Q1*** - Six points A,B,C,D,E et F dans l’espace sont tels que les segments AB, BC et CD sont respectivement parallèles aux segments DE, EF et FA. Par ailleurs la distance AB est strictement supérieure à la distance DE. Démontrer que les six points sont dans un même plan.
Q2**** - On considère quatre points A,B,C et D dans l’espace qui n’appartiennent pas à un même plan. Les segments AB, BC, CD et DA sont tangents à une même sphère aux points I,J,K et L.
Démontrer que les quatre points I, J, K et L sont dans un même plan
Q1 : Les plans AEF et BCD sont donc parallèles, tandis que A, B, D, et E sont coplanaires : si ces trois plans ne sont pas confondus, les intersections des plans AEF et BCD avec ABDE, soit AE et BD, sont parallèles, donc ABDE est un
parallélogramme, et AB=DE, ce qui est contraire à l’hypothèse : les six points sont donc coplanaires.
Q2 : Les tangentes menées d’un même point ont même longueur, donc LA=IA, IB=JB, JC=KC, KD=LD. D’après le théorème de Menelaus, IJ coupe AC en un point M tel que (MA/MC)*(IB/IA)*(JC/JB)=1, soit MA/MC=IA/JC (dans le cas où IJ est parallèle à AC, M est à l’infini, et IB/JB=IA/JC, donc IA=JC, et MA/MC=1). De même, KL coupe AC en N, tel que NA/NC=LA/KC ; or LA=IA, JC=KC, donc M et N sont confondus, et les droites IJ et KL sont concourantes, donc coplanaires.
