3
de G)
e) i) Si G a 7 arêtes, quel est le nombre minimal de sommets de G (on rappelle que G est un graphe simple) ?
ii) Montrer qu'il n'existe pas de graphe Gqui ait 7 arêtes et tel que c(G) = 3. Exercice 13
Est-ce que le graphe déni par la matrice d'adjacence suivante est connexe ?
0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0
Exercice 14 Dessiner les arbres à 2 et à 3 sommets.
Exercice 15 Soit T un arbre qui n'a que des sommets de degré 1 ou 3. Si T a 10 sommets de degré 3, combien a-t'il de sommets de degré 1 ?
Exercice 16 Un sous-arbre couvrant d'un graphe Gest un arbre qui est un sous-graphe de G et qui a les mêmes sommets que G.
1) Trouver tous les sous-arbres couvrants de K3.
2) Montrer que l'ensemble des sous-arbres couvrants de Kn est égal à l'ensemble des arbres à n sommets étiquetés de 1 àn.
3) Quel est le nombre de sous-arbres couvrants du graphe biparti complet Kn,2?
Exercice 17 Le dessin ci-dessous représente le schéma d'une prison pour des dissidents poli- tiques. Les prisonniers ont été divisés en 7 groupes. Un espion projette de les faire échapper en faisant exploser les portes de la prison. Il veut en faire exploser un nombre minimal et permettre à tous les prisonniers de s'échapper. Quel est ce nombre minimal ? Comment ce problème est-il relié aux arbres ?
Exercice 18 1. Donner deux arbres à 6 sommets qui ont la même suite de degrés mais qui ne sont pas isomorphes (il faut prouver qu'ils ne sont pas isomorphes).
2. SoitT un arbre qui a exactement : - 1 sommet de degré 5,
- 1 sommet de degré 4, - 1 sommet de degré 3, - 1 sommet de degré 2, - m sommets de degré 1.
Calculer m.
3. SoitG un graphe simple connexe à n sommets. On note v1,...,vn les sommets de G. Soit δ la moyenne des degrés des sommets de G, c'est-à-dire,
δ =
∑n
i=1deg(vi) n
Montrer que si δ >2, alorsG contient au moins deux cycles.
4
