G123 La souris Bidule dans le vestibule [** à la main]
Solution de Paul Voyer Colorions comme un damier.
A chaque changement (chaque 5 mn), Bidule change de couleur de case.
Le 31 mars 2007 à 23h55mn, elle est sur une case jaune.
La probabilité d'être dans le vestibule est zéro.
Dans la suite, on ne considère plus que les périodes de 10 minutes, les multiples impairs de 5 correspondant à Bidule dans une case jaune.
Définissons la matrice colonne des probabilités : Vn - d'être dans le vestibule,
Cn - d'être dans un coin.
Après deux mouvements (10 mn), la nouvelle matrice colonne est :
1 1 Cn
Vn = 3
1
2 1
1
2 *
Cn Vn
Les vecteurs propres sont
1
1 et
1 1 . La matrice s'écrit :
3
1
2 1
1 2 =
2
1
1 1
1
1
3 / 1 0
0
1
1 1
1 1
D'où l'on tire Vn après n fois 10 mn.
xxx Vn =
2
1
1 1
1
1 *
3n
/ 1 0
0
1 *
1 1
1
1 *
0
1 (départ)
xxx Vn =
2
1
1 1
1
1 *
3n
/ 1 0
0
1 *
1 1
xxx Vn =
2
1
1 1
1
1 *
3n
/ 1
1
Vn = 2 1(1+ n
3
1 ), avec n = 6*(31*24-1) fois 10 mn (passage à l'heure d'été) = 4458.
Vn = .5+4.9251160033988031195324110766805e-2128
