On trace dans le plan 2019 points rouges et 2019 points jaunes tous distincts de sorte que trois quelconques d'entre eux ne sont jamais alignés.
Démontrer qu'il est possible de tracer 2019 segments qui n'ont pas de point d'intersection et qui ont pour extrémités un point rouge et un point jaune, chacun des 4038 points étant l'extrémité d'un segment et d'un seul.
Démontrons la propriété par récurrence, dans le cas général de n points de chaque couleur. La propriété est évidente pour n=1.
Considérons l’enveloppe convexe de l’ensemble de points. S’il existe deux points consécutifs de cette enveloppe de couleur différente, le segment qui les joint est
extérieur à l’enveloppe convexe des 2*(n-1) autres points : si la propriété est vraie pour n-1 elle le sera pour n.
S’il n’existe pas deux points consécutifs de couleur différente sur l’enveloppe convexe, tous les points de cette enveloppe sont de la même couleur, jaune par exemple.
Choisissons trois points consécutifs (dans le sens trigonométrique) A, B, C, sur cette enveloppe, et faisons pivoter dans le sens trigonométrique un axe autour de B.
Comptons les nombres de points rouges r et jaunes j à droite de cet axe. Nous partons donc de r-j=-1 juste après C, pour arriver à r-j=2 juste avant A ; r et j variant d’une unité à chaque fois que l’on passe un point, rouge ou jaune, il existera un secteur où r=j : les points à droite de l’axe, ainsi que ceux situés à gauche plus le pivot B forment deux ensembles d’enveloppes convexes disjointes contenant autant de points de
chaque couleur. Si la propriété est vrai pour tout nombre inférieur à n, elle le sera donc pour n.
