G123
En une journée la souris aura donc changé de pièce 60.245 = 288 fois.
Le 1er avril 2007 à 0h, elle aura donc changé de pièce 31.288 = 8928 fois.
Et par conséquent le 31 mars 2007 à 23h55, 8927 fois.
Pour répondre à la question lorsque le nombre de changements de pièce est impair, remarquons que si nous colorons les pièces de la maison tel un échiquier (deux cases voisines sont de couleurs opposées), à chaque changement de pièce correspond une inversion de couleur. Alors il est impossible pour la souris d’être à nouveau dans le vestibule.
Lorsque le nombre de changements de pièce est pair, modélisons le problème par une matrice stochastiqueM (les pièces sont numérotées de gauche à droite et de haut en bas de 1 à 9 et l’élémentmij de la matrice est la probabilité de passer de la pièceià la piècej) :
M =
0 1 0 0 0 0 0 0 0
1
3 0 13 0 13 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0 0 0
0 14 0 14 0 14 0 14 0
0 0 0 0 1 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 13 0 13 0 13
0 0 0 0 0 0 0 1 0
.
L’élément central de la matriceM8928 répondra à la deuxième question.
Nous montrons queM est diagonalisable, c’est-à-dire qu’il existe une matrice diagonaleD et une matrice inversibleP telle queD=P−1M P.
AlorsM =P DP−1et Mn=P DnP−1.
Plus précisément nous avonsD=diag(0,0,0,√36,−√36,1,−1,√33,−√33),
P=
1 0 0 1 1 1 1 1 1
0 0 0
√6
3 −√36 1 −1
√3
3 −√33
−1 0 0 1 1 1 1 1 1
0 1 0 0 0 1 −1 −√
3 √
3
0 0 0 0 0 1 1 −1 −1
0 −1 0 0 0 1 −1 −√
3 √
3
0 0 1 −1 −1 1 1 1 1
0 0 0 −√36 √36 1 −1 √33 −√33
0 0 −1 −1 −1 1 1 1 1
et
1
P−1=
1
2 0 −12 0 0 0 0 0 0
0 0 0 12 0 −12 0 0 0
0 0 0 0 0 0 12 0 −12
1 8
√6 8
1
8 0 0 0 −18 −√86 −18
1
8 −√86 18 0 0 0 −18 √86 −18
1 16
3 16
1 16
1 16
1 4
1 16
1 16
3 16
1 1 16
16 −163 161 −161 14 −161 161 −163 161
1 16
√3 16
1
16 −√163 −14 −√163 161 √163 161
1
16 −√163 161 √163 −14 √163 161 −√163 161
.
L’élément central deMn vaut (1+(−1)
n)((√ 3 3
)n
+1)
4 .
Nous retrouvons bien le fait que la probabilité est nulle lorsquenest impair.
Lorsque n est pair (n= 2m), cette probabilité vaut (13)m+1
2 qui est très proche de 12 dès quemest grand.
La valeur exacte recherchée est donc (13)4464+1
2 .
Remarque : en exploitant la symétrie de la maison, nous aurions pu simplifier les calculs en nous ramenant à un calcul matriciel 4x4.
M =
0 1 0 0
2
3 0 0 13
0 0 0 1
0 12 12 0
,D=diag(1,−1,√33,−√33),
P=
1 1 1 1
1 −1 √33 −√33 1 −1 −√
3 √
3
1 1 −1 −1
et P−1=
1 4
3 8
1 8
1 1 4
4 −38 −18 14
1 4
√3
8 −√83 −14
1
4 −√83 √83 −14
.
Nous retrouvons le même résultat avec l’élément du coin inférieur droit deMn.
2
