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A10363. Absolu minimal Etant donnés

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Academic year: 2022

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A10363. Absolu minimal

Etant donnésnnombresak, quelle valeur dexminimise la somme des valeurs absolues|x−ak|?

Solution

Quitte à changer la numérotation, je suppose lesak (1≤k≤n) rangés par ordre croissant. SoitS(x) =Pk|x−ak|.

Siai < x < y < ai+1, S(y)−S(x) = (y−x)(i−(n−i)), les contributions augmentant avec y pour k ≤ iet diminuant pour k > i. S(x) est minimal quand il y a autant de termes< xque de termes > x. Si nest impair, c’est x = a(n+1)/2, médiane de la séquence donnée, qui minimise S(x). Si n est pair, c’est pour an/2 ≤x ≤ a1+n/2, toutes les valeurs de l’intervalle ouvert étant des médianes.

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