E589. Les rouges et les jaunes
On trace dans le plan 2019 points rouges et 2019 points jaunes tous distincts de sorte que trois quelconques d'entre eux ne sont jamais alignés.
Démontrer qu'il est possible de tracer 2019 segments qui n'ont pas de point d'intersection et qui ont pour extrémités un point rouge et un point jaune, chacun des 4038 points étant l'extrémité d'un segment et d'un seul.
Solution
Proposée par Fabien GIGANTE
Lemme
Nous avions démontré à l’occasion du problème E621 (en février 2008) la propriété suivante.
Etant donnés 𝑛 points rouges et 𝑛 points jaunes du plan tous distincts et tels que trois quelconques d'entre eux ne sont jamais alignés, il existe au moins deux droites distinctes passant l’une et l’autre par un point rouge et par un point jaune telles que d’un même côté de chacune d’elles il y a autant de points rouges que de points jaunes.
Démonstration
Considérons à présent la propriété suivante.
Etant donnés 𝑛 points rouge et 𝑛 points jaunes du plan tous distincts et tels que trois quelconques d'entre eux ne sont jamais alignés, il est possible de tracer 𝑛 segments qui n'ont pas de point d'intersection et qui ont pour extrémités un point rouge et un point jaune, chacun des 2𝑛 points étant l'extrémité d'un segment et d'un seul.
Cette propriété est trivialement vraie au rang 0. Supposons-la vraie pour tout rang 𝑘 < 𝑛 et montrons qu’elle est alors vraie au rang 𝑛.
Considérons donc 𝑛 points rouges et 𝑛 points jaunes. L’application du lemme nous donne une droite 𝐷. Un premier segment (―) sur la droite 𝐷 relie un point rouge à un point jaune.
D’un côté de cette droite 𝐷, on a 𝑛1 points rouges et 𝑛1 points jaunes, avec 𝑛1< 𝑛. On applique l’hypothèse de récurrence, et on obtient 𝑛1 segments (―) sans intersections, tous nécessairement de ce côté de 𝐷 (au sens strict).
De l’autre côté de la droite D, on a 𝑛2 points rouges et 𝑛2 points jaunes, avec 𝑛2= 𝑛 − 𝑛1− 1 < 𝑛. On applique à nouveau l’hypothèse de récurrence, et on obtient 𝑛2 segments supplémentaires (―), tous nécessairement de cet autre côté de 𝐷 (au sens strict).
Les 𝑛1 segments étant séparés des 𝑛2 segments par la droite 𝐷, ils n’ont aucune intersection. On obtient bien au total 𝑛1+ 𝑛2+ 1 = 𝑛 segments possédant les propriétés recherchées.
